一、实验原理的理解
对于不同类型的实验的原理，选用的设计方法不同，常见实验原理的设计方法有 6 种：
方法 1：等效替代法
若某物理量不易测量，可用较易测量的量替代，从而简化实验，如用位移代替时间等。
方法 2：控制变量法
为了研究某一物理量或现象变化的原因和规律，设法把其中的一个或几个因素控制起来，使之保持不
变，然后来比较、研究其他两个变量之间的关系，如控制质量不变，研究加速度与力的关系等。
方法 3：理想化方法
在研究物理量间的关系或规律时，可忽略某些次要因素，使研究的规律更显现，如用伏安法测电阻时，
选择合适的内、外接法，就可以忽略电表的非理想性等。
方法 4：留迹法
利用某些特殊手段，把一些瞬间即逝的现象（位置、轨迹、图象等）记录下来，以便于此后对其进行
仔细研究的一种方法。
方法 5：模拟法
当实验情境不易或根本无法创设时，可以用物理模型或数学模型等等效的情境代替。
方法 6：放大法
微小量不易测量，勉强测量误差也较大，可采用各种方法加以放大，如卡文迪许扭秤测定引力常量等。
二、基本仪器的读数和实验电路的设计
完成同一个实验有不同的实验方案，不同的实验方案引起的误差不一样，设计实验方案时需要遵循的
四大原则如下：
原则 1：科学性
设计的方案有科学的依据，符合物理学的基本原则。
原则 2：可行性
按设计的方案实施时，应安全可靠，不会对人体、器材造成危害，所需装备和器材要易于置备，且成
功率高。
原则 3：精确性在选择方案时，应对各种可能的方案进行初步的误差分析，尽可能选用精确度高的方案。
原则 4：简便、直观性
设计方案应便于实验操作、读数，便于进行数据处理，便于实验者直观、明显地观察。
三、合理地选择和使用仪器
在电学实验中选择实验仪器是个难点，对电表可根据不使受损和尽量减小误差的原则来选择。首先保
证流过电流表的电流和加载电压表上的电压均不超过其使用量程。然后使指针有较大偏转（一般取满偏的
1/3 以上），以减小测量误差。一般方法是由电源电动势确定电压表，再由电路的最大电流确定电流表。
四、掌握典型的处理数据的方法
实验数据的处理是物理实验的重要一环，常见的数据处理方法如下：
方法 1：直接比较法
有些实验，只需定性地确定物理量间的关系，或将实验结果与标准值相比较，就可得出实验结论，可
应用直接比较法来进行数据处理。
方法 2：平均值法
通常在同样的测量条件下，对于某一无量进行多次测量的记过不会完全一样，用多次测量的算术平均
值作为测量结果，与真实值最接近。
方法 3：列表法
实验中将实验数据列成表格，可以简明地表示出有关物理量之间的关系，便于检查测量结果和运算是
否合理，有助于分析和发现问题。列表法常与图象法一起应用，且列表法常常是图象法的基础。
方法 4：图象法
选取适当的自变量，通过作图可以找到或反映物理量之间的变化关系，并便于找出其中的规律，确定
对应量的函数关系。
方法 5：公式法
将实验测得的数据带入物理公式，经运算得到所求物理量的数值的方法。还有逐差法处理数据，为了
减小偶然误差，可能还需要多次带入公式，求出待测物理量的多个实验值，然后用多个实验值求待测物理
量的平均值。
方法 6：计算机辅助处理数据法
利用计算机记录数据、处理数据，利用计算机进行数据的图象处理。
五、正确连接实物图根据电路图连接实物图的方法是先串后并，即先按电流流向将电源与其中一支路连成串联电路，然后
将其他支路的元件并联在相应的两点间，电路连接时要注意以下几点：
注意 1：
注意顺序，按照给定的电路图中期间的顺序连接实物图，在连接实物图的过程中各个器材的顺序不能
颠倒。连线时通常采用先干路、后支路，先串联、后并联的策略。一般的顺序：电源正极→开关→用电器→
电源负极。
注意 2：
注意量程，电路中若有电表，那么必须注意电表的量程选择。如果电源是两节干电池，则电压表的量
程应为 3 V，再根据其他条件估算电路中的最大电流，确定电流表的量程。
注意 3：
注意正负，由于电表有多个接线柱，且有正负接线柱之分，要在正确选择量程的基础上，看准是用正
接线柱还是用负接线柱，保证电流从电流表和电压表的正接线柱流进，从负接线柱流出。
注意 4：
一般要求导线不能交叉，注意合理安排导线的位置，力求画出简洁的实物图。
注意 5：
注意开关，开关一般紧靠电源，必须能控制干路（支路开关除外）。
“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置如图所示。
（1）下列说法正确的是________．
A．在探究加速度与质量的关系时，应该保证拉力的大小不变
B．“重物的质量远小于小车的质量”这一条件如不满足对探究过程也不会产生影响
C．在探究加速度与力的关系时，只需测量一次，记录一组数据即可
D．在探究加速度与力的关系时，作 a－F 图象应该用折线将所描的点依次连接
（2）在实验中，某同学得到了一条纸带如图所示，选择了 A、B、C、D、E 、F、G 作为计数点，相邻
两个计数点间还有 4 个计时点没有标出，其中 x1＝7.05 cm、x2＝7.68 cm、x3＝8.33 cm、x4＝8.92 cm、x5＝
9.61 cm、x6＝10.27 cm，电源频率为 50 Hz，可以计算出小车的加速度大小是________m/s2.（保留两位有效数字）
（3）某同学将长木板右端适当垫高，其目的是____________________．如果长木板的右端垫得不够高，
木板倾角过小，用 a 表示小车的加速度，F 表示细线作用于小车的拉力，他绘出的 a－F 关系图象可能是
________．
A. B. C. D.
对本实验的原理、实验中各项操作的目的以及测量数据的作用不清楚，不能确定实验中
那些方面会产生误差，导致了错误。
（1）A．探究加速度与质量的关系时，应保证拉力大小不变，故 A 正确；
B．为了使得重物的重力等于绳子的拉力，应满足重物的质量远小于小车的质量，故 B 错误；
C．探究加速度与力的关系时，需多次测量，故 C 错误；
D．在探究加速度与力的关系时，作 a-F 图象应该用平滑线连接，不能用折线连接各点，故 D 错误。
