2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(解析版)
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2020年高考数学(理)金榜冲刺卷(解析版)

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资料简介
2020 年高考金榜冲刺卷(二) 数学(理) (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围:高中全部内容. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设 ( 为虚数单位),则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,则 ,故选 C. 2.若集合 , ,那么 =( ) A. B. C. D. 【答案】D 1 i 2i1 iz −= ++ i | |z = 0 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) 1 i 1 i1 i 2i 2i1 i 1 i 1 iz − −−= + = ++ − + i 2i i= − + = 1z = 2 1|M y y x  = =   { }| 1N x y x= = − M N∩ ( )0,+∞ [ )0,+∞ ( )1,+∞ [ )1,+∞【解析】先求出集合 , ,然后画数轴得 = ,故选 D. 3.已知等比数列 的公比为正数,且 ,则公比 ( ) A. B. C. D.2 【答案】C 【解析】 , ,因为 ,所以 ,故选 C. 4.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角 形,一块中三角形和两块全等的大三角形),一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板 拼成的正方形,若向正方形内随机抛掷 2000 粒绿豆(大小忽略不计),则落在图中阴影部分内绿豆粒数大 约为( ) A.750 B.500 C.375 D.250 【答案】C 【解析】因为 ,故阴影部分的面积与梯形 的面积相等, ,所以落在阴影部分的概率 ,故选 C. 5.若 满足 ,则( ) A. B. C. D. }{ na 2 593 2aaa = 2 1 2 2 2 ( )0,M = +∞ [ )1,N = +∞ M N∩ [ )1,+∞ =q 2 2 3 9 6 52a a a a= = 2 26 2 5 2a qa = = 0>q 2=q BIC GOH∆ ≅ ∆ EFOH 3 3 1 4 4 4EFOH DOF BDFAS S S∆ ∆= = × 3 3, 2000 37516 16 EFOH BDFA SP S ∆ ∆ = = × = , ,a b c 22 3, log 5,3 2a cb= = = b a c> > b c a> > a b c> > c b a> >【答案】A 【解析】因为 ,则 ,故 ,故 .又 ,故 .综上, ,故选 A . 6.已知函数 的值域为 ,函数 ,则 的 图象的对称中心为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 ,又依题意知 的值域为 ,所以 得 , , 所以 ,令 ,得 ,则 的图象的对称中心为 .故选 B. 7.已知实数 满足 ,若 的最大值为 ,最小值为 ,则实数 的取值 范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】作出实数 满足的可行域如图所示: 2log 5b = 2 5b = 2 2 2b a> > 1b a> > 3 2 3c = < 1c < b a c> > ( ) sin3 ( 0, )f x a x a b a x= − + + > ∈R [ 5,3]− ( ) cosg x b ax= − ( )g x , 5 ( )4 k k π − ∈   Z , 5 ( )4 8 k k π π + − ∈   Z , 4 ( )5 k k π − ∈   Z , 4 ( )5 10 k k π π + − ∈   Z ( ) [ ,2 ]f x b a b∈ + ( )f x [ 5,3]− 2 3a b+ = 4a = 5b = − ( ) 5 cos4g x x= − − 4 ( )2x k k ππ= + ∈Z ( )4 8 kx k π π= + ∈Z ( )g x , 5 ( )4 8 k k π π + − ∈   Z ,x y 3 0 6 0 x x y x y ≤  + ≥  − + ≥ z ax y= + 3 9a + 3 3a − a [ ]2,1− [ ]1,1− [ ]1,3− [ ]2,3− ,x y可求得交点坐标 M(3,9),N(-3,3),P(3,-3),当目标函数经过 M 点时 ,当目标函数经过 N 点 时 ,当目标函数经过 P 点时 ,则由题意可得 联立解得 . 故选 B. 8.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为 ,大圆柱底面半径为 ,如 图 1 放置容器时,液面以上空余部分的高为 ,如图 2 放置容器时,液面以上空余部分的高为 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在图 1 中,液面以上空余部分的体积为 ;在图 2 中,液面以上空余部分的体积为 .因 为 ,所以 .故选 B. 3 9z a= + 3 3z a= − + 3 3z a= − 3 9 3 3 3 3 3 3 a a a a + ≥ − + − + ≥ − 1 1a− ≤ ≤ 1r 2r 1h 2h 1 2 h h = 2 1 r r 2 1 2 r r       3 2 1 r r       2 1 r r 2 1 1r hπ 2 2 2r hπ 2 2 1 1 2 2r h r hπ π= 2 1 2 2 1 h r h r  =    9.