2020 年高考金榜冲刺卷(二)
数学(理)
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围:高中全部内容.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.设 ( 为虚数单位),则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,则 ,故选 C.
2.若集合 , ,那么 =( )
A. B. C. D.
【答案】D
1 i 2i1 iz
−= ++ i | |z =
0 1
2 1 2
( )( )
( )( )
1 i 1 i1 i 2i 2i1 i 1 i 1 iz
− −−= + = ++ − + i 2i i= − + = 1z =
2
1|M y y x
= =
{ }| 1N x y x= = − M N∩
( )0,+∞ [ )0,+∞ ( )1,+∞ [ )1,+∞【解析】先求出集合 , ,然后画数轴得 = ,故选 D.
3.已知等比数列 的公比为正数,且 ,则公比 ( )
A. B.
C. D.2
【答案】C
【解析】 , ,因为 ,所以 ,故选 C.
4.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角
形,一块中三角形和两块全等的大三角形),一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板
拼成的正方形,若向正方形内随机抛掷 2000 粒绿豆(大小忽略不计),则落在图中阴影部分内绿豆粒数大
约为( )
A.750 B.500 C.375 D.250
【答案】C
【解析】因为 ,故阴影部分的面积与梯形 的面积相等,
,所以落在阴影部分的概率 ,故选 C.
5.若 满足 ,则( )
A. B. C. D.
}{ na 2
593 2aaa =
2
1
2
2 2
( )0,M = +∞ [ )1,N = +∞ M N∩ [ )1,+∞
=q
2 2
3 9 6 52a a a a= =
2
26
2
5
2a qa
= = 0>q 2=q
BIC GOH∆ ≅ ∆ EFOH
3 3 1
4 4 4EFOH DOF BDFAS S S∆ ∆= = × 3 3, 2000 37516 16
EFOH
BDFA
SP S
∆
∆
= = × =
, ,a b c 22 3, log 5,3 2a cb= = =
b a c> > b c a> > a b c> > c b a> >【答案】A
【解析】因为 ,则 ,故 ,故 .又 ,故 .综上,
,故选 A .
6.已知函数 的值域为 ,函数 ,则 的
图象的对称中心为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,又依题意知 的值域为 ,所以 得 , ,
所以 ,令 ,得 ,则 的图象的对称中心为
.故选 B.
7.已知实数 满足 ,若 的最大值为 ,最小值为 ,则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出实数 满足的可行域如图所示:
2log 5b = 2 5b = 2 2 2b a> > 1b a> > 3 2 3c = < 1c <
b a c> >
( ) sin3 ( 0, )f x a x a b a x= − + + > ∈R [ 5,3]− ( ) cosg x b ax= − ( )g x
, 5 ( )4
k k
π − ∈ Z , 5 ( )4 8
k k
π π + − ∈ Z
, 4 ( )5
k k
π − ∈ Z , 4 ( )5 10
k k
π π + − ∈ Z
( ) [ ,2 ]f x b a b∈ + ( )f x [ 5,3]− 2 3a b+ = 4a = 5b = −
( ) 5 cos4g x x= − − 4 ( )2x k k
ππ= + ∈Z ( )4 8
kx k
π π= + ∈Z ( )g x
, 5 ( )4 8
k k
π π + − ∈ Z
,x y
3
0
6 0
x
x y
x y
≤
+ ≥
− + ≥
z ax y= + 3 9a + 3 3a − a
[ ]2,1− [ ]1,1− [ ]1,3− [ ]2,3−
,x y可求得交点坐标 M(3,9),N(-3,3),P(3,-3),当目标函数经过 M 点时 ,当目标函数经过 N 点
时 ,当目标函数经过 P 点时 ,则由题意可得 联立解得 .
故选 B.
8.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为 ,大圆柱底面半径为 ,如
图 1 放置容器时,液面以上空余部分的高为 ,如图 2 放置容器时,液面以上空余部分的高为 ,则
( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在图 1 中,液面以上空余部分的体积为 ;在图 2 中,液面以上空余部分的体积为 .因
为 ,所以 .故选 B.