（2）根据△x=aT2，运用逐差法得： ；
代入数据得
（3）某同学将长木板右端适当垫高，其目的是平滑摩擦力，如果长木板的右端垫得不够高，木板倾角
过小，即平滑摩擦力不足，会出现拉力不为零时，加速度仍然为零，故 ACD 图错误，B 图正确。
1．（1）某同学想利用图甲所示装置，验证滑块与钩码组成的系统机械能守恒，该同学认为只要将摩擦力平
衡掉就可以了。你认为该同学的想法____（填“正确”或“不正确”），理由是_______。
（2）另一同学用一倾斜的固定气垫导轨来验证机械能守恒定律。如图乙所示，质量为 m1 的滑块（带遮
6 5 4 3 2 1
29
x x x x x xa T
+ + − − −=
2
2 2
2
(10.27 9.61 8.92) (8.33 7.68 7.05) 10 m / s 0.64m / s9 0.1a
−+ + − + + ×= =×光条）放在 A 处，由跨过轻质定滑轮的细绳与质量为 m2 的钩码相连，导轨 B 处有一光电门，用 L
表示遮光条的宽度，x 表示 A、B 两点间的距离，θ 表示气垫导轨的倾角，g 表示当地重力加速度。
①气泵正常工作后，将滑块由 A 点静止释放，运动至 B，测出遮光条经过光电门的时间 t，该过程
滑块与钩码组成的系统重力势能的减小量表示为________，动能的增加量表示为________；若系
统机械能守恒，则 与 x 的关系式为 =______（用题中已知量表示）.
②实验时测得 m1=475 g，m2=55 g，遮光条宽度 L=4 mm，sin θ=0.1，改变光电门的位置，滑块每
次均从 A 点释放，测量相应的 x 与 t 的值，以 为纵轴，x 为横轴，作出的图象如图丙所示，则根
据图象可求得重力加速度 g0 为______m/s2（计算结果保留两位有效数字），若 g0 与当地重力加速度
g 近似相等，则可验证系统机械能守恒。
【答案】（1）不正确 有摩擦力做功，不满足机械能守恒的条件 （2）（m2–m1sin θ）gx （m1+m2）
9.4
【解析】（1）机械能守恒的条件只有重力或弹力做功，平衡摩擦力时，是用重力的分力等于摩擦力，但
此时系统受到摩擦力，故摩擦力对系统做功，机械能不守恒；故该同学的想法不正确；
（2）①滑块由 A 到 B 的过程中，系统重力势能的减小量为△Ep=m2gx–m1gxsinθ；经过光电门时的速度为： ；则动能的增加量为 ，或
机械能守恒，则有：△Ep=△Ek，联立解得 ；
②由上述公式可得，图象中的斜率表示 ，代入数据解得：g=9.4 m/s2。
【点睛】本题考查验证机械能守恒定律的条件，属于创新型的实验题目，要求能正确分析实验原理，能
明确是两物体组成的系统机械能守恒。
如图甲所示为用多用电表×1 挡测金属丝的电阻，图乙是用螺旋测微器测得的金属丝的直径示意图，图
丙使用游标卡尺测得的金属丝的长度，除待测金属丝外，实验室还备有的实验器材如下：
甲 乙 丙
A．电压表 V1（量程 3 V，内阻约为 15 kΩ）
B．电压表 V2（量程 l5 V，内阻约为 75 kΩ）
C．电流表 A1（量程 3 A，内阻约为 0.2 Ω）
D．电流表 A2（量程 600 mA，内阻约为 1 Ω）
E．滑动变阻器 R1（0~5 Ω，0.6 A）
F．滑动变阻器 R2（0~2 000 Ω，0.1 A）
G．输出电压为 3 V 的直流稳压电源 E
H．电阻箱
I．开关 S，导线若干
为了减小实验误差，需进一步测其电阻而采用伏安法，则上述器材中应选用的实验器材有（填代号）
______________。请在方框内设计最合理的的电路图并实物连线。但用该电路电阻的测量值______真实值
（选填大于、等于或小于）。如果金属丝直径为 D，长度为 L，所测电压为 U，电流为 I，写出计算电阻率____________________
丁 戊
不能由滑动变阻器的阻值与测量电路总阻值间的关系判断滑动变阻器的连接方式，滑动变阻
器错误选用限流式接法。
由图示多用电表可知，待测电阻阻值是 6×1 Ω=6 Ω；由图示螺旋测微器可知，固定刻度示
数是 2 mm，可动刻度示数是 10.0×0.01 mm=0.100 mm，则螺旋测微器示数是 2 mm+10×0.01mm=2.100 mm；
由图示游标卡尺可知，主尺示数是 3.6 cm=36 mm，游标尺示数是 2×0.1 mm=0.2 mm，则游标卡尺示数是 36
mm+0.20 mm=36.20 mm；
实验需要 G 电源，I 开关与导线，电源电动势为 3 V，因此电压表应选 V1（量程 3 V，内阻约为 15 kΩ）；
通过待测电阻的最大电流约为 I= =0.5 A，则电流表应选电流表 A2（量程 600 mA，内阻约为 1 Ω）；
为保证电路安全方便实验操作，滑动变阻器应选滑动变阻器 R1（0~5 Ω，0.6 A）；故需要的实验器材是：
ADEGI。
为测多组实验数据，滑动变阻器应采用分压接法， =6， =250， > ，电流表应采用
外接法，实验电路图如图甲所示，根据实验电路图连接实物电路图，如图乙所示；电流表采用外接法，由
于电压表的分流作用，电流测量值偏大，由 R= 可知，待测电阻测量值比真实值小。
由电阻定律可知，R=ρ ，R= ，则电阻率 ρ= 。
3
6
E
R
=
A
6= 1
R
R
V 15 000
6
R
R
= VR
R A
R
R
U
I
2
2
4
ππ( )2
L L L
DS D
ρ ρ= = U
I
2π
4
UD
IL甲 乙
1．在“测定金属的电阻率”的实验中：
（1）用螺旋测微器测量金属丝的直径，其示数如图甲所示，则该金属丝直径的测量值 d=______mm；
（2）连接电路前，先用多用电表 档粗略测量金属丝的电阻 Rx，其示数如图乙所示则该电阻丝电阻值
约为______Ω。
（3）使用多用电表欧姆挡测电阻时，下列说法正确的是___________
A．欧姆表的每一档的测量范围是 0~∞
B．换用不同倍率的欧姆挡后不需进行欧姆调零
C．测量时应该用两手分别将两表笔与待测电阻两端紧紧捏一起
