浙江省浙南名校联盟2019-2020高二数学下学期期末联考试题（Word版附答案）

2019 学年第二学期浙南名校联盟期末联考 高二年级数学学科试题 选择题部分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 ，A∩B＝( ) 2．下列运算结果为纯虚数的是（ ） 3．已知条件 p： x＞1，条件 g： ，则 p 是 q 的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 m， n 是两条不同的直线， α， β， γ 是三个不同的平面，下列 命题正确的是（ ） A．若 m⊥α， n⊥β，则 α⊥β B．若 m//α， m//β，则 α// β C．若 m⊥α， n∥α，则 m⊥n D．若 m∥α， n//α， n⊥β，则 m⊥β 5．若 x， y 满足 ，表示的平面区域为 ，直线 y＝kx－k 与区域 有公共点，则 k 的取值范围是（ ） 6．已知函数 ，则下列错误的是（ ） A． f（x）的最大值是 1 B．f（x）是周期函数 { | 2 }, { | ln( 1)}A x y x B x y x= = − = = − A. { | 1} B. { | 2} C. { |1 2} D. { | 2}x x x x x x x x> ≤ ≤ ≤ < ≤ 2 3 2 A. (1 ) B. (1 ) C. (1 ) D. (1 )i i i i i i i− + + + 1 1x < 0 3 2 1 x x y y x ≥  + ≤  ≥ + Ω Ω A. [ 1, ) B. [ 7, 1] C. ( , 7] D. ( , 7] [ 1, )− +∞ − − −∞ − −∞ − ∪ − +∞ ( ) cos( sin 2 ),f x x x x R= + ∈C．f（x）的图象关于直线 x＝π 2对称 D．f（x）是偶函数 7．已知 c＞a，随机变量 的分布列如下表所示，则（ ） 8．已知点 F 是椭圆 的上焦点，点 P 在椭圆 E 上，线 段 PF 与图 相切于点 Q，O 为坐标原点，且 ，则椭圆 E 的离心率为（ ） 9．已知三棱锥 P—ABC 中， ，底面△ABC 中∠C＝90°，设 平面 PAB，PBC，PCA 与平面 ABC 所成的锐二面角分别为 ，则下列说 法正确的是（ ） C．当 AC＝BC 时， D．当 AC＝BC 时， 10．已知函数 ， 记函数 g(x)和 h(x)的零点个数分别是 M ，N，则（ ） ,ξ η A. , B. , C. , D. , E E D D E E D D E E D D E E D D ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η > < > = > > < = 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b + = > > 2 2 2( )2 16 c bx y+ − = ( ) 0OP OF FP+ ⋅ =   6 5 2 1 A. B. C. D. 3 3 3 2 PA PB PC< < 1 2 3, ,α α α 1 3 1 2. B. Aα α α α> < 2 3 α α< 3 1 α α> 22 , , ( ) ( ) , ( ) [ ( )]( ) , x xe e x a g x f x b h x f f x bF x x x a  − ≤ = − = −=  >A．若 M＝1，则 N≤2 B．若 M＝2，则 N≥2 C．若 M＝3，则 N＝4 D．若 N＝3，则 M＝2 非选择题部分 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11．双曲线 的焦距为________，渐近 线方程为________ 12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何 体的体积是________， 表面积是________ 13．如果 的展开式中各项二项式系数之 和为 64，则 n＝________， 展开式中的常数项为________ 14．已知△ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别 为 a， b， c，满足 ， ∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，且 AD＝2， BD＝2CD，则 cos A＝________，C＝________ 15．现有完全相同的物理书 4 本，语文、数学、英语书各 1 本，把这 7 本 书摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有 ________种摆法 （结果用数字作答） 16．已知正项等比数列 的前 n 项和为 ，若 成等差数列， 则 的最大值为________ 17．已知平面非零向量 ，满足 且 ，已知 ，则 的取值范围是________ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 18． （本题满分 14 分）已知函数 ． 