3 9z a= +
3 3z a= − + 3 3z a= − 3 9 3 3
3 3 3 3
a a
a a
+ ≥ − +
− + ≥ − 1 1a− ≤ ≤
1r 2r
1h 2h 1
2
h
h
=
2
1
r
r
2
1
2
r
r
3
2
1
r
r
2
1
r
r
2
1 1r hπ 2
2 2r hπ
2 2
1 1 2 2r h r hπ π=
2
1 2
2 1
h r
h r
=
9.过双曲线 的右焦点 作双曲线 的一条弦 AB,且 =0,若以 为直
径的圆经过双曲线 的左顶点,则双曲线 的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【答案】C
【解析】因为 =0,所以 F 是弦 AB 的中点.且 AB 垂直于 x 轴.因为以 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的
左顶点,所以 ,即 ,则 ,故 .故选 C.
10.已知定义在 R 上的函数 满足 且在 上是增函数,不等式
对任意 恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 可知函数 的对称轴为 x=1.因为 在 上是增函数,所以
在 上是减函数,因为 ,所以 ,又因为不等式 对
任意 恒成立,所以,当 a=0 时,不等式 显然成立;当 时,
,根据题意可得 ,故不满足题意;当 时,
,则 且 ,所以 .综上,可得实数 的取值范围是
.
11.在三棱锥 中, 平面 , , , , 是边 上的一动
点,且直线 与平面 所成角的最大值为 ,则三棱锥 的外接球的表面积为( )
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > F C FA FB+ AB
C C
2 3 5
FA FB+
2b a ca
= +
2 2c a a ca
− = + c a a− = 2ce a
= =
( )f x ( ) ( )1 1f x f x+ = − [ )1,+∞
( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ − 1 ,12x ∈ a
[ ]3, 1− − [ ]2,0− [ ]5, 1− − [ ]2,1−
( ) ( )1 1f x f x+ = − ( )f x ( )f x [ 5,5]−
( )f x [ 5,5]− 1 ,12x ∈
1 1 02 x− ≤ − ≤ ( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ −
1 ,12x ∈
( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ − 0a >
12 2 22ax a+ ≥ + > ( ) ( ) ( )2 2 0f ax f f+ > = 0a <
12 2 2 2a ax a+ ≤ + ≤ + 0 2 a≤ + 12 22 a+ < 2 0a− ≤ < a
2 0a− ≤ ≤
P ABC− PA ⊥ ABC 2
3BAC
π∠ = 3AP = 2 3AB = Q BC
PQ ABC 3
π
P ABC−A. B. C. D.
【答案】B
【解析】三棱锥 设直线 与平面 所成角为 ,如图所示;则
由题意知 的最大值是 ,∴ 解得
即 的最小值为 ∴ 的最小值是 ,即点 到 的距离为 ,
取 的外接圆圆心为 ,作 ‖ , 解得
; 为 的中点,
由勾股定理得 ∴三棱锥 的外接球的表面积是
故选 B.
12.若函数 在 上存在两个极值点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知 有两个不等根.即 , ,有一
根 .另一根在方程 , 中,令 , , 所以
在 且 上单调递增.所以 即 .所以
45π 57π 63π 84π
P ABC PA ABC中, 平面 ,− ⊥ PQ ABC θ
3sin PA
PQ PQ
θ = = , θ
3
π 3 3
2 PQ
= , 2 3PQ = ,
PQ 2 3, AQ 3 A BC 3 AQ BC∴ ⊥ ,
2 3AB BC∴ = = , 6BC ;∴ = ABC△ O′ OO′ PA 6 2sin120 r∴ =° ,
2 3r = 2 3O A∴ ′ = ,M PA 32 3 2OM O A PM∴ = ′ = =, ,
( )2 23 572 3 ( )2 4CP R= = + = , P ABC−
2 2574 4 ( ) 574S Rπ π π= = × × = .
( ) 1( 2) lnxf x a x e x x
= − + + (0,2) a
2
1( , )4e
−∞ − 1( , )e
−∞ − 2
1 1 1( , ) ( , )4e e e
−∞ − − − 2
1 1( , ) (1, )4e e
− − ∪ +∞
2
1 1( ) ( 1) 0xf x ae x x x
= − + − =′
2
1( 1)x xae x x
−− = (0,2)x∈
1x = 21 xx ea
= − (0,2)x∈ 2( ) xh x x e= (0,2)x∈ 2( ) ( 2 ) 0xh x e x x+′ = >
( )h x (0,2)x∈ 1x ≠ 1 (1) ,h ea
− ≠ = 2( ) (0, ) ( ,4 )h x e e e∈ ∪ 1
3a e
≠ a∈.故选 D.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知等差数列 中, ,若前 5 项的和 ,则其公差为___________.