D．选择适当倍率的欧姆挡，使测量时表针落在刻度盘的中间区域，误差较小
（4）为了较准确地测出电阻值，图丙所示电路图电压表右触头接____（a 或 b）；选用该电路图测量电
阻 Rx 时，测量值______________真实值（选填“大于”、“等于、“小于”）。
（5）实验中除开关、若干导线之外还提供下列器材：
电压表 V（量程 0~3 V，内阻约 3 kΩ）；
电流表 A1（量程 0~200 mA，内阻约 3 Ω）；
电流表 A2（量程 0~0.6 A，内阻约 0.1 Ω）；
滑动变阻器 R1（0~20 Ω）；
滑动变阻器 R2（0~200 Ω）；
电源 E（电动势为 3.0 V，内阻不计）。
为了调节方便，测量准确，实验中电流表应选_________，滑动变阻器应选________。（选填器材的名称
符号）
（6）若通过测量可知，金属丝的长度为 l，直径为 d，通过金属丝的电流为 I，金属丝两端的电压为 U，
由此可计算得出金属丝的电阻率 ρ=___________。（用题目所给字母和通用数学符号表示）
1×【答案】（1）0.381~0.385 mm （2）11 Ω （3）AD （4）b 小于 （5）A1 R1 （6）
【解析】（1）由图甲所示螺旋测微器可知，该金属丝直径的测量值 d=0mm+38.4×0.01mm=0.384mm
（2）欧姆表的读数为：Rx=11×1 Ω=11 Ω。
（3）欧姆表的表盘只有一排刻度，选每一档测量范围都是 0 到∞，故 A 正确；
B．用欧姆档，每次换档都要进行欧姆调零，故 B 错误；
C．在测量外电阻时，不能用手接触表笔头，以免将自身接入电路中，故 C 错误；
D．由于欧姆表刻度盘不均匀，故在测量时应尽量让指针指在刻度盘的中间区域，故 D 正确。
（4）由于金属丝的电阻较小，所以电流表应用外接法，电压表右触头接 b，由于电流外接法时，电压测
量准确，电流测量偏大，由欧姆定律可知，测量值偏小；
（5）电源电动势为 3V，待测电阻阻值约为 11Ω，故最大电流约为 270mA；故电流表选择 A1；由于金属
丝的电阻率随温度变化，所以实验中流过金属丝的电流不能过大，则滑动变阻器应用限流式，为了调节
方便，滑动变阻器略大于待测电阻即可，故滑动变阻器选择 R1。
（6）由电阻定律得 ，得 。
某小组同学描绘一只标有“ ， ”的小灯泡的伏安特性曲线，需要测定灯泡两端的电压和通过
灯泡的电流，现实验室有如下器材：
①直流电源 （电动势 = ，内阻不计）；
②电流表 （量程 0~ 0.6 A，内阻约为 0.5 Ω）；
③电流表 （量程 0~ A，内阻约为 Ω）；
④电压表 （量程 0~ V，内阻约为 5 kΩ）；
⑤电压表 （量程 0~ V，内阻约为 kΩ）；
⑥滑动变阻器 （0~ Ω，额定电流 2 A）；
⑦开关、导线若干及待测灯泡.
（1）为了调节方便，测量准确，实验中应选用下列________图中的电路图来完成实验.
2
4
Ud
Il
π
2( )2
U l lR dI S
ρ ρ
π
= = = 2
4
Ud
Il
πρ =
4 V 2 W
E E 6 V
1A
2A 3 0.1
1V 5
2V 15 15
R 20（2）实验中电流表应选用______，电压表应选用_______（请填写器材符号）.
（3）根据实验测得的数据还能测量出小灯泡的功率和电阻：某次实验描绘出小灯泡的 曲线如图
所示，根据曲线可得灯泡两端电压 2.0 V 时小灯泡的实际功率为______W，电阻值为_______Ω。（结果均保
留两位有效数字）
（4）对该实验测量结果的准确性，有两位同学意见不统一，你认为：
①测得的小电珠的功率与实际的功率相比较，测量功率_______.
A．总偏大 B．总偏小 C．无误差 D．都有可能
②小电珠的电阻的测量值与实际值相比较_______。
A．偏大 B．偏小 C．有时偏大，有时偏小 D．都有可能
不考虑电表的量程，直接选用不合适的电表进行实验，导致错误。
（1）由实验需要测量不同电压下的实际功率，故应滑动变阻器选用分压式接法，“4 V，2
W”知小灯泡额定电流为 0.5 A，正常发光时电阻为 8 Ω，电流表应选外接法。故选丁图。
（2）根据小灯泡额定电压 4 V，额定电流 0.5 A，则电流表选 A1，电压表选 V1；
（3）由图象知小灯泡电压 2 V 时，电流通过小灯泡为 0.36 A，则实际功率为 P=UI=2×0.35=0.70 W；
此时灯泡电阻： ；
（4）本实验电路采用的是电流表外接法，测量到的电流比真实电流大，测量的电压为准确值，所以测
量功率比真实功率大。故 A 正确。因为小灯泡的测量电压是准确值，测量电流偏大，所以测量电阻比真实
电阻偏小。故 B 正确。
1．在探究小灯泡的伏安特性曲线时，所用小灯泡上标有“2.5 V，0.6 W”字样，实验室提供的器材有：
U I−
2 5.70.35
UR I
= = Ω = ΩA．电流表 A1（内阻约为 5 Ω、量程为 0～25 mA）
B．电流表 A2（内阻约为 1 Ω，量程为 0～300 mA）
C．电压表 V1（内阻约为 5 kΩ、量程为 0～3 V）
D．电压表 V2（内阻约为 15 kΩ、量程为 0～15 V）
E．滑动变阻器 R1（最大阻值为 10 Ω、额定电流为 0.6 A）
F．滑动变阻器 R2（最大阻值为 1 000 Ω、额定电流为 0.2 A）
G．稳压电源 E（可输出恒定电压为 9.0 V）
H．开关一个、定值电阻若干、导线若干
由以上信息回答下列问题：
（1）实验前设计的电路图如图甲所示。为了减小实验误差，该实验所用的电流表、电压表、滑动变阻
器应分别为_____、_____、_____（选填器材前的字母）。为保护滑动变阻器和灯泡，应在电路中
串联的定值电阻 R0 合适的电阻值应为________（选填“1 Ω”“10 Ω”“30 Ω”或“100 Ω”）。
（2）请确定测量电路中电压表右侧导线的正确位置为_____，然后在图乙中用笔画线代替导线，将实物
完整连接起来。