过双曲线 的右焦点 作双曲线 的一条弦 AB,且 =0,若以 为直 径的圆经过双曲线 的左顶点,则双曲线 的离心率为( ) A. B. C.2 D. 【答案】C 【解析】因为 =0,所以 F 是弦 AB 的中点.且 AB 垂直于 x 轴.因为以 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的 左顶点,所以 ,即 ,则 ,故 .故选 C. 10.已知定义在 R 上的函数 满足 且在 上是增函数,不等式 对任意 恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 可知函数 的对称轴为 x=1.因为 在 上是增函数,所以 在 上是减函数,因为 ,所以 ,又因为不等式 对 任意 恒成立,所以,当 a=0 时,不等式 显然成立;当 时, ,根据题意可得 ,故不满足题意;当 时, ,则 且 ,所以 .综上,可得实数 的取值范围是 . 11.在三棱锥 中, 平面 , , , , 是边 上的一动 点,且直线 与平面 所成角的最大值为 ,则三棱锥 的外接球的表面积为( ) 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > F C FA FB+  AB C C 2 3 5 FA FB+  2b a ca = + 2 2c a a ca − = + c a a− = 2ce a = = ( )f x ( ) ( )1 1f x f x+ = − [ )1,+∞ ( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ − 1 ,12x  ∈   a [ ]3, 1− − [ ]2,0− [ ]5, 1− − [ ]2,1− ( ) ( )1 1f x f x+ = − ( )f x ( )f x [ 5,5]− ( )f x [ 5,5]− 1 ,12x  ∈   1 1 02 x− ≤ − ≤ ( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ − 1 ,12x  ∈   ( ) ( )2 1f ax f x+ ≤ − 0a > 12 2 22ax a+ ≥ + > ( ) ( ) ( )2 2 0f ax f f+ > = 0a < 12 2 2 2a ax a+ ≤ + ≤ + 0 2 a≤ + 12 22 a+ < 2 0a− ≤ < a 2 0a− ≤ ≤ P ABC− PA ⊥ ABC 2 3BAC π∠ = 3AP = 2 3AB = Q BC PQ ABC 3 π P ABC−A. B. C. D. 【答案】B 【解析】三棱锥 设直线 与平面 所成角为 ,如图所示;则 由题意知 的最大值是 ,∴ 解得 即 的最小值为 ∴ 的最小值是 ,即点 到 的距离为 , 取 的外接圆圆心为 ,作 ‖ , 解得 ; 为 的中点, 由勾股定理得 ∴三棱锥 的外接球的表面积是 故选 B. 12.若函数 在 上存在两个极值点,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知 有两个不等根.即 , ,有一 根 .另一根在方程 , 中,令 , , 所以 在 且 上单调递增.所以 即 .所以 45π 57π 63π 84π P ABC PA ABC中, 平面 ,− ⊥ PQ ABC θ 3sin PA PQ PQ θ = = , θ 3 π 3 3 2 PQ = , 2 3PQ = , PQ 2 3, AQ 3 A BC 3 AQ BC∴ ⊥ , 2 3AB BC∴ = = , 6BC ;∴ = ABC△ O′ OO′ PA 6 2sin120 r∴ =° , 2 3r = 2 3O A∴ ′ = ,M PA 32 3 2OM O A PM∴ = ′ = =, , ( )2 23 572 3 ( )2 4CP R= = + = , P ABC− 2 2574 4 ( ) 574S Rπ π π= = × × = . ( ) 1( 2) lnxf x a x e x x = − + + (0,2) a 2 1( , )4e −∞ − 1( , )e −∞ − 2 1 1 1( , ) ( , )4e e e −∞ − − − 2 1 1( , ) (1, )4e e − − ∪ +∞ 2 1 1( ) ( 1) 0xf x ae x x x = − + − =′ 2 1( 1)x xae x x −− = (0,2)x∈ 1x = 21 xx ea = − (0,2)x∈ 2( ) xh x x e= (0,2)x∈ 2( ) ( 2 ) 0xh x e x x+′ = > ( )h x (0,2)x∈ 1x ≠ 1 (1) ,h ea − ≠ = 2( ) (0, ) ( ,4 )h x e e e∈ ∪ 1 3a e ≠ a∈.故选 D. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知等差数列 中, ,若前 5 项的和 ,则其公差为___________. 【答案】2 【解析】 , 公差为 14.根据记载,最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题.现有 满足“勾 3 股 4 弦 5”,其中“股” , 为“弦” 上一点(不含端 点),且 满足勾股定理,则 _________. 【答案】 【解析】由等面积法可得 ,依题意可得, ,所以 .故答案为 . 15.若 的展开式中 的系数为 8,则 _________. 【答案】1 【解析】 的展开式中含 的项为 , 根据题意可得 ,解得 . 16.