北师大版2020_2021学年新教材高一数学专题强化训练7概率（含解析）

- 1 - 专题强化训练(七)　概　率 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 是(　　) A．对立事件　 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．必然事件 B　[根据题意，把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙 分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之 外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 是互斥但不对立事件．] 2．小明家的晚报在下午 5：30～6：30 任何一个时间随机地被送到，他们一家人在下午 6：00～7：00 任何一个时间随机地开始晚餐．为了计算晚报在晚餐开始之前被送到的概率， 某小组借助随机数表的模拟方法来计算概率，他们的具体做法是将每个 1 分钟的时间段看作 个体进行编号，5：30～5：31 编号为 01，5：31～5：32 编号为 02，依此类推，6：59～7：00 编号为 90.在随机数表中每次选取一个四位数，前两位表示晚报时间，后两位表示晚餐时间， 如果读取的四位数表示的晚报晚餐时间有一个不符合实际意义，视为这次读取的为无效数据 (例如下表中的第一个四位数 7840 中的 78 不符合晚报时间).按照从左向右，读完第一行，再 从左向右读第二行的顺序，读完下表，用频率估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率为(　　) 7840 1160 5054 3139 8082 7732 5034 3682 4829 4052 4201 6277 5678 5188 6854 0200 8650 7584 0136 7655 A. 8 9　 B． 7 9 C． 7 8　 D． 9 10 A　[按要求读取到一下共 9 个数据：1160　 5054　 3139　 5034　 3682　 4052　 5678　 5188　 0136； 其中晚报到达时间早于晚餐时间的是 1160　 5054　 3139　 3682　 4052　 5678　 5188　　 0136 共 8 个数据． ∴晚报在晚餐开始之前被送到的概率为 8 9. 故选 A.] 3．甲、乙、丙三人在 3 天节假日中值班，每人值班 1 天，则甲排在乙的前面值班的概率- 2 - 是(　　) A． 1 6　　 　B． 1 4 C． 1 3　　 　D． 1 2 D　[甲、乙、丙三人在 3 天中值班的情况为甲，乙，丙；甲，丙，乙；丙，甲，乙；丙， 乙，甲；乙，甲，丙；乙，丙，甲共 6 种，其中符合题意的有 3 种，故所求概率为 1 2.] 4．从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}子集的概率 是(　　) A． 3 5　　 　B． 2 5 C． 1 4　　 　D． 1 8 C　[符合要求的是∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共 8 个，而 集合{a，b，c，d，e}共有子集 25＝32 个，∴P＝ 1 4.] 5．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是 12，11，10 的概率依次是 P1，P2，P3，则 (　　) A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3 C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1 B　[先后抛掷两颗骰子的点数共有 36 个样本点：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)， 并且每个样本点都是等可能发生的．而点数之和为 12 的只有 1 个：(6，6)；点数之和为 11 的有 2 个：(5，6)，(6，5)；点数之和为 10 的有 3 个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜ P3.] 二、填空题 6．一个袋子中有 5 个红球，3 个白球，4 个绿球，8 个黑球，如果随机地摸出一个球， 记 A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则 P(A)＝________； P(B)＝________；P(C＋D)＝________． 2 5　 3 20　 9 20　[由古典概型的算法可得 P(A)＝ 8 20＝ 2 5，P(B)＝ 3 20， P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝ 4 20＋ 5 20＝ 9 20.] 7．若 A，B 是相互独立事件，且 P(A)＝ 1 2，P(B)＝ 2 3，则 P(AB )＝________，P(A B )＝________． 1 6　 1 6　[因为 P(A)＝ 1 2，P(B)＝ 2 3，所以 P(A)＝1－P(A)＝1－ 1 2＝ 1 2， P(B)＝1－ 2 3＝ 1 3.因为 A，B 相互独立，∴A 与B，A与B相互独立， ∴P(A B )＝P(A)P(B)＝ 1 2× 1 3＝ 1 6，P(A B )＝P(A)P(B)＝ 1 2× 1 3＝ 1 6.]- 3 - 8．下课以后，教室里最后还剩下 2 位男同学，2 位女同学，如果没有 2 位同学一块儿走， 则第 2 位走的是男同学的概率是________． 1 2　[已知有 2 位女同学和 2 位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男， 女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)， 所以第 2 位走的是男同学的概率是 P＝ 3 6＝ 1 2.] 三、解答题 9．同时抛掷 1 角、5 角和 1 元的三枚硬币，计算： (1)恰有一枚出现正面的概率； (2)至少有两枚出现正面的概率． [解]　试验的样本空间为 Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正， 正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，样本点总数为 8. (1)用 A 表示“恰有一枚出现正面”这一事件： 则 A＝{(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)}． 