【答案】（1）B C E 10 Ω （2）a 如图所示【解析】（1）小灯泡上额定电压为 2.5 V，故电压表应选择 C；额定电流为 ，故电
流表应选择 B；本实验采用分压接法，故应采用小电阻 E；由于电动势为 9 V，而测量电压只需要 2.5
V，故可以采用定值电阻与滑动变阻器串联分压的方式减小滑动变阻器两端的电压，为了满足电压要求，
可以采用 10 Ω 电阻串联；
（2）由于灯泡内阻较小，满足 ，故为了减小误差应采用电流表
外接法，故电路中电压表接 a 处，根据原理图可得出外接法+分压式，对应的实物图如图所示。
【点睛】本题考查灯泡伏安特性曲线的实验，要注意明确实验原理，掌握实验仪表的选择和数所处理的
基本方法，注意电路图的正确分析方法是解题的关键。
在“验证牛顿运动定律”的实验中，采用如图所示的实验装置，小车及车中砝码的质量用 M 表示，盘
及盘中砝码的质量用 m 表示，小车的加速度可由小车后拖动的纸带打上的点计算出。在利用打点计时器和
小车做“探究加速度与力、质量的关系”的实验时，
（1）下列说法中正确的是_____________。
A．平衡摩擦力时，应将砝码盘及盘内砝码通过定滑轮拴在小车上
B．连接砝码盘和小车的细绳应与长木板保持平行
C．平衡摩擦力后，长木板的位置不能移动
D．小车释放前应靠近打点计时器，且应先接通电源再释放小车（2）当 M 与 m 的大小关系满足________时，才可以认为绳对小车的拉力大小等于盘及盘中砝码的重力。
（3）一组同学在做加速度与质量的关系实验时，保持盘及盘中砝码的质量一定，改变小车及车中砝码
的质量，测出相应的加速度，采用图象法处理数据。为了比较容易地检查出加速度 a 与质量 M 的关系，应
该做 a 与________的图象。
（4）如图（a），甲同学根据测量数据做出的 a－F 图线，说明实验存在的问题是________。
（5）乙、丙同学用同一装置做实验，画出了各自得到的 a－F 图线，如图（b）所示，两个同学做实验
时的哪一个物理量取值不同的是________。
不能正确运用图象法来解决数据问题，导致本题错解。
（1）平衡摩擦力时，应将绳从小车上拿去，轻轻推动小车，小车沿木板运动，通过打点计
时器打出来的纸带判断小车是否匀速运动，故 A 错误；若连接砝码盘和小车的细绳与长木板不保持平行，
则细绳的拉力分力不等于小车的外力，这样导致误差增大，故 B 正确；每次改变小车的质量时，小车的重
力沿斜面分力和摩擦力仍能抵消，以防摩擦力不再平衡，故 C 正确；实验时，应先放开小车，再接通打点
计时器电源，由于小车运动较快，可能会使打出来的点很少，不利于数据的采集和处理，同时要求开始小
车要靠近打点计时器，故 D 正确。
（ 2 ） 以 整 体 为 研 究 对 象 有 ， 解 得 ， 以 M 为 研 究 对 象 有 细 绳 的 拉 力
，显然要有 F=mg，必有 M 与 m 的大小关系满足 M≫m，才能保证绳子的拉力等于砝码的
重力。
（3）由牛顿第二定律可知加速度与质量成反比，而反比例函数图象是曲线，不容易判断自变量与因变量
之间的关系，故不能做的图象。但 ，故 a 与 成正比，而正比例函数图象是过原点的一条直线，
就比较容易判断自变量与因变量之间的关系，故作 a– 的图象。
（4）图中没有拉力时产生了加速度，说明平衡摩擦力时木板倾角过大。
（5）由题中图（b）知在拉力相同的情况下，a 乙>a 丙，根据 F=ma，可得 ，a–F 图象的斜率等于
物体的质量，且 m 乙【答案】1.140 4.713（4.712、4.714）
【解析】先读主尺上的数值为 11 mm，再读游标尺上的数值 0.05×8=0.40，二者加在一起为游标卡尺读
数（11+0.40） mm=11.40 mm=1.140 cm，先读固定刻度值为 4.5 mm，再读可动刻度 0.01×22.2 mm=0.222
mm，螺旋测微器读数为两部分之和 4.5 mm+0.222 mm=4.712 mm。
【点睛】无论是游标卡尺还是螺旋测微器读数都要注意有效数字的要求，读数时先以 mm 为单位读出，10
分度（精确度为 0.1 mm）的游标卡尺保留 1 位小数，20 分度（精确度为 0.05 mm）、50 分度（精确度为
0.02 mm 的保留 2 位，读数公式：主尺上的读数+精确度×对齐时游标尺的格数，单位换算时注意有效数
字不能改变。螺旋测微器读数方法：固定刻度+0.01×对齐时可动刻度格数（估读一位）。
2．为测定某电源的电动势 E、内阻 r 以及一段电阻丝的电阻率 ，设计了如图（a）所示的电路。ab 是电阻
率较大的粗细均匀的电阻丝， 是阻值为 2 Ω 的保护电阻，滑片 P 与电阻丝始终接触良好。用螺旋测
微器测得电阻丝的直径 d=0.400 mm。实验时，闭合开关 S，调节 P 的位置，记录 aP 长度 x、对应的电压
表示数 U、电流表示数 I 等数据，并求得 的数值，分别绘出了 关系图象和 关系图象，如图
（b）、（c）所示。
（1）根据图（b）可求出电源电动势 E=______V，内阻 r=______ Ω。（均保留两位有效数字）
（2）图（c）中 关系图象纵轴截距的物理意义是______。
（3）根据图（c）可求得电阻丝的电阻率 =______ Ω·m（保留三位有效数字）。
【答案】（1）3.0 1.0 （2）电流表的内阻为 2.0 Ω （3）1.26×10–6【解析】（1）由图（b）所示图象可知，电源 U–I 图象与纵轴交点坐标值是 3.0，电源电动势 E=3.0 V，
R0+r= =3 Ω，则电源内阻 r=3 Ω–2 Ω=1.0 Ω；
（2）由电阻定律可得， ，由欧姆定律可得：R= –RA，则 ， –x 图象斜率 ，截
距表示电流表的内阻为 2.0 Ω；
（ 3 ） 由 图 丙 所 示 图 象 可 知 ： ， 即 ， 电 阻 率
。
【点睛】本题考查电动势及电阻的测量，要注意认真分析题意，明确实验原理，再利用图象分析数据得
出最终的结果。
3．图（a）为某同学组装完成的简易多用电表的电路图。图中 E 是电池；R1、R2、R3、R4 和 R5 是固定电阻，
