上海市徐汇区2019-2020高二数学下学期期末试题（Word版附答案）

第 1 页 共 6 页 徐汇区高二下期末数学试卷 2020.7 一、填空题 1．已知直线 的一个方向向量是 ，则它的斜率为 ． 2．抛物线 的准线方程为 ． 3．直线 与直线 的夹角为 ． 4．已知长方体 的 、 、 的长分为 3、4、5，则点 到棱 的距离为 ． 5．若 为坐标原点， 是直线 上的动点，则 的最小值为 ． 6．如图，以长方体 的顶点 为坐标原点， 过 的三条棱所在真线为坐标轴，建立空间直角坐标系． 若 的坐标为 ，则 的坐标为 ． 7．经过点 且与圆 相切的直线方程是 ． 8．已知 ，则 的最大值是 ． 9．如图，已知三棱柱 的体积为 4，则四面体 的体积为 ． 10．已知双曲线 的焦点坐标为 ，则 的值为 ． 11．从 （ ，且 ）个男生、6 个女生中任选 2 个人发言．假设事件 表示选 出的 2 个人性别相同，事件 表示选出的 2 个人性别不同．如果事件 和事件 的概率相 等，则 ． 12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为 10 公里， 母线长为 40 公里， 是母线 上一点，且 公里．为了发展旅 游业，要建设一条最短的从 绕山一周到 的观光铁路．这条铁路从 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里． l (1,2) 2: 4C y x= 1 : 2 1 0l x y− + = 2 : 2 1 0l x y+ + = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA AB AD A 1 1B C O P 2 0x y− + = | |OP 1 1 1 1ABCD A B C D− D D 1DB (4,3,2) 1AC (1, 3)A 2 2: 4C x y+ = 2 1( 0, 0)x y x y+ ≤ ≥ ≥ x y− 1 1 1ABC A B C− 1 1C A BC− 2 2 : 12 x yC a a − =− (0, 6)± a m m ∗∈N 4m≥ A B A B m = B SA 10AB = A B A第 2 页 共 6 页 二、选择题 13．在正方体 中， 和 所成角的大小是（ ） A． B． C． D． 14．已知 、 是定点， ．若动点 满足 ，则动点 的轨迹 是（ ） A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 15．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 且腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A． B． C． D． 16．如图，点 是曲线 上的任意一点， ， ，射线 交曲线 于 点， 垂直于直线 ， 垂足为点 ．则下列判断：① 为定值 ； ② 为定值 5．其中正确的说法是（ ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确 三、解答题 17．已知关于 的一元二次方程 的两根为 ． （1）若 为虚数，求 的取值范围； （2）若 ，求 的值． 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB 1BC 6 π 4 π 3 π 2 π 1F 2F 1 2| | 6F F = M 1 2| | | | 6M F M F+ = M 45° 2 2 2 + 1 2 2 + 2 2+ 1 2+ A 2 2( 2)y x y= + ≤ (0, 2)P − (0,2)Q QA 21 8y x= B BC 3y = C | | | |AP AQ− 2 2 | | | |QB BC+ x 2 1 0( )x kx k− + = ∈R 1 2,x x 1x k 1 2| | 2x x− = k第 3 页 共 6 页 18．己知 的二项展开式中二项式系数之和为 256． （1）求 的值； （2）求该展开式中 项的系数． 19．如图，己知正方体 的棱长为 1． （1）求证： ； （2）求 与平面 所成角的大小． 20．高二 A 班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务．已 知购买一圆柱形桶装冰激凌需要 1300 元，此桶装冰激凌桶内底面直径为 25 厘米，冰激凌净 高 20 厘米．单球冰激凌的平均直径约为 5 厘米，一副一次性杯勺的成本约 1 元（其他成本 忽略不计）．根据前期调查，冰激凌球能全部售完． 高二 A 班打算将每个单球冰激凌定价为 15 元，你认为这样的定价是否合理？请作出必 要的计算，结合计算结果阐述你的理由． (2 1) ( )nx n ∗− ∈N n 3x 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A C AD⊥ 1A C 1ACD第 4 页 共 6 页 21．已知：椭圆 的焦距为 2，且经过点 ， 、 是椭圆上异 于 的两个动点． （1）求椭圆 的方程； （2）若 ，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标． 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3(1, )2M A B M C 90AM B∠ = ° AB第 5 页 共 6 页 参考答案 一、填空题 1．2 2． 3． 4．5 5． 6． 7． 8．1 9． 10． 11．10 12．