浙江省嘉兴市第五高级中学2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版含答案）.doc

嘉兴市第五高级中学 2019 学年第二学期期中测试 高二数学 试题卷 满分[150]分 ，时间[120]分钟 2020 年 6 月 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A． B． C． D． 3. 设 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．对任意的正实数 及 ，下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 6．函数 的图象可能是（ ） 7. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米）．已测得隧道两端点 A，B 到某一点 C 的距离分别为 5 和 8， ，则 A，B 之间的距离为（ ） A．7 B． C．6 D．8 y x y x y x y x–1 1 C –1 1 B –1 1 A –1 1 D OOO O {1,3,5}A = {3,5,7}B = A B = {1,3,5,7} {1,7} {3,5} {5} 2 1 i i − =+ 1 3 2 2 i− 1 3 2 2 i+ 3 3 2 2 i− 3 3 2 2 i+ α ∈R sin 2 π α − =   sinα sinα− cosα cosα− a ,m n Q∈ ( )nm m na a += ( ) nnm ma a= ( )nm m na a −= ( )nm mna a= ( ) sin 4f x x π = −   ( ) sing x x= 8 π 8 π 4 π 4 π ( ) lnf x x x= ⋅ 60ACB∠ = ° 10 1298. 在 的展开式中，常数项为（ ） A． B．120 C． D．160 9. 函数 按照下述方式定义：当 时， ；当 时， ， 方程 的所有实数根之和是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列 中， 且 ．若不等式 对任 意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11. 函数 的定义域是________. 12. 若 ， ，则 ， ． 13. 已知随机变量的分布列为： 0 2 P x y 若 ，则 ； ． 14. 若 ，则 等于 ； 等 于 . 15. 过原点作曲线 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率 为 ． 16. 已知函数 ，有以下命题： ① 是奇函数；② 单调递增函数；③方程 仅有 1 个实数根； ④如果对任意 有 ，则 的最大值为 2. 61 2xx  −   120− 160− ( )f x 2x ≤ ( ) 2= 2f x x x− + 2x＞ ( ) ( )1= 22f x f x − ( ) 1= 5f x 8 13 18 25 { }na 1 1a = ( )2 * 1 13 2,2 n n na a n n − −  − = × − ≥ ∈   N 1 5nma≤ ≤ *n∈N m 31, 2      51, 4      [ ]0,1 3 ,24      ( ) 22 logf x x x= − + 0, 2 πα  ∈   5cos 3 α = sinα = tanα = ξ 1− 1 3 ( ) 1 3E ξ = x y+ = ( )D ξ = ( )6 2 6 0 1 2 62 x a a x a x a x− = + + + ⋅⋅⋅ + 0a 61 2 3a a a a+ + + ⋅⋅⋅ + lny x= ( ) e ex xf x −= − ( )f x ( )f x ( ) 2 2f x x x= + ( )0x∈ + ∞， ( )f x kx> k则上述命题正确的有 ．（写出所有正确命题的编号） 17. 已知函数 的零点不少于两个，则实数 a 的取值范围 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. 已知函数 . （1）求 的值； （2）求函数 的最小正周期； （3）求 ，求 的单调递增区间. 19. 已知等比数列 的各项为正数， 为其前 项的和， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 是首项为 1，公差为 3 的等差数列，求数列 的通项公式及其前 项的和 ． ( ) 2 2e 4 x xf x ax a= − + − 2( ) 2cos 1,f x x x= − ∈R 6f π     ( )f x ( ) 3cos24g x f x x π = − +   ( )g x { }na nS n 3 8a = 3 14S = { }na { }n nb a− { }nb n nT20. 在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求角 的大小； （3）求 的范围． 21．已知关于 的函数 ，其导函数 ，且函数 在 处有 极值 . （1）求实数 的值； （2）求函数 在 上的最大值和最小值. 22. 设 ． （1）若 ，求 在区间 上的最大值； （2）若 ，写出函数 的单调区间； ABC△ A B C、 、 a b c、 、 1cos 2A = A 1b = 3a = B sin sinB C+ x ( ) 3 21 3f x x bx cx bc= − + + + ( )f x′ ( )f x 1x = 4 3 − b c、 ( )f x [ ]1,2− ( ) ( )2f x x x a x a= − + ∈R 2a = ( )f x [ ]0,3 2a > ( )f x（3）若存在 ，使得方程 有三个不相等的实数解，求实数 t 的取值 范围． [ ]2,4a∈ − ( ) ( )f x tf a=嘉兴市第五高级中学 2019 学年第二学期期中测试 高二数学 参考答案及评分标准 命题人：熊萍 审核人:邢广柱 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1-5：CACDC 6-10：DACCB 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11. 12. 13. 14. 15. 