因此 P(A)＝ 3 8. (2)用 B 表示“至少有两枚出现正面”这一事件， 则 B＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}，因此 P(B)＝ 4 8＝ 1 2. 10．某电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”．A，B，C，D 四个管理部门的 负责人接受问政，分别负责问政 A，B，C，D 四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参 加一个部门的问政)人数的条形图如下．为了了解市民对实施“让交通更顺畅”几个月来的评 价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层随机抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份 进行统计，统计结果如下面表格所示： 满意 一般 不满意 A 部门 50% 25% 25% B 部门 80% 0 20% C 部门 50% 50% 0 D 部门 40% 20% 40%- 4 - (1)若市民甲选择的是 A 部门，求甲的调查问卷被选中的概率； (2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出 2 人进行电视访谈，求这两人中 至少有一人选择的是 D 部门的概率． [解]　(1)由条形图可得，分别负责问政 A，B，C，D 四个管理部门的现场市民代表共有 200 人，其中负责问政 A 部门的市民为 40 人． 由分层随机抽样可得从 A 部门问卷中抽取了 20× 40 200＝4 份．设事件 M＝“市民甲被选中 进行问卷调查”，所以P(M)＝ 4 40＝0.1.∴若甲选择的是 A 部门，甲被选中问卷调查的概率是 0.1. (2)由图表可知，分别负责问政 A，B，C，D 四部门的市民分别接受调查的人数为 4，5， 6，5.其中不满意的人数分别为 1，1，0，2.记对 A 部门不满意的市民是 a；对 B 部门不满意 的市民是 b；对 D 部门不满意的市民是 c，d. 设事件 N＝“从填写不满意的市民中选出 2 人，至少有一人选择的是 D 部门”． 从填写不满意的市民中选出 2 人，样本空间为 Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)， (b，d)，(c，d)}，样本点总数为 6；而事件 N＝{(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c， d)}，样本点个数为 5，所以 P(N)＝ 5 6.故这两人中至少有一人选择的是 D 部门的概率是 5 6. 11．一袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个卡片，从中无放 回地每次抽一张卡片，共抽 2 次，则取得两张卡片的编号和不小于 14 的概率为(　　) A． 1 28　　　　B． 1 56　　　　C． 3 56　　　　D． 1 14 D　[从中无放回地取 2 次，所取号码共有 56 种，其中和不小于 14 的有 4 种，分别是(6， 8)，(8，6)，(7，8)，(8，7)，故所求概率为 4 56＝ 1 14.] 12．一场 5 局 3 胜制的乒乓球对抗赛，当甲运动员先胜 2 局时，比赛因故中断．已知甲、 乙水平相当，每局甲胜的概率都为 1 2，则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为(　　) A．6︰1 B．7︰1 C．3︰1 D．4︰1- 5 - B　[奖金分配比即为甲乙取胜的概率比．甲前两局已胜，甲胜有 3 种情况：①甲第三局 胜记为 A1，P(A1)＝ 1 2，②甲第三局负第四局胜为 A2，P(A2)＝ 1 2× 1 2＝ 1 4，③第三局、第四局甲负， 第五局甲胜为 A3，P(A3)＝ 1 2× 1 2× 1 2＝ 1 8.所以甲胜的概率 P＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝ 7 8，乙胜的 概率则为 1 8，所以选 B.] 13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别记为 b，c，则方程 x2＋bx＋c＝0 没 有实数根的概率为________． 17 36　[本试验的样本点的总数共有 36 个，方程 x2＋bx＋c＝0 没有实数根的充要条件是 b2 ＜4c，满足此条件的(b，c)共有 17 种情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (1，6)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，5)，(4，6)，故所求事件的概率 P＝ 17 36.] 14．为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下 的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________． 2 3　[从 4 种颜色的花中任选 2 种颜色的花种在一个花坛中，余下 2 种颜色的花种在另一 个花坛的种数有：红黄－白紫、红白－黄紫、红紫－白黄、黄白－红紫、黄紫－红白、白紫 －红黄，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄－白紫、红白－黄紫、 黄紫－红白、白紫－红黄，共 4 种，故所求概率为 P＝ 4 6＝ 2 3.] 15．爸爸和亮亮用 4 张扑克牌(方块 2，黑桃 4，黑桃 5，梅花 5)玩游戏，他俩将扑克牌 洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回． (1)若爸爸恰好抽到了黑桃 4. ①请把下面这种情况的树状图绘制完整； ②求亮亮抽出的牌的牌面数字比 4 大的概率． (2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮 胜．你认为这个游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游 戏公平． [解]　(1)①树状图：- 6 - ②由①可知亮亮抽出的牌的牌面数字比 4 大的概率是 2 3. (2)不公平，理由如下： 爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大有 5 种情况，其余均为小于等于亮亮的牌面数字， 所以爸爸胜的概率只有 5 12，显然对爸爸来说是不公平的． 只需把黑桃 5 改成黑桃 6 即可使这个游戏公平(答案不唯一).