【答案】2
【解析】 , 公差为
14.根据记载,最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4
弦 5”的问题.现有 满足“勾 3 股 4 弦 5”,其中“股” , 为“弦” 上一点(不含端
点),且 满足勾股定理,则 _________.
【答案】
【解析】由等面积法可得 ,依题意可得, ,所以
.故答案为 .
15.若 的展开式中 的系数为 8,则 _________.
【答案】1
【解析】 的展开式中含 的项为 ,
根据题意可得 ,解得 .
16.过抛物线 : 的准线上任意一点 作抛物线的切线 , ,切点分别为 , ,则 点
到准线的距离与 点到准线的距离之和的最小值是_________.
【答案】4
( )2
1 1, 1,e 4e
∞ − − ∪ +
{ }na 4 6 10a a+ = 5 5S =
4 6 5 510 2 10 5a a a a+ = ⇒ = ⇒ = 1 5
5 3 3
5( ) 5 5 1,2
a aS a a
+= = = ⇒ =
5 3 5 1 2.2 2
a a− −= =
ABC∆ 4AB = D BC
ABD∆ ( )CB CA AD− ⋅ =
144
25
3 4 12
5 5AD
×= = AD BC⊥
( ) 2 144
25CB CA AD AB AD AD− ⋅ = ⋅ = = 144
25
4( )( 2 )ax y x y− + 2 3x y a =
4( )( 2 )ax y x y− + 2 3x y 3 3 2 2 2 2 3
4 4(2 ) ( ) (2 ) (32 24)ax C x y y C x y a x y⋅ ⋅ + − ⋅ = −
32 24 8a − = 1a =
C 2 4x y= P PA PB A B A
B【解析】设 , ,则直线 , 的方程分别为 , ,联立
解得 , .又直线 , 的方程分别可表示为 , ,将
点坐标代入两方程,得 所以直线 的方程为 ,即 ,
所以 点到准线的距离与 点到准线的距离之和为
.故答案为 4.
三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12 分)在 中,内角 的对边分别是 ,且满足 .
(1)求角 ;
(2)设 为边 的中点, 的面积为 ,求边 的最小值.
【解析】(1)由正弦定理: ,又 ,
由题 ,所以 .因为 ,所以
,
即 ,即 ,
因为 ,所以 ,则 .
(2)由 ,即 ,所以 .
由 ,所以
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y PA PB
2
1 1
2 4
x xy x= −
2
2 2
2 4
x xy x= −
1 2
2P
x xx
+= 1 2
4P
x xy
⋅= PA PB 1
12
xy x y= − 2
22
xy x y= −
P
1
1
2
2
,2
,2
P
P
P
P
x xy y
x xy y
⋅ = − ⋅ = −
AB 12
Px x y
⋅ − = − 12
Px xy
⋅= +
A B 1 2 1 22 1 1 22 2
P Px xy y x x + + = + + + +
( ) ( )2
1 2
1 2 4 4 42 4
P x xx x x
+= + + = +
ABC∆ A B C, , a b c, , tan
tan 2
A a
C b a
= −
C
D AB ABC∆ 3 3 CD
sin
2 2sin sin
a A
b a B A
=− −
tan sin cos
tan cos sin
A A C
C A C
=
tan
tan 2
A a
C b a
= −
sin cos
cos sin
A C
A C
sin
2sin sin
A
B A
= − sin 0A ≠
cos (2sin sin ) cos sinC B A A C− =
cos sin cos sin 2sin cosC A A C B C+ = sin sin( ) 2sin cosB A C B C= + =
sin 0B ≠ 1cos 2C =
3C
π=
1 sin2ABCS ab C∆ = 1 33 3= 2 2ab ⋅ 12ab =
1 ( )2CD CA CB= + 2 2 21 ( 2 )4CD CA CB CA CB= + + ⋅ 2 2 2 21 1( 2 cos ) ( )4 4b a ab C b a ab= + + = + +当且仅当 时取等,所以边 的最小值为 .