R6 是可变电阻；表头 的满偏电流为 250 μA，内阻为 480 Ω。虚线方框内为换挡开关，A 端和 B 端
分别与两表笔相连。该多用电表有 5 个挡位，5 个挡位为：直流电压 1 V 挡和 5 V 挡，直流电流 1 mA 挡
和 2.5 mA 挡，欧姆×100 Ω 挡。
（1）图（a）中的 A 端与______（填“红”或“黑”）色表笔相连接。
（2）关于 R6 的使用，下列说法正确的是_______（填正确答案标号）。
A．在使用多用电表之前，调整 R6 使电表指针指在表盘左端电流“0”位置
B．使用欧姆挡时，先将两表笔短接，调整 R6 使电表指针指在表盘右端电阻“0”位置
C．使用电流挡时，调整 R6 使电表指针尽可能指在表盘右端电流最大位置
（3）根据题给条件可得 R1+R2=______Ω，R4=_______Ω。
（4）某次测量时该多用电表指针位置如图（b）所示。若此时 B 端是与“1”相连的，则多用电表读数
G为________；若此时 B 端是与“3”相连的，则读数为________；若此时 B 端是与“5”相连的，
则读数为________。（结果均保留 3 位有效数字）
【答案】（1）黑 （2）B （3）160 880 （4）1.47 mA 1 100 Ω 2.95 V
【解析】（1）与多用电表内电源正极相连的是黑表笔。
（2）R6 是可变电阻，它的作用是欧姆表调零，使用欧姆挡时，先将两表笔短接，调整 R6 使电表指针指
在表盘右端电阻“0”位置。
（3）B 端与“2”相连时，是量程较小的电流表，所以 ；B 端与“4”相连时，
是量程较小的电压表，所以 。
（4）若此时 B 端与“1”相连，多用电表是量程为 2.5 mA 的电流表，则读数为 1.47 mA；若此时 B 端与
“3”相连，多用电表是欧姆×100 Ω 挡，则读数为 1 100 Ω；若此时 B 端与“5”相连，多用电表是
量程为 5 V 的电压表，则读数为 2.95 V。
【名师点睛】会规范使用多用电表，能正确读出多用电表的示数，是解决本题的关键。在平时实验训练
过程中要多加注意规范操作和器材的正确使用方法，多用电表的读数，重点是分清测量的物理量不同，
读数方法不同。
4．图甲所示为实验小组的同学设计的验证机械能守恒定律的实验装置。伸长可忽略的细线一端固定于铁架
台上 O 点，另一端系一小钢球。在 O 点正下方 P 点处固定一枚锋利的刀片，刀片的刀刃与悬线的摆动方
向斜交，因而能将下摆的细线瞬间割断，使下摆的小球水平抛出。Q 点为小球竖直悬挂时上端点的位置，
O′点是 O 点在地面上的竖直投影点，S 为小球落地点。实验时，将小球拉至与 O 点等高处由静止开始释
放，然后进行相关测量后计算验证。完成以下填空：
（1）用游标卡尺测量钢球直径如图乙所示，钢球直径 d＝_________mm；
（2）测得细线 O 点到 Q 点的长度为 l，O′Q 间高度为 h，O′S 间距离为 x。本实验所需验证的表达式为
g g
1 2
1 g
160 I RR R I I
+ = = Ω−
1 g g
4
1
880 U I RR I
−= = Ω________________；
（3）本实验造成误差的原因众多，试任意说出一个除空气阻力外的其他原因：_____________；
（4）有同学说，为减小空气阻力的影响，所选钢球应尽量小。对他的说法，请简要说出你的观点：
____________________________。
【答案】（1）7. 25 （2） （3）刀片割断细线时对小球运动的影响、各长度测
量时不够精确等 （4）不同意该说法。因为当钢球太小时，细线自身重力的影响将不可忽略
【解析】（1）主刻度尺为 7mm，游标尺第五格对齐，所以读数为： 。
（2）小球从释放到 Q 点的过程，若机械能守恒，则： 。平抛的过程方程为：
， ，由以上几个式子得： 。
（3）刀片割断细线时对小球运动的影响、各长度测量时不够精确等都会造成误差。
（4）当钢球太小时，细线自身重力的影响将不可忽略，而且空气阻力的影响也不可以忽略，所以不同
意该说法。
5．某同学研究在固定斜面上运动物体的平均速度、瞬时速度和加速度之间的关系。使用的器材有：斜面、
滑块、长度不同的矩形挡光片、光电计时器。
实验步骤如下：
①如图（a），将光电门固定在斜面下端附近；将一挡光片安装在滑块上，记下挡光片前端相对于斜面
的位置，令滑块从斜面上方由静止开始下滑；
②当滑块上的挡光片经过光电门时，用光电计时器测得光线被挡光片遮住的时间∆t；
③用∆s 表示挡光片沿运动方向的长度，如图（b）所示， 表示滑块在挡光片遮住光线的∆t 时间内的
平均速度大小，求出 ；
④将另一挡光片换到滑块上，使滑块上的挡光片前端与①中的位置相同，令滑块由静止开始下滑，重复
步骤②③；
2 4( ) 2
dx h d l = − +
7mm 0.05 5mm 7.25mmd = + × =
21( )2 2
dmg l mv+ =
x vt= 21
2h d gt− = 2 4( ) 2
dx h d l = − +
v
v⑤多次重复步骤④；
⑥利用实验中得到的数据作出 –∆t 图，如图（c）所示。
完成下列填空：
（1）用 a 表示滑块下滑的加速度大小，用 vA 表示挡光片前端到达光电门时滑块的瞬时速度大小，则
与 vA、a 和∆t 的关系式为 = 。
（2）由图（c）可求得，vA= cm/s，a= cm/s2。（结果保留 3 位有效数字）
【答案】（1） （2）52.1 16.6（15.8~16.8）
【解析】（1）设挡光片末端到达光电门的速度为 v，则由速度时间关系可知： ，且
联立解得： ；
（2）由图（c）可求得 vA=52.1 cm/s， ，即 a=16.6 cm/s2。
6．某同学利用如图甲所示装置来探究合外力做功与物体动能变化的关系，一端带有定滑轮的木板平放且固
定在水平桌面上，一根绕过定滑轮的轻质细线将质量为 240 g 的小车（包括固定在小车上的力传感器）
和质量为 200 g 的钩码连接起来，将小车锁定在靠近打点计时器处，接通频率为 50 Hz 的交流电源，解
