江苏省连云港市2019-2020高二数学下学期期末调研试题（Word版附答案）

2019～2020 学年第二学期高二期末调研考试 数学试题 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题 卡相应位置上． 1．已知 i 为虚数单位，复数 ，则 z 的虚部是 2．已知随机变量 ， 且 ，则 3．若 4 名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报 1 项，则不 同的报名方式有 A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 4．设随机变量 X 的概率分布如下表所示，且 E（X）＝2．5，则 a—b＝ 5．如图，在正四棱柱 中， ， 4 5z i= − 5 . 5 . 5 5. .A i B i DC − − ~ (0,1)Z N ( 2)P Z a< = ( 2 2)P Z− < < = A. 2 B. 2 1 C. 1 2 D. 2(1 )a a a a− − − 43 34 3 3A 3 4A 3 3 3 3 A. B. C. D. 4 8 16 32 1 1 1 1ABCD A B C D− 12AB BB=P 为 的中点．则异面直线 AC 与 BP 所成的角为 A． 90° B． 60° C． 45°D． 30° 6．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0．6， 0．7，若两人各投 2 次， 则两人投中次数不等的概率是 A． 0．6076 B． 0．7516 C． 0．3924 D． 0．2484 7．4 个不同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的 4 个盒子中，则恰有 2 个 空盒的放法有 A． 144 种 в． 120 种 C． 84 种 D． 60 种 8．已知函数 有三个不同的零点，则实数 a 的取值 范围是 二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选 错的得 0 分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上． 9．已知 m， n 是两条不重合的直线， α， β， γ 是三个两两不重合的平 面，下列命题是真命题的有 A．若 m⊥α， m⊥β，则 α//β B．若 m⊂α， n⊂β， m//n，则 α//β C．若 m， n 是异面直线， m⊂α， m//β， n⊂β， n∥α，则 α//β D．若 α⊥γ， β⊥γ，则 α//β 10．关于排列组合数，下列结论正确的是 11．为弘扬我国古代的“六艺文化” ，某夏令营主办单位计划利用暑期开设 “礼”“乐"“射”“御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则 A．某学生从中选 3 门，共有 30 种选法 B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有 240 种排法 C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 144 种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 504 种排法 1 1B C 2( ) ( )xf x e ax a R= − ∈ 2 2 A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )4 2 4 2 e e e e+∞ +∞ +∞ +∞ 1 1 1 1 1 1 . B. . D. m n m m m m n n n n n m m m m m n n n n n AC C C C C C A mA A mA A − − + − − − + = = + = + =12．已知函数 ，则 A．函数 f(x)的递减区间是 B．函数 f(x)在 上单调递增 C．函数 f（x）的最小值为 1 D．若 ，则 m＋n＞2 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题 卡相应位置上． 13．已知 i 为虚数单位，设 ，若 为实数，则 m＝________． 14．已知函数 f（x）＝tanx，那么 ＝________ 15．若 的二项展开式中常数项为 ，则常数 a 的值是________ 16．棱长为 12 的正四面体 ABCD 与正三棱锥 E—BCD 的底面重合，若由 它们构成的多面体 ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥 E—BCD 的 体积为 ________，该正三棱锥内切球的半径为________． （第一空 3 分，第 二空 2 分） 四、解答题：共 6 小题，共 70 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分 10 分） 江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科，我市在对某校 高一年级学生的选科意愿调查中，共调查了 100 名学生，其中男、女生各 50 人，男生中选历史 15 人，女生中选物理 10 人． （1）请根据以上数据建立一个 2x2 列联表； (2)判断性别与选科是否相关． 