2 22 2x y− = 1(3 )nx x + 1cos 2a C c b− = { }na nS 63 61, ,S S 9 3 2 6 S S S − , ,a b c  a b⊥  | | 1c = 2 2 15 0,| | | |a a c a c b c− ⋅ − = − = −      | |a b+  ( ) 2sin ( 3 cos sin ) 1f x x x x= + −（Ⅰ）求 f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若 ，求 的值。 19． （本题满分 15 分）如图，在四棱锥 P—ABCD 中， ， 是等腰等直角三形，且 ． (Ⅰ)求证： AD⊥BP； （Ⅱ）求直线 BC 与平面 ADP 所成角的正弦 值． 20．（本题满分 15 分）设数列 的前 n 项和为 ，对任意 都有 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）记 ，证明： 2( )2 5f α = sin(2 )6 πα + 90ABC BCD °∠ = ∠ = 60 ,BAD ADP°∠ = ∆ 2, 2 2, 7AP DP AB CD BP= = = = = { }na nS *n N∈ 2 13 2n nS n a= + { }na *4( )n nb a n N= + ∈ * 1 2 1 1 1 2 3 2( )3n n n N b b b + + + < + ∈21． （本题满分 15 分）已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 F 在 x 轴 正半轴上，抛物线 C 上一点 P（4，m）到 焦点 F 的距离为 5． （Ⅰ）求抛物线 C 的标准方程； （Ⅱ）已知 M 是抛物线 C 上任意一 点，若在射线 上 存在两点 G， H，使得线段 MG， MH 的中点恰好落在抛物线 C 上， 求当△MGH 面积取得最小值时点 M 的坐标． 22． （本题满分 15 分）已知函数 ． （Ⅰ）当 时，求 f（x）的最小值； （Ⅱ）若 对任意的 恒成立，求实数 a 的取值范 围． 1 4( 0)2y x y= + ≥ ( ) 2 ln( )f x x a x a= − − + 1a = − ( ) 1 ln 2 x af x e −≥ − − [1, )x∈ +∞2019 学年第二学期浙南名校高二期末考试 高二年级数学学科 参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C B C B B C A 二、 填空题 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 16、 17、 三、解答题 18.（本题满分 14 分） 解： （I） ………………3 分 ………………5 分 令 ,解得 所求单调增区间为 ………………7 分 (Ⅱ)由题意得： ，得 ………………8 分 ………………10 分 ………………12 分 2 3 2 0x y± = 6 16 2 5+ 6 1215 1 2 − 6 60 3 2 2− [ 31 1, 31 1]− + 2( ) 2 3sin cos 2sin 1f x x x x= + − 3sin 2 cos2x x= − 2sin(2 )6x π= − πππππ kxk 226222 +≤−≤+− Zkkxk ∈+≤≤+− ,36 ππππ )(3,6 Zkkk ∈    ++− ππππ 2( )2 5f α = 1sin( )6 5 πα − = sin(2 )6 πα + sin[2( ) ]6 2 π πα= − + cos2( )6 πα= − 21 2sin ( )6 πα= − − ………………14 分 19.（本题满分 15 分） (1) 取 AD 中点 E,连接 PE、BE, 是等腰直角三角形，且 , 且 , ……………3 分 且 ， 是等边三角形， , ……………6 分 又 , ……………7 分 (2)方法一： , ， ,过 B 做 交 PE 延长线于 M 点， ， 延长 AD、BC 交于点 F， 为直线 与平面 所成角， ……………11 分 由题意得 , , , 又 , ， , ………………14 分 , 23 25 =  ADP∆ 2AP DP= = ∴ AD PE⊥ 2AD =  2AB = 60BAD∠ =  ABD∴∆ ∴ AD BE⊥ BE PE E= ∴ ,AD PBE AD BP⊥ ∴ ⊥面  AD PEB⊥ 面 AD PEB⊂ 面 ∴ ADP PEB⊥面 面 BM PE⊥ ∴ BM PAD⊥ 面 ∴ BFM∠ BC ADP 1,BE 3PE = = 7BP = 3150 , 2PEB BM∴∠ = =  90ABC BCD∠ = ∠ =  60BAD∠ =  2 2AB CD= = ∴ 2 3BF = ∴ 1sin 4 BMBFM BF ∠ = = E P D C BA F E A B CD P M即直线 与平面 所成角的正弦值为 …………15 分 方法二： ,以 E 为坐标原点，分别以 AE, BE 为 x 轴、y 轴，与平面 ABCD 垂直的 EQ 为 z 轴建立空间直角坐标系 ……………8 分 E-xyz 如图所示,则 , , , , ……………11 分 则 , , 设平面 ADP 的法向量为 ,则 ， 取 ， ……………………………13 分 则直线 与平面 所成角的正弦值 。 ………………………15 分 方法 3：体积法. 20.