除锁定后钩码和小车做匀加速直线运动，通过力传感器测得细线拉力 F=1.62 N，实验中打出的一条纸带
如图乙所示，重力加速度 g 取 9.8 m/s2。
（1）下列说法正确的是_____________（填正确答案标号）。
v
v
v
1
2Av v a t= + ∆
Av v a t= + ∆
2
Av vv
+=
1
2Av v a t= + ∆
2 2
3
1 53.6 52.1 cm/s 8.3 cm/s2 180 10a −
−= ≈×A．可以通过研究小车（含力传感器）得到合外力做功与物体动能变化的关系
B．可以通过研究钩码得到合外力做功与物体动能变化的关系
C．研究小车（含力传感器）或钩码均可以得到合外力做功与物体动能变化的关系
（2）纸带上相邻两个计数点间还有四个点没画出，则从打下 A 点到打下 B 点这段时间内，钩码的动能
变化量为________J，钩码所受合外力对钩码做功的大小为_________J。（结果均保留三位小数）
【答案】（1）B （2）0.075 0.077
【解析】（1）由纸带可以计算小车（含力传感器）和钩码的速度，小车（含力传感器）和钩码的动能变
化量可以计算，但小车受到的阻力不知道，不能求出合外力对小车做的功；钩码受到的拉力由力传感器
测得，重力可以计算，则可以通过研究钩码得到合外力做功与物体动能变化的关系。故 B 正确，AC 错误。
故选 B。
（2）打下 A 点时钩码的速度 ，此时钩码的动能
，打下 B 点时钩码的速度
，此时钩码的动能 ，则从打
下 A 点到打下 B 点这段时间内，钩码的动能变化量 ，钩码所
受合外力对钩码做的功
。
7．用图甲所示装置探究做功与物体速度变化的关系，A、B 是固定在长直木板上的两个铁钉。实验时，小车
在橡皮筋的作用下弹出，沿木板滑行，通过改变橡皮筋的条数改变做功的多少，再根据纸带上的打点确
定小车对应运动的速度，进而探究做功与物体速度变化的关系。
（1）关于该实验的下列说法中，正确的有__________。
A．需要测出小车的质量 m
B．需要选择相同的橡皮筋进行实验
C．需要测出每根橡皮筋对小车所做的功 W
2
A
(4.17 5.83) 10 m / s 0.5m / s0.2v
−+ ×= =
2 2
kA A
1 1 0.2 (0.5) J 0.025J2 2E mv= = × × =
2
B
(9.17 10.83) 10 m / s 1m / s0.2v
−+ ×= = 2 2
kB B
1 1 0.2 1 J 0.1J2 2E mv= = × × =
k kB kA (0.1 0.025)J 0.075JE E E∆ = − = − =
2
AB( ) (0.2 9.8 1.62) (5.83 7.50 9.17) 10 J 0.077JW mg F h −= − × = × − × + + × ≈合D．改变橡皮筋条数时小车必须从同一位置由静止释放
（2）实验中得到一条纸带如图乙所示，1、2、3......是按时间先后顺序标出的计数点（每两个相邻计
数点间还有 4 个打点未画出，打点计时器的电源频率为 50 Hz）。小车质量为 1.0 kg，在打第 5 个
计数点时小车的动能约为________J（保留两位有效数字）；造成 5 至 9 各计数点间距不相等的原
因可能是_____________。
（3）该小组用新、旧两组橡皮筋分别做实验，正确实验操作得到橡皮筋的条数 n 与小车对应速度 v 的
多组数据，作出 v²–n 的图象如图丙中的 C、D 所示，则用新橡皮筋得出的图象是_______（选填
“C”或“D”）。
【答案】（1）BD （2）0.75 没有平衡摩擦力（或平衡摩擦力不足） （3）C
【解析】（1）实验时用完全相同的橡皮筋对小车做功，通过改变橡皮筋的条数可以改变橡皮筋对小车做
的功，实验不需要具体求出橡皮筋做功的具体数值，但需要选择相同的橡皮筋进行实验，同时改变橡皮
筋条数时小车必须从同一位置由静止释放，从而使橡皮筋对小车做功成倍增加，然后根据打出的纸带求
出小车的速度，实验不需要测出小车质量，从而研究功与速度变化的关系，故 BD 正确，AC 错误。
（2）根据运动学规律可知，中间时刻瞬时速度等于这段时间的平均速度，则第 5 个计数点时小车的速
度 为 ： ； 第 5 个 计 数 点 时 小 车 的 动 能 约 为 ：
；实验前要平衡摩擦力，平衡摩擦力后橡皮筋恢复原长时小车做
匀速直线运动，纸带上相邻点间的距离相等，造成 5 至 9 各计数点间距不相等的原因可能是：没有平衡
摩擦力或平衡摩擦力不足。
（3）旧橡皮筋老化，不同的橡皮筋伸长相等长度时弹性势能不同，由图示图象可知，用新橡皮筋得出
的图象是 C，由图示图象可知，v2 与 n 成正比（v2 与橡皮筋对小车所做的功成正比）。
【点睛】本题关键是涉及功的测量方法和用图象法分析实验数据，通过改变橡皮筋的条数巧妙地使总功
整数倍地增加，同时要明确正比图线是通过坐标原点的直线。
8．如图甲所示的装置叫做阿特伍德机，是英国数学家和物理学家阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，
用来研究匀变速直线运动的规律。某同学对该装置加以改进后用来验证机械能守恒定律，如图乙所示。（1）实验时，该同学进行了如下操作：
①将质量均为 m（A 的含挡光片，B 的含挂钩）的重物用绳连接后，跨放在定滑轮上，处于静止状态，
测量出_____________（选填“A 的上表面”、“A 的下表面”或“挡光片中心”）到光电门中心的竖直距
离 H。
②在 B 的下端挂上质量为△m 的物块 C，让系统（重物 A、B 以及物块 C）由静止开始运动，光电门记录
挡光片挡光的时间为△t。
③测出挡光片的宽度 d，计算有关物理量，验证机械能守恒定律。
（2）从开始到挡光片通过光电门的过程中，系统重力势能减小量为____________（已知重力加速度为
g）。系统动能增加量为_____________。
