上海市松江区2019-2020高二数学下学期期末试题（Word版附答案）

松江区高二期末数学试卷 2020．07 一．填空题 1．已知正方体 的棱长为 a，异面直线 BD 与 的距离为 ________ 2．若排列数 ，则 m＝________． 3．若关于 x 的一元二次方程 （其中 ）有一个根为 1 ＋i （i 是虚数单位），则 q 的值为________ 4．正三棱柱的侧棱长为 4，底面边长为 6，则此三棱柱的体积为________ 5．已知直线 l 的一个方向向量 ，平面 α 的一个法向量 ，若 l⊥α，则 m＋n＝________ 6．已知复数 z 满足 ，则 （其中 i 是虚数单位）的最小值为 ________ 7．已知 ，则向量 与 的夹角 是________ 8．二项式 的展开式中，各项的系数之和为 A，各项的二项式系数 之和为 B，且 A＋B＝72，则 n＝________ 9．从分别标有数字 1， 2， …， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上数字的奇偶性不同的概率是________ 10．设球 O 的表面积为 16π，圆 是球 O 的一小圆， ， A、B 是圆 上的两点，若 A、B 两点间的球面距离为2π 3 ，则 ________ 11．如图，两个棱长为 1 的正方体排成一个四棱柱， AB 是一条侧棱， 是正方体其余的 10 个顶点，则 的不同值的 个数为________个 1 1 1 1ABCD ABCD− 1 1AB 10 10 9 8 720mP = × × = 2 0x px q+ + = ,p q R∈ (2,3,5)d = ( 4, , )n m n= − | | 1z = | 2 |z i− (cos ,1,sin ), (sin ,1,cos )a bθ θ θ θ= = a b+  a b−  3( )nx x + 1O 1 2OO = 1O 1AOB∠ = ( 1,2, ,10)iP i =  i ( 1,2, ,10)AB AP i⋅ =  12．已知棱长为 1 的正方体 中，点 E 为侧面 的中 心，点 F 在棱 AD 上运动，正方体表面上的点 P 满足 ，则所有满足条件的点 P 构成图形的面积为 ________ 二．选择题 13． “两条直线没有公共点”是"两条直线为异面直线”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 1 1 1 1ABCD ABCD− 1 1BBCC 1 1 1 ( 0, 0)DP DF DEλ µ λ µ= + + ≥ ≥  D．既非充分又非必要条件 14．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 400 名学生中抽 25 名 学生做牙齿健康检查，现将 400 名学生从 1 到 400 进行编号，求得间隔数 ，即每 16 人抽取—个人，在 1—16 中随机抽取一个数，如果抽到 的是 7，则从 33—48 这 16 个数中应取的数是（ ） A．40 B． 39 C．38 D． 37 15．设 a、b 是两条不同的直线， α、β 是两个不同的平面，则下列四个命 题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 16．已知集合 ，从这三个集合中各取一个 元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则不同点的坐标个数为（ ） A． 36 B．35 C．34 D． 33 三．解答题 17．已知复数 (其中 i 是虚数 单位)． （1）求 z： （2）若 ，求 a 的取值范围》 18．已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，母线长为 4， 是底面半径，且 为线段 AB 的中点，如图 所示． 400 1625k = = ,a b a α⊥ ⊥ / /b α / / ,a α α β⊥ a β⊥ ,a β α β⊥ ⊥ / /a α , ,a b a bα β⊥ ⊥ ⊥ α β⊥ {1}, {2,3}, {3, 4,5}A B C= = = 2 1 21 , 4 3, ( )w i z w w z a i a R= + = + − = − ∈ 1 2 1| | 2 | |z z z− > 2 3, ,PO OA OB= 0,OA OB M⋅ = （1）求圆锥的表面积； （2）求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小． 19．为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020 五五购物节”活 动，某商家提供 1000 台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器 400 台，普通 型吸尘器 600 台． （1）豪华型吸尘器前 6 天的销量分别为： 9、12．x、y、10、10 （单 位：台） ，把这 6 个数据看作一个总体，其均值为 10，方差为 3，求 的 值； （2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为 25 的样本，将 该样本看成一个总体，从中任取 2 台吸尘器，求至少有 1 台豪华型吸尘器的概 率（用最简分数表示）． 20．如图所示，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ，AB⊥AC， M 是 的中点， N 是 BC 的中点，点 P 在直 线 上，且满足 ． | |x y− 1 1 1ABC ABC− 1 1AA AB AC= = = 1CC 1 1AB 1 1 1A P A Bλ= (1)证明： PN⊥AM； （2）当 λ 取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 θ 最大？并求该角取得 最大值时的正切值； （3）若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°，试确定点 P 的位置． 21．我们称 元有序实数组 为 n 维向量， 为该向量的范数，已知 n 维向量 ，其中 ，记范数为奇数的 n 维向量 的个数为 ，这 个向 量的范数之和为 ． (1)求 和 的值； (2)求 值； (3)当 n 为奇数时，证明： ． *( )n n N∈ 1 2( , , , )nx x x 1 2| | | | | |nx x x+ + + 1 2( , , , )na x x x=  { 1,0,1}, 1,2, ,ix i n∈ − =  a nA nA nB 2A 2B 2020A 1(3 1)n nB n −= ⋅ +