附： 1( ) lnf x x x = + ( ,1)−∞ ( , )e +∞ ( ) ( )( )f m f n m n= ≠ 1 22 3 , ( )z i z m i m R= + = − ∈ 1 2 z z ( )6f π′ 61( )x ax − 5 2 − 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d χ −= + + + +18． （本小题满分 12 分） 已知 的展开式中，第 5 项与第 3 项的二项式系数之比为 14：3． (1)求正整数 n； (2)若 ，求 19． （本小题满分 12 分） 今年年初，我市某医院计划从 3 名医生、5 名护士中随机选派 4 人参加湖 北新冠肺炎疫情狙击战． （1）求选派的 4 人中至少有 2 名医生的概率； （2）设选派的 4 人中医生人数为 X，求 X 的概率分布和数学期望． 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）若函数 f（x）的图象与直线 6x—3y—7＝0 相切，求实数 a 的值； (2)求 f(x)在区间[－1，1]上的最大值． 21． （本小题满分 12 分） 如图，在三校柱 中，已知 （1）求证：平面 ACC1A1⊥平面 ABC ； (2)求二面角 大小的余弦值． (3 1)nx − 2 0 1 2(3 1)n n nx a a x a x a x− = + + + + 1 | | n i i a = ∑ 3 21 1( ) 1( 0)3 2f x ax x a= − + > 1 1 1ABC A B C− 1 60 , 45A AC BAC° °∠ = ∠ = 1 1 2, 2A B A A AC AB= = = = 1 1B A B C− −22． （本小题满分 12 分） 已知函数 (1)若 在 上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （2）若 f（x）在 上是单调递减函数，求实数 a 的取值集合． 2( ) ln( 1) 1( )f x x x ax a R= + − + ∈ ( ) ( )h x f x′= ( 1, )− +∞ ( 1, )− +∞2019～2020 学年度高二年级第二学期期末考试试题数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．C 二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分， 有选错得 0 分. 9．AC 10．ABD 11．CD 12．BCD 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 14． 15．2 16． 四、简答题：共 6 小题，共 70 分. 17．解：（1）由题意可得 选物理 选历史 合计 男生 35 15 50 女生 10 40 50 合计 45 55 100 …………………4 分 （2）提出假设 ： 学生选科与性别没有关系. 根据列联表中的数据，可以求得 . …………………8 分 因为当 成立时， 的概率约为 0.001， 所以我们有 99.9％的把握认为，学生选科与性别有 关. …………………10 分 18．解：（1）由第 5 项与第 3 项的二项式系数之比为 14∶3 得 ， …………………3 分 ，所以 ， （舍）. …………………6 分 2 3 − 4 3 72 2 ,3 2 6− 0H 2 2 100 (35 40 15 10) 25.25350 50 45 55 χ × × − ×= ≈× × × 0H 2 10.828χ ≥ 4 2 ( 1)( 2)( 3 14 ( 2)( 3) 141 2 3 4 ( 1)3 12 3 1 2 n n n n n n C n n n nC − − − − −× × ×= ⇒ = =− × ） ( 10)( 5) 0n n− + = 10n = 5n = −（2）由 得， ，① 当 时，代入①式得 ； …………………8 分 因 ， …………………10 分 当 时，代入①式得 ， 所以 . …………………12 分 19．解：（1）记选派的 4 人中至少有 2 名医生为事件 A，记 4 人中有 2 名医生 2 名护士为 事件 ，记 4 人中有 3 名医生 1 名护士为事件 ，且 与 互斥．则当事件 A 发 生时，有 或 发生，所以有 ． …………………2 分 又 ； ； …………………4 分 所以 . 答：选派的 4 人中至少有 2 名医生的概率为 . …………………6 分 （注：不记事件扣 2 分，不说明事件的互斥性扣 2 分，不重复扣分； 不用公式直接计算扣 2 分，不答扣 1 分） （2）由题意选派的医生人数 可以是 0，1，2，3.所以 ； ； ； . …………………10 分 所以，随机变量 的概率分布表为 10n = 10 2 10 0 1 2 10(3 1)x a a x a x a x− = + + + ⋅⋅⋅+ 0x = 0 1a = 1 2 10 1 2 3 9 10 1 = n i i a a a a a a a a a = + + ⋅⋅⋅+ = − + − + ⋅⋅⋅− +∑ 1x = − 10 0 1 2 3 4 5 10+ 4a a a a a a a− + − + − ⋅⋅⋅+ = 1 n i i a = ∑ 104 1= − 1A 2A 1A 2A 1A 2A 1 2 1 2( )= ) ( ) ( )P A P A A P A P A+ = +（ 2 2 3 5 1 4 8 3( ) 7 C CP A C = = 3 1 3 5 2 4 8 1( ) 14 C CP A C = = 3 1 1( ) 7 14 2P A = + = 1 2 X 4 5 4 8 1( 0) 14 CP X C = = = 3 1 5 3 4 8 3( 1) 7 C CP X C = = = 2 2 3 5 1 4 8 3( ) 7 C CP X P A C = =（ =2) = 3 1 3 5 2 4 8 1( ) 14 C CP X P A C = =（ =3) = X0 1 2 3 故随机变量 的数学期望为 = ． 