16. ①②④ 17. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. 解析：（1） . ……………… 4 分 （2） ， 故 的最小正周期为 . ………………………… 8 分 （3）由条件有 ， …………………………………… 11 分 由 ，得 . 故 的单调递增区间为 . ……………… 14 分 19. 解析：（1）设正项等比数列 的公比为 且 ， ( ]0 2， 2 2 5;3 5 2 14;3 9 64; 63− ( ) 1e,1 ; e 1a ≤ − 2 2 3 12cos 1 2 16 6 2 2f π π    = − = × − =        2( ) 2cos 1 (1 cos2 ) 1 cos2f x x x x= − = + − = ( )f x 2 2 π π= ( ) 3cos24 cos 2 3cos22 sin 2 3cos2 g x f x x x x x x π π  = − +    = − +   = + 2sin 2 3x π = +   2 2 2 ,2 3 2k x k k π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈Z 5 ,12 12k x k k π ππ π− + ≤ ≤ + ∈Z ( )g x 5 , ,12 12k k k π ππ π − + + ∈   Z { }na ( 0q q > 1)q ≠由已知得 ， …………………………………… 2 分 解得 或 （舍 ． …………………………………… 5 分 ； …………………………………… 7 分 （2）由题意， ． …………………………… 9 分 故 ， …………………………… 10 分 则 ． …………………… 15 分 20. 解析：（1） 因为 ，所以 . ……………… 2 分 （2）由正弦定理有： ，即 , 所以 ， ………………………… 6 分 又因为 ，所以 ，所以 ………………………… 8 分 （3）由题意得 . ………………………… 12 分 因为 ，所以 ， 所以 故 的取值范围是 . ………………………… 15 分 21．解析：（1） . ………………………… 2 分 因为函数 在 处有极值 . ( ) 2 1 2 1 8 1 14 a q a q q  = + + = 1 2 2 a q =  = 1 18 2 3 a q = = − ) ∴ 2n na = 1 3( 1) 3 2n nb a n n− = + − = − 3 2 3 2 2n n nb n a n= − + = − + 2 3 1 2 (1 4 7 3 2) (2 2 2 2 )n n nT b b b n= + +…+ = + + +…+ − + + + +…+ 1 2(1 3 2) 2(1 2 ) 32 22 1 2 2 2 n nn n nn++ − −= + = + − −− ( )1cos , 0,2A A π= ∈ 3A π= sin sin b a B A = 1 3 sin sin 3 B π= 1sin 2B = b a< 3B A π< = .6B π= 2sin sin sin sin 3B C B B π + = + −   3 3sin cos2 2B B= + 3sin 6B π = +   20 3B π< < 5 6 6 6B π π π< + < 3 3sin 32 6B π < + ≤   sin sinB C+ 3 , 32      ( ) 2' 2f x x bx c= − + + ( )f x 1x = 4 3 −所以 ………………………… 4 分 解得 或 ………………………… 6 分 （i）当 时， ， 所以 在 上单调递减，不存在极值. （ii）当 时， ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减. 所以 在 处存在极大值，符合题意. 综上所述，满足条件的值为 . ………………………… 8 分 （2）由（1）知， ，则 ， 由 ，得 ， ………………………… 10 分 所以 -1 1 2 + 0 - 所以 ， . ………………………… 15 分 22. 解析：（1）当 时， ， 所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增， 又 ， ，所以 ………………………… 4 分 （2）原函数为 ， ( ) ( ) ' 1 1 2 0 1 41 3 3 f b c f b c bc  = − + + = = − + + + = − 1 1 b c =  = − 1 3 b c = −  = 1, 1b c= = − ( ) ( )2' 1 0f x x= − − ≤ ( )f x R 1, 3b c= − = ( ) ( )( )' 3 1f x x x= − + − ( )3,1x∈ − ( )' 0f x > ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x < ( )f x ( )f x 1x = 1, 3b c= − = ( ) 3 21 3 33f x x x x= − − + − ( ) 2 2 3f x x x′ = − − + ( ) ( )( )3 1 0f x x x′ = − + − = 1 23, 1x x= − = x ( )2,1− ( )1,2 ( )f x′ ( )f x 20 3 − 4 3 − 11 3 − ( ) ( )min 201 3f x f= − = − ( ) ( )max 41 3f x f= = − 2a = ( ) 2 2 2 ,0 22 2 , 2 3 x x xf x x x x x x − + ≤ ≤= − + =  < ≤ ( )f x [ ]0,1 [ ]1,2 [ ]2,3 ( )1 1f = ( )3 9f = ( ) ( )max 3 9.f x f= = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 2 , x a x x a f x x a x x a  − − ≥= − + + 2 2 2 2 a a a − +< < ( )f x 2, 2 a + −∞   [ ),a +∞ 2 ,2 a a +     ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 2 , x a x x a f x x a x x a  − − ≥= − + +