18.(12 分)某省新课改后某校为预测 2020 届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高
三(5)班随机抽取 50 人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计
图.
(1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率.
(2)已知该省甲市 2020 届高考考生人数为 4 万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线
的概率.
①若从甲市随机抽取 10 名高三学生,求恰有 8 名学生达到本科线的概率(结果精确到 0.01);
②已知该省乙市 2020 届高考考生人数为 3.6 万,假设该市每个考生本科上线率均为 ,若 2020
届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求 p 的取值范围.
可能用到的参考数据:取 , .
【解析】(1)估计本科上线率为 .
(2)①记“恰有 8 名学生达到本科线”为事件 A,由图可知,甲市每个考生本科上线的概率为 0.6,
则 .
②甲、乙两市 2020 届高考本科上线人数分别记为 X,Y,依题意,可得 , .
因为 2020 届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,所以 ,即 ,
解得 ,又 ,故 p 的取值范围为 .
1 (2 ) 94 ab ab≥ + = a b= CD 3
(0 1)p p< <
40.36 0.0168= 40.16 0.0007=
4 6 7 8 5 60%50
+ + + + =
8 8 2 2 4
10 10( ) 0.6 (1 0.6) 0.36 0.16 45 0.0168 0.16 0.12P A C C= × × − = × × = × × ≈
~ (40000,0.6)X B ~ (36000, )Y B p
EY EX≥ 36000 40000 0.6p ≥ ×
2
3p ≥ 0 1p< < 2 ,13
19.(12 分)如图,等腰梯形 中, , , , 为 中点,以
为折痕把 折起,使点 到达点 的位置( 平面 ).
(1)证明: ;
(2)若直线 与平面 所成的角为 ,求二面角 的余弦值.
【解析】(1)证明:在等腰梯形 中,连接 ,交 于点 ,
, 四边形 为平行四边形, , 为等边三角
形, 在等腰梯形 中, , , ,
翻折后可得: .
又 平面 , 平面 , , 平面 .
平面 , .
ABCD / /AB CD 1AD AB BC= = = 2CD = E CD AE
ADE∆ D P P∉ ABCE
AE PB⊥
PB ABCE 4
π
A PE C− −
ABCD BD AE O
/ / ,AB CE AB CE= ∴ ABCE AE BC AD DE∴ = = = ADE∴∆
∴ ABCD 3C ADE
π∠ = ∠ = BD BC⊥ BD AE∴ ⊥
,OP AE OB AE⊥ ⊥
OP ⊂ POB OB ⊂ POB OP OB O= AE∴ ⊥ POB
PB ⊂ POB AE PB∴ ⊥(2)解:在平面 POB 内作 PQ⊥OB,垂足为 Q,因为 AE⊥平面 POB,∴AE⊥PQ,因为 OB 平面 ABCE, AE 平
面 ABCE,AE∩OB=O,∴PQ⊥平面 ABCE,∴直线 PB 与平面 ABCE 夹角为 ,
又因为 OP=OB,∴OP⊥OB,∴O、Q 两点重合,即 OP⊥平面 ABCE,
以 O 为原点,OE 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为
,
设平面 PCE 的一个法向量为 ,则
设 ,则 y=-1,z=1,∴ ,由题意得平面 PAE 的一个法向量 ,
设二面角 A-EP-C 为 , .
易知二面角 A-EP-C 为钝角,所以 .
20.(12 分)过椭圆 的左顶点 作斜率为 2 的直线,与椭圆的另一个交点为 ,与
轴的交点为 ,已知 .
⊂ ⊂
4PBQ
π∠ =
3 1 3 1 3 1 3(0,0, ), ( ,0,0), (0, ,0), ( ,0, ), ( , ,0)2 2 2 2 2 2 2P E C PE EC∴ = − =
1 ( , , )n x y z= 1
1
1 3 00 2 2, ,
0 1 3 02 2
x zPE n
EC n x y
− = ⋅ = ∴ ⋅ = + =
3x = 1 ( 3,-1,1)n =
2 (0,1,0)n =
α 1 2
1 2
| | 1 5|cos |= 5| || | 5
n n
n n
α ⋅ = =
5cos =- 5
α
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A B y
C 6
13AB BC= (1)求椭圆的离心率;
(2)设动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ,且与直线 相交于点 ,若 轴上存在一定点
,使得 ,求椭圆的方程.
