5.6“希望工程”义演
●教学目标
(一)教学知识点
1．用列表格分析实际问题中的等量关系．
2．用不同的设未知数的方法列方程．
(二)能力训练要求
1．借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，发展分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用．
2．体会不同的设未知数的方法，通过比较，选择最优．
(三)情感与价值观要求
1．通过体会方程模型的实际价值，提高学习数学的兴趣．
2．提高学生遇到较复杂数学问题的良好心理素质以及面对复杂问题时克服困难的勇气．
●教学重点
1．借助表格分析复杂问题的数量关系．
2．选择比较恰当的设未知数的方法．
●教学难点
面对若干个等量关系，如何恰当地应用它们设出未知数并列出方程．
●教学方法
引导—自主探索相结合方法．
学生在教师的引导下，找出若干个较直接的等量关系，然后用不同的设未知数的方法让学生通过列表格自主探索．根据等量关系，列出方程，从中体会设未知数方法的不同，方程的复杂程度也不同．
●教具准备
投影片一张：(记作§5．6A)“希望工程”义演．
●教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
［师］上一节课，我们讨论过了用一元一次方程解决实际问题的一般步骤．谁来给大家简单的陈述一下．
［生］当用一元一次方程解决实际问题时，首先要从实际问题中抽象出数学问题；然后分析数学问题中的等量关系，并由此列出方程；求出所列方程的解；检验解的合理性，合理就用以解决实际问题，不合理需重新开始讨论．
［师］应用一元一次方程解决实际问题的关键步骤是什么？
［生］根据题意，首先寻找“等量关系”．同时，解出方程后应注意检验求出的值是不是方程的解，是否符合实际．
［师］接下来，我们就用一元一次方程解决生活中一个献爱心的问题——“希望工程”义演．
Ⅱ．讲授新课
［师］在我们的生活中，还有不少贫困地区的孩子因为贫穷而上不起学，也有不少有爱心的好人为了他们而献出自己的一片“爱心”．下面我们就来看投影：“希望工程”义演．
出示投影片(§5．6 A)
［例1］某文艺团体为“希望工程”募捐义演，成人票8元，学生票5元．
(1)成人票卖出600张，学生票卖出300张，共得票款多少元？
(2)成人票款共得6400元，学生票款共得2500元，成人票和学生票共卖出多少张？
(3)如果本次义演共售出1000张票，筹得票款6950元．成人票与学生票各售出多少张？
分析：售出的票包括成人票和学生票，所得票款包括成人票款和学生票款．由第(1)问和第(2)问可知：票款=票数×价格/张．因此上述问题存在两个等量关系．
成人票数+学生票数=总票数， ①
成人票款+学生票款=总票款． ②
解：(1)填写下表：
学生
成人
票数(张)
600
300
票款(元)
600×5
300×8
由上表可知共得票款：600×5+300×8=3000+2400=5400(元)．
(2)填写下表：
学生
成人
票数(张)
2500/5
6400/8
票款(元)
2500
6400
由上表可知共卖出学生和成人票为：2500÷5+6400÷8=500+800=1300(张)．
(3)解法一：设售出的学生票为x张，填写下表：
学生
成人
票数(张)
x
1000-x
票款(元)
5x
8(1000-x)
根据等量关系②，可列出方程：
5x+8(1000-x)=6950
解，得x=350．
1000-350=650(张)
答：售出的成人票650张，学生票350张．
解法二：设所得学生票款y元，填写下表
学生
成人
票数(张)
票款(元)
y
6950-y
根据等量关系①可得
=1000
解，得y=1750
1750÷5=350 1000-350=650
答：售出的学生票数为350张，成人票650张．
讨论：从上述(3)的两种设未知数方法，同时根据自己的亲身体验，相互交流各自的意见．
［生］我认为第二种方法比第一种方法复杂．
［师］在以前，我们列方程时，通常找一个等量关系即可列出方程，为什么在这个题中寻找到了两个等量关系，它们各有何用途．
［生］我们在填表的时候就可以看出：如果设售出的学生票数为x张，根据等量关系①就可设成人票数为(1000-x)张．这时，等量关系②可用来列方程．但如果设所得学生票款为y元，则根据等量关系②就可设成人票款为(6950-y)元，此时，等量关系①就用来列方程．
［生］我认为这个问题中有两个未知量：售出的学生票和成人票，可我们现在只设一个未知数，而另一个未知数就需要题意中的等量关系用含有第一个未知数的代数式来表示．
［师］同学们的分析很好．现在我们遇到的这个问题比前面的问题要复杂，含有两个未知量，而只设一个未知数表示一个量，另一个量就需用题中的等量关系，用含有第一个未知数的代数式来表示，而另一个等量关系则用来列方程．