18 【第 12 题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点 作 的垂线，垂足为 ， 记点 为 上任意一点，联结 ， ， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的 ， ， 上坡即 到山顶 的距离 越来越小，下坡即 到山顶 的 距离 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的 ， 由 ，可求出 ． 二、选择题 13．C 14．B 15．C 16．A 【第 16 题解析】曲线 两边平方， 得 ，为双曲线 的 的部分， ， 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义， 知 ，又 ，∴ ，①正确； 曲线 即抛物线 ，其焦点为 ，准线方程为 ， 由抛物线定义，知 ，②正确；选 A． 三、解答题 17．（1） ； （2）① 时， ； ② 时， ； 综上， 的值为 或 0． 18．（1） ； （2） ， 时， ， 1x = − 90° 2 ( 4,3,2)− 3 4 0x y+ − = 4 3 2− S A B′ H P A B′ PS  2 10 2A A A OA SA A OA ππ′ ′ ′= ∠ ⋅ = ⋅ ⇒ ∠ = A B′ 2 2 50A B SA SB′ ′= + = P S PS P S PS H B Rt RtSA B H SB′△ ∽ △ 18H B = 2 2( 2)y x y= + ≤ 2 2 2y x− = 2 2 12 2 y x− = 2 2y≤ ≤ (0, 2)P − (0,2)Q || | | || 2 2AP AQ− = | | | |AP AQ> | | | | 2 2AP AQ− = 21 8y x= 2 8x y= (0,2)Q 2y = − | | | | | | | | | | 5QB BC BD BC CD+ = + = = 2 4 0 2 2k k∆ = − < ⇒ − < < 0∆≥ 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4 4 4 2 2x x x x x x k k− = + − = − = ⇒ = ± 0∆ < 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | [( ) 4 ] 4 4 0x x x x x x k k− = − + − = − = ⇒ = k 2 2± 2 256 8n n= ⇒ = 8 1 8 (2 ) ( 1)r r r rT C x − + = ⋅ ⋅ − 5r = 5 3 3 3 6 8 (2 ) ( 1) 448T C x x= ⋅ ⋅ − = −第 6 页 共 6 页 即 项的系数为 ． 19．（1）略；（2） ． 20． ， ， 每个单球冰激凌的成本价为 （元）， 定价为 15 元，利润率约为 55%，较为合理． 21．（1） ； （2）设 、 ， ①直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 与椭圆方程联立可得， ， ∴ （*）且 ， ∵ ，∴ ， 即 ， 化简得 ， 将（*）式代入，得 ， ， ∴ ，即 或 （舍，此时直线 过点 ） ∴直线 的方程为 ，过定点 ； ②直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， ， 可设 ，且 ，由 ， 即 ，解得 或 （舍）， 此时直线 的方程为 ，也过定点 ； 综上，直线 过定点 ． 3x 448− 1arcsin 3 2 212.5 20 3125V R hπ π π= = ⋅ ⋅ =圆柱 3 34 4 1252.53 3 6V rπ π π= = ⋅ =球 125 296 1300 1 9.673125 3 π π ⋅ + = ≈ 2 2 14 3 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB AB y kx m= + 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 2 1 2 2 8 4 3 4 12 4 3 kmx x k mx x k  + = − + − = + 2 20 4 3k m∆ > ⇒ < + 90AM B∠ = ° 1 1 2 2 3 3( 1, ) ( 1, ) 02 2M A M B x y x y⋅ = − − ⋅ − − =  1 2 1 2 3 3( 1)( 1) ( )( ) 02 2x x kx m kx m− − + + − + − = 2 2 1 2 1 2 3 13( 1) [ ( ) 1]( ) 3 02 4k x x k m x x m m+ + − − + + − + = 2 2 97 (8 9) ( ) 04m k m k+ − + − = 2 236 144 144 (6 12)m k k k∆ = − + = − (8 9) 14 mkm − − ± ∆= 1 3 7 14m k= − − 3 2m k= − − AB M AB 1 3 1 3( )7 14 7 14y kx k k x= − − = − − 1 3( , )7 14 − AB AB x t= ( 2,1) (1,2)t ∈ −  1 1( , ), ( , )A t y B t y− 22 1 14 3 yt + = 1 1 3 3( 1, ) ( 1, ) 02 2M A M B t y t y⋅ = − − ⋅ − − − =  2 2 2 2 1 9 9( 1) ( 1) 3(1 ) 04 4 4 tt y t− + − = − + − − = 1 7t = 1t = AB 1 7x = 1 3( , )7 14 − AB 1 3( , )7 14 −