【解析】(1)∵ ,设直线方程为 , ,
令 ,则 ,∴ , ∴ ∵ ,
∴ = ,整理得 ,
∵ 点在椭圆上,∴ ,∴ ∴ 即 ,∴ .
(2)∵ 可设 ,∴椭圆的方程为 ,
由 得 ,∵动直线 与椭圆有且只有一个公
共点 P,∴ ,即 ,整理得 ,
设 则有 , ,
∴ ,又 , ,若 轴上存在一定点 ,使得 ,
∴ 恒成立,整理得 ,
∴ 恒成立,故 ,所求椭圆方程为 .
21.(12 分)函数 .
(1)求 在 处的切线方程( 为自然对数的底数);
y kx m= + P 4x = Q x
(1,0)M PM QM⊥
A ( ,0)a− 2( )y x a= + 1 1( , )B x y
0x = 2y a= (0,2 )C a 1 1 1 1( , ), ( ,2 )AB x a y BC x a y= + = − − 6
13AB BC=
1x a+ 1 1 1
6 6( ), (2 )13 13x y a y− = − 1 1
13 12,19 19x a y a= − =
B
2
2 2
2
13 12( ) ( ) 119 19
a
b
+ ⋅ =
2
2
3 ,4
b
a =
2 2
2
3 ,4
a c
a
− = 2 31 4e− = 1
2e =
2
2
3 ,4
b
a = 2 23 . 4b t a t= = 2 23 4 12 0x y t+ − =
2 23 4 12 0x y t
y kx m
+ − =
= +
2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m t+ + + − = y kx m= +
0∆ = 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12 ) 0k m m m t− + − = 2 23 4m t k t= +
P 1 1( , )x y 1 2 2
8 4
2(3 4 ) 3 4
km kmx k k
= − = −+ + 1 1 2
3
3 4
my kx m k
= + = +
2 2
4 3( , )3 4 3 4
km mP k k
− + + (1,0)M Q (4,4 )k m+ x (1,0)M PM QM⊥
2 2
4 3(1 , ) ( 3, (4 )) 03 4 3 4
km m k mk k
+ − ⋅ − − + =+ +
2 23 4k m+ =
2 23 4 3 4k t k t+ = + 1t =
2 2
14 3
x y+ =
( )2 2( ) 2 2 ln 4f x x x x x x= − − +
( )f x x e= e(2)设 ,若 ,满足 ,求证: .
【解析】(1) , 则 ,
故 在 处的切线方程为 即 ;
(2)证明:由题可得 , ,
当 时, ,则 ;当 时, ,则 ,
所以,当 时, , 在 上是增函数.
设 ,
则 ,
当 时, , 则 , 在 上递减.
不妨设 ,由于 在 上是增函数,则 ,
又 , ,则 ,于是 ,
由 , 在 上递减,
则 ,所以 ,则 ,
又 , 在 上是增函数,所以, ,即 .
(二)、选考题:共 10 分.请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
3 2( ) 3 3 ( )g x x x x f x= − + + 1 2 1 2, (0, )x x x x∈ +∞ ≠且 ( ) ( )1 2 8g x g x+ = 1 2 1x x <
2( )f e e= ( ) ( )4 1 ln ,f x x x= −′ ( ) 4( 1)f e e′ = −
( )f x x e= ( )( )2 4 1e ey x e− = − − ( ) 24 1 3 4 0e y e ex− − − + =
( ) ( ) ( )23 1 4 1 lng x x x x= − + −′ ( )1 0g′ =
0 1x< < 1 0,ln 0x x− < < ( ) 0g x′ > 1x > 1 0,ln 0x x− > > ( ) 0g x′ >
0x > ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )1 0 1G x g x g xx
= + < = = ( )1
1
1 8g x g x
+ >
( ) ( )1 2
1
1 8g g x g xx
> − =
2
1
1 1, 1xx
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1 xx
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