（3）如果系统机械能守恒，此过程中 A 应该匀加速上升，其加速度大小 a =_____________绳子对 A 的
拉力大小 F =_____________。
（4）提出减小该实验系统误差的措施______________（写一条即可）。
【答案】（1）挡光片中心 （2） （3）
或者 （4）用轻质细绳子、减小滑轮与绳子之间的摩擦
【解析】（1）需要测量系统重力势能的变化量，则应该测量出挡光片中心到光电门中心的距离；
（2）从开始到挡光片通过光电门的过程中，系统重力势能的减小量△Ep=∆mgH，系统的末速度为： ，
则系统动能的增加量为： ；
（3）根据牛顿第二定律得，系统所受的合力为∆mg，则系统加速度为： ．绳子对 A 的拉
力大小 。
（4）减小该实验系统误差的措施：用轻质细绳子、减小滑轮与绳子之间的摩擦。
9．某同学安装如图甲所示的实验装置，验证机械能守恒定律。如图乙所示是该实验得到的一条点迹清晰的
mgH∆ 21 (2 )( )2
dm m t
+ ∆ ∆ (2 )
mga m m
∆= + ∆
2 2
2
m m mgm m
+ ∆
+ ∆
(1 )2
m mgm m
∆+ + ∆
dv t
=
( ) ( )2 21 12 22 2 ( )k
dE m m v m m t
∆ + ∆ = + ∆
＝
2
mga m m
∆= + ∆
2 2
2
m m mgm mF ma mg
+ ∆
+ ∆= + =纸带；现要取 A、B 两点来验证实验，已知电火花计时器每隔 0.02 s 打一个点。
请回答下列问题：
（1）下列几个操作步骤中：
A．按照图示，安装好实验装置；
B．将打点计时器正确连接到电源上；
C．用天平测出重物的质量；
D．先释放重物，后接通电源，纸带随着重物运动，打点计时器在纸带上打下一系列的点；
E．测量纸带上某些点间的距离；
F．根据测量的结果计算重物下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。
没有必要的是______，操作错误的是________。（填步骤前相应的字母序号）
（2）根据图乙中纸带可以判断，实验时纸带的_________（填“左”或“右”）端和重物相连接。
（3）若 x2＝4.80 cm，则在纸带上打下计数点 B 时的速度 vB＝________m/s。
（4）若 x1 数据也已测出，则要验证机械能守恒定律，实验还需测出的一个物理量为______。
（5）经过测量计算后，某同学画出了如图所示的 E–h 图线，h 为重物距地面的高度，则图中表示动能
随高度变化的曲线为________（填“图线 A”或“图线 B”）。
【答案】（1）C D （2）左 （3）1.2 （4）A、B 之间的距离或 hAB （5）图线 B
【解析】（1）因为我们是比较 mgh、 的大小关系，故 m 可约去比较，不需要用天平，故 C 没有必要；开始记录时，应先给打点计时器通电打点，然后再释放重物，让它带着纸带一同落下，如果先放开纸带
让重物下落，再接通打点计时时器的电源，由于重物运动较快，不利于数据的采集和处理，会对实验产
生较大的误差，故 D 错误。
（2）从 A 到 B 可以看出，相等时间内的位移越来越大，则纸带的左端与重物相连。
（3）根据中间时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度来求 B 的速度大小，得在纸带上打下记数点 B
时的速度 。
（ 4 ） 要 验 证 机 械 能 守 恒 定 律 ， 则 需 要 重 物 下 落 过 程 中 减 少 的 重 力 势 能 等 于 增 加 的 动 能 ， 即
，若 x1 数据也已测出，则实验还需测出物理量为 AB 之间的距离。
（5）设释放重物离地的高度为 H，根据动能定理可知 ，所以在图中表
示动能随高度变化的曲线为图线 B。
10．某同学用图甲所示装置通过大小相同的 A、B 两小球的碰撞来验证动量守恒定律。图中 PQ 是斜槽，实
验时先使 A 球从斜槽上某一固定位置 G 由静止开始滚下，落到位于水平地面的记录纸上，留下痕迹。重
复上述操作 10 次，得到 10 个落点痕迹。再把 B 球放在水平槽末端，让 A 球仍从位置 G 由静止开始滚下，
和 B 球碰撞后，A、B 球分别在记录纸上留下各自的落点痕迹。重复这种操作 10 次。图中 O 点是水平槽
末端 R 在记录纸上的垂直投影点。
（1）安装器材时要注意：固定在桌边上的斜槽末端的切线要沿_________方向。
（2）小球 A 的质量 m1 与小球 B 的质量 m2 应满足的关系是 m1_________m2（填“＞”“＜”或“＝”）。
（3）某次实验中，得出小球的落点情况如图乙所示（单位：cm），P′、M、N 分别是入射小球在碰前、
碰后和被碰小球在碰后落点的平均位置（把落点圈在内的最小圆的圆心）。若本次实验的数据很好地验
证了动量守恒定律，则入射小球和被碰小球的质量之比 m1：m2 _________。
【答案】（1）水平 （2）＞ （3）4：1【解析】斜槽末端的切线要沿水平方向，才能保证两个小球离开斜槽后做平抛运动。
为防止碰撞后入射球反弹,入射球的质量应大于被碰球的质量,即 。
根据实验原理可得:
由图乙可知：OM=15.5 cm、OP′=25.5 cm、ON=40.0 cm，又因下落时间相同,即可求得：
,代值可得： 。
11．要测绘额定电压为 2 V 的日常用小灯泡的伏安特性曲线，所供选择的器材除了导线和开关外，还有以
下一些器材可供选择：
A．电源 E（电动势 3.0 V，内阻可不计）
B．电压表 V（量程为 0～3.0 V，内阻约 2 kΩ）
C．电流表 A（0～0.6 A，内阻约 1 Ω）
D．滑动变阻器 R1（最大值 10 Ω）
实验中要求电压表示数在 0~2 V 范围内变化，读取并记录下多组不同的电压值 U 和对应的电流值 I，绘
出伏安特性曲线如图．
（1）画出实验原理图（请画在答题纸上）_______；
（2）由图线可知，灯丝电阻随电压升高而________；（填“增大”、“不变”或“减小”）
