2020年河南省中考数学试题（含答案）

第 1 页 共 19 页 2020 年河南省中考数学试卷（含答案） （满分 120 分，考试时间 100 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 2 的相反数是（ ） A．-2 B． C． D．2 2. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ） A ． B ． C ． D． 3. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．中央电视台《开学第一课》的收视率 B．某城市居民 6 月份人均网上购物的次数 C．即将发射的气象卫星的零部件质量 D．某品牌新能源汽车的最大续航里程 4. 如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1=70°，则∠2 的度数为（ ） A．100° B．110° C．120° D．130° 1 2 − 1 2第 2 页 共 19 页 5. 电子文件的大小常用 B，KB，MB，GB 等作为单位，其中 1 GB=210 MB，1MB=210 KB，1 KB=210 B．某视频文件的大小 约为 1 GB，1 GB 等于（ ） A．230 B B．830 B C．8×1010 B D．2×1030 B 6. 若点 A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数 的图 象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 7. 定义运算：m☆n=mn2-mn-1．例如：4☆2=4×22-4×2-1=7．则 方程 1☆x=0 的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 根 C．无实数根 D．只有一个实数根 8. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5 000 亿元增加到 7 500 亿 元．设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率 为 x，则可列方程为（ ） 2l1 l2 l3 l4 1 6y x = −第 3 页 共 19 页 A．5 000(1+2x)=7 500 B．5 000×2(1+x)=7 500 C．5 000(1+x)2=7 500 D．5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=7 500 9. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)．将正方形 OCDE 沿 x 轴向右 平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（ ） A．( ，2) B．(2，2) C．( ，2) D．(4，2) 10. 如图，在△ABC 中，AB=BC= ，∠BAC=30°，分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D，连接 DA， DC，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A． B．9 C．6 D． A BC D O x y E A B C D 3 2 11 4 3 6 3 3 3第 4 页 共 19 页 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数___________． 12. 已知关于 x 的不等式组 ，其中 a，b 在数轴上的对应点 如图所示，则这个不等式组的解集为___________． 13. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、 黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次 停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略 不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是_____． 14. 如图，在边长为 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的 中点，连接 GH，则 GH 的长度为____________． ab 0 蓝黄 绿红 A B C D E F G H x a x b >  > 2 2第 5 页 共 19 页 15. 如图，在扇形 BOC 中，∠BOC=60°，OD 平分∠BOC 交BC ︵ 于 点 D，点 E 为半径 OB 上一动点．若 OB=2，则阴影部分周长 的最小值为_________． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16. （8 分）先化简，再求值： ，其中 ． 17. （9 分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉 加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、 EO B C D 2 1(1 )1 1 a a a − ÷+ − 5 1a = +第 6 页 共 19 页 乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准 质量为每袋 500 g，与之相差大于 10 g 为不合格．为检验分装 效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过 程如下： 【收集数据】从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋，测得实际质量（单位：g）如下： 甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503 498 497 491 500 505 502 504 505 乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503 501 490 501 502 511 499 499 501 【整理数据】整理以上数据，得到每袋质量 x（g）的频数分 布表． 频 质 数 量 机器 485≤x ＜490 490≤x ＜495 495≤x ＜500 500≤x ＜505 505≤x ＜510 510≤x ＜515 甲 2 2 4 7 4 1 乙 1 3 5 7 3 1 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．第 7 页 共 19 页 统计 量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率 甲 499.7 501.5 42.01 b 乙 499.7 a 31.81 10% 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 a=_________，b=_________； （2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机， 并说明理由． 18. （9 分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最 早的天文台，也是世界文化遗产之一． 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台 的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道 MP 上架设测 角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22°，然后 沿 MP 方向前进 16 m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45°．测 角仪的高度为 1.6 m．第 8 页 共 19 页 （1）求观星台最高点 A 距离地面的高度（结果精确到 0.1 m．参 考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.41）； （2）“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6 m．请计算本 次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 19. （9 分）暑假将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动， 活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优 惠； 方案二：不购买学生暑假专享卡，每次健身费用按八折优 惠． 设某学生暑期健身 x（次），按照方案一所需费用为 y1（元）， 且 y1=k1x+b；按照方案二所需费用为 y2（元），且 y2=k2x．其 函数图象如图所示． （1）求 k1 和 b 的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和 k2 的值； （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次，应选 择哪种方案所需费用更少？说明理由． PNM A B C22° 45° 2第 9 页 共 19 页 20. （9 分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用 尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后 被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了 一种简易操作工具——三分角器．图 1 是它的示意图，其中 AB y/元 x/次O 10 180 30 y2 y1第 10 页 共 19 页 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半 径相等；DB 和 AC 垂直于点 B，DB 足够长． 使用方法如图 2 所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置 三分角器，使 DB 经过∠MEN 的顶点 E，点 A 落在边 EM 上， 半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO 就把 ∠MEN 三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出 了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明” 过程． 已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EB⊥AC，垂 足为点 B，______． 求证：___________． COA B D 图1 D BA O C N M E F1 2 3 图2第 11 页 共 19 页 21. (10 分)如图，抛物线 y=-x2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴 分别交于点 A，B，且 OA=OB，点 G 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及点 G 的坐标； （2）点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧），且到 对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度，点 Q 为 抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围． A B O G x y第 12 页 共 19 页 22. （10 分）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点 D 是BC ︵ 上一动点，线段 BC= 8 cm，点 A 是线段 BC 的中点，过点 C 作 CF∥BD，交 DA 的延长线于点 F．当 △DCF 为等腰三角形时，求线段 BD 的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决， 于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究 过程补充完整： （1） 根据点 D 在BC ︵ 上的不同位置，画出相应的图形，测量 线段 BD，CD，FD 的长度，得到下表的几组对应值. BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点 D 为BC ︵ 的中点时，BD=5.0 cm”，则上表中 a 的值是 F D CB A第 13 页 共 19 页 _________； ②“线段 CF 的长度无需测量即可得到”，请简要说明理由． （2）将线段 BD 的长度作为自变量 x，CD 和 FD 的长度都是 x 的函数，分别记为 和 ，并在平面直角坐标系 xOy 中画 出了函数 的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数 的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象 直接写出：当△DCF 为等腰三角形时，线段 BD 长度的近似 值（结果保留一位小数）． 1 2 3 4 5 6 7 8 8765 4 321 yFD y/cm x/cmO CDy FDy FDy CDy第 14 页 共 19 页 23. （11 分）将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB′， 记旋转角为 α，连接 BB′，过点 D 作 DE 垂直于直线 BB′，垂 足为点 E，连接 DB′，CE． （1）如图 1，当 α=60°时，△DEB′的形状为__________，连 接 BD，可求出 的值为________； （2）当 0°＜α＜360°且 α≠90°时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图 2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点 B′，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请 直接写出 的值． BB CE ′ BE B E′第 15 页 共 19 页 A B C D E B' 图1 A B C D E B' 图2第 16 页 共 19 页第 17 页 共 19 页第 18 页 共 19 页第 19 页 共 19 页