答： 的数学期望为 ． …………………12 分 （注：不列分布表的扣 1 分） 20．解：（1）设切点 ，因切线方程为 ， 所以 ，① 又 ，② …………………2 分 由①得 ③，将③代入②得 ， ，得 或 ， …………………4 分 当 时，代入③得 ；当 时，代入③得 . 因 ，所以实数 =1. ……… …………6 分 （2）因 ， 当 时， ，当 时， ，所以 在 上递增， 当 时， ，所以 在 上递减， 所以 ； …………………8 分 当 时， ，当 时， ，所以 在 上递增， 当 时， ，所以 在 上递减， 当 时， ，所以 在 上递增， 又 ， ， 所以当 时， ； X P 1 14 3 7 3 7 1 14 X ( )E X 1 3 3 1 30 1 2 314 7 7 14 2 × + × + × + × = X 3 2 3 2 0 0 0 1 1( , 1)3 2P x ax x− + 6 3 7 0x y− − = 2 0 0 02 ( )k f x ax x′= = = − 3 2 0 0 0 1 1 71 23 2 3ax x x− + = − 2 0 02ax x= + 2 0 08 20 0x x+ − = 0 0( 10)( 2) 0x x+ − = 0 2x = 0 10x = − 0 2x = 1a = 0 10x = − 2 25a = − 0a > a 2 1( ) ( 1) ( )f x ax x x ax ax x a ′ = − = − = − 0 1a< ≤ 1 1a ≥ [ ]1,0x∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x [ ]1,0− [ ]0,1x∈ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x [ ]0,1 max[ ( )] (0) 1f x f= = 1a > 10 1a < < [ ]1,0x∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x [ ]1,0− 10,x a ∈（ ） ( ) 0f x′ < ( )f x 1(0, )a 1x a ∈（ , 1] ( ) 0f x′ > ( )f x 1( ,1]a (0) 1f = 1 1(1) 3 2f a= + 31 2a< < max[ ( )] (0) 1f x f= =当 时， . …………………11 分 综上有 …………………12 分 21．（ 1）取 中点 ， 连结 ， 在 中， ， ，所以 为 正三角形， 因为 为 中点，所以 ， ； …………………2 分 在 中， ， ， ， 所以，由余弦定理得 所以， ，所以 ， …………………4 分 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ． …………………6 分 （2）在 中， ， ， 故 ，所以 ，又 ， ， 分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， ， ， ， 因为 ，所以 ， …………………8 分 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 3 2a≥ max[ ( )]f x = 1 1(1) 3 2f a= + max[ ( )]f x = 31, 0 ,2 1 1 3, .3 2 2 a a a  < = = = ⋅      1 1B A B C− − 1 7 2( ) ln( 1) 1f x x x ax= + − + ( ) ln( 1) 21 xf x x axx ′ = + + −+ ( ) ( )h x f x′= ( 1, )− +∞ ( ) 0h x′ ≥ ( 1, )− +∞ ( )′f x 2 1 1( ) 2 01 ( 1)h x ax x ′ = + −+ + ≥ 2 1 1 21 ( 1) ax x ++ + ≥ 1 ( 0)1 t tx = >+ 2 0t t+ > 2 0a≤ 0a≤ 2( ) ln( 1) 1f x x x ax= + − + ( ) ln( 1) 21 xf x x axx ′ = + + −+ ( )f x ∞（- 1, + ) ( ) 0f x′ ≤ ( )′f x x因 ，所以 是 的一个极大值，则有 ，……………………8 分 因 ， 代入 有 . ……………………10 分 当 时，有 ， 当 时， ，则 在 上单调递增； 当 时， ，则 在 上单调递减． 所以 ，所以当 时， 在 单调递减. 故实数 的取值集合为 . …………………12 分 (0) 0f ′ = (0)f ′ ( )′f x "(0) 0f = 2 1 1"( ) 21 ( 1) f x ax x = + −+ + 2 2 2 2 2 ( 1) 2 2 (1 4 ) 2 2 ( 1) ( 1) a x x ax a x a x x − + + + − + − + −= = + + "(0) 0f = 1a = 1a = 2 1 1"( ) 21 ( 1) f x x x = + −+ + 2 (2 3) ( 1) x x x − += + ( 1,0)x∈ − ( ) 0f x′′ > ( )f x′ ( 1,0)− (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′′ < ( )f x′ (0, )+∞ ( ) (0) 0f x f′ ′≤ = 1a = ( )f x ( 1, )− +∞ a { }1