（本题满分 15 分） BC ADP 1 4  AE BE⊥ (0,0,0), (1,0,0), (0, 3,0)E A B  2AB DC=  3 3( , ,0)2 2C∴ −  ADP PEB⊥面 面 150 ,PEB∠ =  3 1P(0, , )2 2 ∴ − 3 3( , ,0)2 2BC = − − 3 1( 2,0,0), ( 1, , )2 2AD AP= − = − −  ( , , )n x y z= 0 0 3 10 02 2 n AD x n AP x y z  ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⇒ − − + =     (0, 3,3)n = BC ADP 1sin 4 n BC n BC α ⋅ = = ⋅     2 1(1) 3 2n nS n a= + 2 1 1 13( 1) 2n nS n a+ +∴ = + + E A B CD P y z x …………………………2 分 两式相减可得：，…………………………4 分 中奇数项，偶数项分别成公差是 12 的等差数列，中 令 n=1,得，令 可得：， ………………………………7 分 综上所述可得：， ………………………………8 分 （2）（法一：放缩裂项法） ………………12 分 ………………………………………15 分 法二：数学归纳法(结合分析法、放缩法等) 证明：①当 n=1 时,左边 ，右边= 所以不等式成立. ……………9 分 ②假设当 时, 不等式成立 即 ， 1 12 6n na a n+∴ + = + ( )2 1 12 1 6n na a n+ +∴ + = + + { }na∴ 2n = ( ) ( )2 1 1 12 1 12 6 6 2 1ka a k k k−∴ = + − = − = − ( )2 2 12 1 12 6 2ka a k k k= + − = = ⋅ 6 4,nb n= + 1 1 2 2 2 ( 3 2 3 1)36 4 2 3 2 3 2 3 1n n n b n n n n = = < = + − − + + + + − 1 2 1 1 1 2 [( 5 2) ( 8 5) ( 3 2 3 1)]3n n n b b b ∴ + + + < − + − + + + − −  2 2( 3 2 2) 3 23 3n n= + − < + = 1 1 1 10b = 2 103 2 ,3 3 + = ( )n k k N ∗= ∈ 1 2 1 1 1 2 3 23k k b b b + + + < +则当 n=k+1 时, 只需证明： 即只要证明： ……………………………11 分 即证： 是成立的 所 以 n=k+1 时 , 不 等 式 成 立 . 根 据 ① ② 知 原 不 等 式 对 于 任 意 成 立. …………………15 分 21．（本题满分 15 分） （1）由题，设抛物线 的标准方程为 ，焦点 , 则 ，解得 ……………………………………3 分 则抛物线 的标准方程为 …………………………………………5 分 （2）解法一： ………………………6 分 …………………………………………9 分 1 2 1 1 1 1 2 13 23 6( 1) 4k k b b b k+ + + + < + + + + 2 1 23 2 3( 1) 23 36( 1) 4 k k k + + < + + + + 1 2 ( 3 5 3 2)36 10 k k k < + − + + 1 3 2 2 6 10 3( 3 5 3 2) ( 3 5 3 2)k k k k k < = + + + + + + + 1 1 2 2 6 10 2 3 5 2 3 5 3 5 3 2k k k k k = = < + + + + + + n N ∗∈ C pxy 22 = )0,2(PF 524|| =+= pPF 2=p C xy 42 = 0,),,82(),,82(),,4( 2111110 2 0 ≥−− ttttHttGyyM设 ),48(4)2()2,48( 1 2 021010 1 2 0 −+=++−+ tytytytyAMG 在抛物线上，可得中点则由 064)162( 2 010 2 1 =−+−+ ytyt整理得： 064)162( 2 020 2 2 =−+−+ ytyt同理得：…………………………………………11 分 ………………14 分 …………15 分 解法二： ，与抛物线联立，得： ……………………………………………7 分 ， …………………………………………9 分 \ ………………………………11 分 00064)162(, 21 2 00 2 21 >≥=−+−+∴ ttytyttt ，的两个实根，且是方程 ( )      ≥−= >−=+ >−−−=∆ ∴ 064 0216 0644)162( 2 021 021 2 0 2 0 ytt ytt yy 08 0 −=∆ ∴ myy yy m 8 8 03264 21 21 2−= ≥−= 02 02 02 01 yyy yyy H G由    ≥ >+⇔ 0 0 HG HG yy yy    ≥++− >−+⇔ 0)(24 02)(2 2 021021 021 yyyyyy yyy    ≥+− >−⇔ 01632 08 2 00 0 yym y    ≤≤− ∆又 2+ +− − 1( ) (1) 2 1 ln(1 )+ ,ag x g a a e −≥ = − − + 1( ) 2 1 ln(1 )+ ,aa a a eϕ −= − − + ( )aϕ 递减 ( ) (1)=1 ln 2,aϕ ϕ≥ − ( 1,1]a∴ −的取值范围为