（3）实验中产生系统误差的原因是：_________________________；因为上述原因将使测量结果比真实
值_____________。（填“偏大”、“偏小”或“没有影响”）
【答案】（1）如图所示 （2）增大 （3）电压表的分流 偏小
1 2m m>
1 0 1 2b bm v m v m v= +
'
1 1 2m OP m OM m ON= + 1 2: 4:1m m =【解析】（1）分析伏安特性曲线可知小灯泡最大电阻约为 4 ，属于小电阻，为减小误差电流表采用
外接法，描绘伏安特性曲线时要求电压、电流从零开始变化，滑动变阻器采用分压式接法。故画出的电
路图如下所示：
（2）在 I-U 图象中，割线的斜率的倒数表示电阻的大小，随着电压的增大，斜率减小，说明电阻增大。
（3）实验中产生系统误差的原因是电压表的分流作用。电压表测量值等于真实值，但是电流测量值大
于真实值，这样测的电阻值比真实值偏小。
【点睛】设待测电阻为 R，电测表内接、外接选择原则： < 属于小电阻，采用电流表外接法。
若 > 属于大电阻，采用内接法。要求电流、电压从零开始变化时滑动变阻器一定选择分压式
接法。
13．（1）某实验小组在“测定金属电阻率”的实验过程中，正确操作获得金属丝的直径以及电流表、电压
表的读数如图所示，则它们的读数值依次________mm、________A、__________V。
（2）已知实验中所用的滑动变阻器阻值范围为 0~10 Ω，电流表内阻约几欧，电压表内阻约 20 kΩ。
电源为干电池（不宜在长时间、大功率状况下使用），电动势 E = 4.5 V，内阻很小。则以下电路图中
__________（填电路图下方的字母代号）电路为本次实验应当采用的最佳电路。但用此最佳电路测量的
结果仍然会比真实值偏_________。
A． B．
Ω
R A VR R
R A VR RC． D．
（3）若已知实验所用的电流表内阻的准确值 Ω，那么准确测量金属丝电阻 的最佳电路应
是上图中的__________电路（填电路图下的字母代号）。此时测得电流为 I、电压为 U，则金属丝电阻
___________（用题中字母代号表示）。
【答案】（1）0.999（0.998~1.000 mm） 0.42 A 2.27 V （2.26~2.28） （2）A 小 （3）B
【解析】（1）螺旋测微器的读数为：d=0.5 mm+49.9×0.01 mm=0.999 mm；电流表的读数为：I=0.42 A；
电压表的读数为：U=2.28 V；
（2）因电源不能在大功率下长时间运行，则本实验应采用限流接法；同时电压表内阻较大，由以上读
数可知，待测电阻的内阻约为 5 Ω，故采用电流表外接法误差较小，故选 A；在实验中电压表示数准确，
但电流测量的是干路电流，故电流表示数偏大，则由欧姆定律得出的结果偏小；
（3）因已知电流表准确值，则可以利用电流表内接法准确求出待测电阻；故应选 B 电路；待测电阻及
电流表总电阻： ；则待测电阻： 。
14．某同学要测量一均匀新材料制成的圆柱体的电阻率 ρ．步骤如下：
（1）用游标为 20 分度的卡尺测量其长度如图 1，由图可知其长度 L=_______mm；
（2）用螺旋测微器测量其直径如图 2 所示，由图可知其直径 D=__________mm；
（3）用多用电表的电阻“×10”挡，按正确的操作步骤测此圆柱体的电阻，表盘示数如图 3 所示，则
该电阻的阻值约为_____________Ω。
2.0AR = xR
xR =
A
U RI -
UR I
= Ax A
UR R R RI
= − = −（4）该同学想用伏安法更精确地测量其电阻 R，现有的器材及其代号和规格如下：
待测圆柱体电阻 R；
电流表 A1（量程 0~5 mA，内阻约 50 Ω）；
电流表 A2（量程 0~15 mA，内阻约 30 Ω）；
电压表 V1（量程 0~3 V，内阻约 10 kΩ）；
电压表 V2（量程 0~15 V，内阻约 25 kΩ）；
直流电源 E（电动势 4 V，内阻不计）；
滑动变阻器 R1（阻值范围 0~15 Ω，允许通过的最大电流 2.0 A）；
滑动变阻器 R2（阻值范围 0~2 kΩ，允许通过的最大电流 0.5 A）；
开关 S；导线若干。为使实验误差较小，要求测得多组数据进行分析，请在下面框中画出测量的电路图，
并标明所用器材的代号。
（5）在图 4 中用实线连好电路。
（6）若该同学用伏安法跟用多用电表测量得到的 R 测量值几乎相等，若已知伏安法测电阻电路中电压
表和电流表示数分别用 U 和 I 表示，则用此法测出该圆柱体材料的电阻率 ρ＝______________（不要求
计算，用题中所给字母表示）。
【答案】（1）50.15 （2）4.700 （3）220 （4）见解析 （5）见解析 （6）
2
4
UD
IL
π【解析】（1）由图示游标卡尺可以知道其示数为： ；
（2）由图示螺旋测微器可以知道其示数为： ；
（3）用多用电表的电阻“ ”挡测电阻，由图示表盘可以知道,其示数为： Ω；
（4）电源电动势为 4V，如用 15 V 电压表指针偏转太小，故电压表应选 V1，电路最大电流约为：
。
电流表应选 A2，为方便实验操作滑动变阻器应选 R1，待测电阻阻值大于滑动变阻器最大阻值，滑动变阻
器采用分压接法，电压表内阻远大于待测电阻阻值，电流表采用外接法；实验电路图如图所示：
（5）实物图连接如图：
（6）根据欧姆定律可知： ；根据电阻定律可得： ；联立解得：
。
50mm 3 0.05mm 50.15mm+ × =
4.5mm 20.0 0.01mm 4.700mm+ × =
10× 22 10 220× =
3 A 0.013 6 A 13.6 mA220
UI R
= = ≈ =
x
UR I
= 2
2
x
L LR S D
ρ ρ
π
= =
2
4
UD
IL
πρ =
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