［师］在这个较为复杂的实际问题中，为了搞清楚各个量之间的关系，我们采用了一个非常清楚明了的方法——列表格．希望同学们慢慢地学着用它来分析较复杂的问题．
想一想：如果票价不变，那么售出1000张票所得的票款可能是6930元吗？我们也列表来完成．(由两个学生板演)
解：可设售出的学生票为x元，填写下表：
学生
成人
票数(张)
x
1000-x
票款(元)
5x
8(1000-x)
根据题意，可得方程：5x+8(1000-x)=6930
解，得x=356
显然，x=356是不符合题意的．因此如果票价不变，售出1000张票所得票款不可能是6930元．
［师］因此，我们用方程这样的数学模型解决实际问题时，一定要注意检验方程的解是否符合实际．
Ⅲ．课堂练习
课本P171、1
解：单价为18元的本买了x本，单价为10元的本买了(10-x)本，列表如下：
单价为18元本
单价为10元本
本数(本)
x
10-x
款数(元)
18x
10(10-x)
根据题意，得18x+10(10-x)=172．解，得x=9．
10-9=1
答：单价为18元、10元的本各买9本、1本．
Ⅳ．课时小结
这节课我们通过列表的方式分析实际问题中的等量关系，使题中的已知条件与未知条件的关系清晰明了．同时我们还尝试着用多种方法去解决问题．
Ⅴ．课后作业
1．课本P171 习题5．9
2．到网上收集有关方程史的资料．
Ⅵ．活动与探究
小张在商店中买了14瓶汽水，又知每3个空汽水瓶可换1瓶汽水，问小张最多能够喝到多少瓶汽水？
过程：乍看题目觉得甚为简单，有同学就认为是18瓶汽水，原因是14瓶水喝完后可换4瓶，故可喝18瓶．那么4瓶喝完后呢？应该是4瓶喝完后，总共还有6个空瓶可换2瓶汽水，总共可喝20瓶．其实这还不是最多，最后2个空瓶虽不能换一瓶汽水，但我可以用“先借后还”的方法多喝一瓶汽水，即先借商店一瓶汽水喝完，还三个瓶，换一瓶汽水，再将那一瓶汽水还掉．
结果：通过分析，我们会发现最后的14个空瓶，通过先借后还，实际总共可换七瓶汽水即平均2个空瓶换1瓶汽水．
●板书设计
“希望工程”义演
一、“希望工程”义演题目
分析：(1)列表格
(2)找相等关系；
(3)设未知数列出方程．
二、课堂练习：(学生板演)
三、课时小结：(由学生先来完成)
●备课资料
游泳趣题三则
［例1］小王沿河流逆流游泳而上，途中不慎将水壶掉进河中，沿河流漂走．10秒钟后发现水壶失落，小王立即返身回游，问小王返身回游多少秒可以追上水壶？
解析一：设x秒后追上水壶．设小王游泳速度为v1米/秒，水流速度为v2米/秒，如图所示，水壶在A处掉入水中，小王从A处游到B处时，已游了10(v1-v2)米．这时掉入水中的水壶已漂流了10v2米到达C处．小王从B处开始到D处追上水壶，共行了(v1+v2)x米，显然有下面等量关系：10(v1-v2)+10v2+v2x=(v1+v2)x，解得x=10．
解析二：选取水中的水壶为参照物，则水相对于水壶是静止的．由于小王的游泳速度不变，故人相对于水壶是静止的．由此看出，水壶离开人后，水壶静止在原地，人向前游，待人发现水壶掉水，以原速度回水壶处，这一前进一返回的时间应该相等．故小王返身回游10秒钟可以追上水壶．
［例2］甲、乙二人分别从游泳池的左右两边同时出发来回游泳．他们第一次在离池右边20米处相遇．游到池边立即掉头回游又再次相遇．当他们第三次相遇时，两人恰好都游到了池的右边．问甲游的路程是多少？(假定二人游速不变，且掉头时间不计)．
解析一：根据题意，作出运动简图，设甲、乙速度分别为v甲，v乙，池的长度为S，
①÷②，得2S2-100S=0，解得S=50．
∴甲游过的路程为50×3=150米．
解析二：充分借助整体思想．
观察图形，设甲游过的路程为3S，那么乙游过的路程为2S(S为池长)，于是S甲∶S乙=3∶2．
又当乙游20米时，甲游30米，故S=50米．
因此，甲游的路程为S甲=50×3=150米．
［例3］小李由A码头到B码头，顺水游泳需6分钟；由B码头到A码头，逆水游泳需8分钟．若小李带上不加任何外力的救生圈，按顺水由A码头漂流到B码头，需多少分钟？
分析：本题虽是常规的流水应用题，但在叙述上作了一些变动．把常规的求水流速度，改为求救生圈顺水漂流的时间，又在条件中未给出A、B两码头的距离(路程)，但我们可像工程问题那样，设路程为1，这样就可建立方程，从而获解．
解：设小李按顺水速度由A码头带救生圈漂流到B码头，需x分钟，根据速度的相等关系，有．
解得x=48(检验略)．
答：小李带救生圈按水流速度由A码头漂流到B码头，需48分钟．
练习题：
1．一船逆水而上，船上某人有一件木质东西掉入水中，当船调转船头去追赶时，时间已过2分钟．再过多久，船才能追上所掉的东西？
2．甲、乙二人分别自游泳池的左、右两边同时出发来回游泳，在距左边32米处相遇后，仍以原速前游，并各自到对方岸后立即返回，又在距左岸64米处第二次相遇，求左右边两岸的距离．
答：1．2分钟 2．80米
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