过抛物线 : 的准线上任意一点 作抛物线的切线 , ,切点分别为 , ,则 点 到准线的距离与 点到准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】4 ( )2 1 1, 1,e 4e ∞ − − ∪ +   { }na 4 6 10a a+ = 5 5S = 4 6 5 510 2 10 5a a a a+ = ⇒ = ⇒ = 1 5 5 3 3 5( ) 5 5 1,2 a aS a a += = = ⇒ = 5 3 5 1 2.2 2 a a− −= = ABC∆ 4AB = D BC ABD∆ ( )CB CA AD− ⋅ =   144 25 3 4 12 5 5AD ×= = AD BC⊥ ( ) 2 144 25CB CA AD AB AD AD− ⋅ = ⋅ = =      144 25 4( )( 2 )ax y x y− + 2 3x y a = 4( )( 2 )ax y x y− + 2 3x y 3 3 2 2 2 2 3 4 4(2 ) ( ) (2 ) (32 24)ax C x y y C x y a x y⋅ ⋅ + − ⋅ = − 32 24 8a − = 1a = C 2 4x y= P PA PB A B A B【解析】设 , ,则直线 , 的方程分别为 , ,联立 解得 , .又直线 , 的方程分别可表示为 , ,将 点坐标代入两方程,得 所以直线 的方程为 ,即 , 所以 点到准线的距离与 点到准线的距离之和为 .故答案为 4. 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12 分)在 中,内角 的对边分别是 ,且满足 . (1)求角 ; (2)设 为边 的中点, 的面积为 ,求边 的最小值. 【解析】(1)由正弦定理: ,又 , 由题 ,所以 .因为 ,所以 , 即 ,即 , 因为 ,所以 ,则 . (2)由 ,即 ,所以 . 由 ,所以 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y PA PB 2 1 1 2 4 x xy x= − 2 2 2 2 4 x xy x= − 1 2 2P x xx += 1 2 4P x xy ⋅= PA PB 1 12 xy x y= − 2 22 xy x y= − P 1 1 2 2 ,2 ,2 P P P P x xy y x xy y ⋅ = − ⋅ = − AB 12 Px x y ⋅ − = − 12 Px xy ⋅= + A B 1 2 1 22 1 1 22 2 P Px xy y x x   + + = + + + +       ( ) ( )2 1 2 1 2 4 4 42 4 P x xx x x += + + = +  ABC∆ A B C, , a b c, , tan tan 2 A a C b a = − C D AB ABC∆ 3 3 CD sin 2 2sin sin a A b a B A =− − tan sin cos tan cos sin A A C C A C = tan tan 2 A a C b a = − sin cos cos sin A C A C sin 2sin sin A B A = − sin 0A ≠ cos (2sin sin ) cos sinC B A A C− = cos sin cos sin 2sin cosC A A C B C+ = sin sin( ) 2sin cosB A C B C= + = sin 0B ≠ 1cos 2C = 3C π= 1 sin2ABCS ab C∆ = 1 33 3= 2 2ab ⋅ 12ab = 1 ( )2CD CA CB= +   2 2 21 ( 2 )4CD CA CB CA CB= + + ⋅     2 2 2 21 1( 2 cos ) ( )4 4b a ab C b a ab= + + = + +当且仅当 时取等,所以边 的最小值为 . 18.(12 分)某省新课改后某校为预测 2020 届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高 三(5)班随机抽取 50 人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计 图. (1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率. (2)已知该省甲市 2020 届高考考生人数为 4 万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线 的概率. ①若从甲市随机抽取 10 名高三学生,求恰有 8 名学生达到本科线的概率(结果精确到 0.01); ②已知该省乙市 2020 届高考考生人数为 3.6 万,假设该市每个考生本科上线率均为 ,若 2020 届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求 p 的取值范围. 可能用到的参考数据:取 , . 【解析】(1)估计本科上线率为 . (2)①记“恰有 8 名学生达到本科线”为事件 A,由图可知,甲市每个考生本科上线的概率为 0.6, 则 . ②甲、乙两市 2020 届高考本科上线人数分别记为 X,Y,依题意,可得 , . 因为 2020 届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,所以 ,即 , 解得 ,又 ,故 p 的取值范围为 . 1 (2 ) 94 ab ab≥ + = a b= CD 3 (0 1)p p< < 40.36 0.0168= 40.16 0.0007= 4 6 7 8 5 60%50 + + + + = 8 8 2 2 4 10 10( ) 0.6 (1 0.6) 0.36 0.16 45 0.0168 0.16 0.12P A C C= × × − = × × = × × ≈ ~ (40000,0.6)X B ~ (36000, )Y B p EY EX≥ 36000 40000 0.6p ≥ × 2 3p ≥ 0 1p< < 2 ,13    19.(12 分)如图,等腰梯形 中, , , , 为 中点,以 为折痕把 折起,使点 到达点 的位置( 平面 ). (1)证明: ; (2)若直线 与平面 所成的角为 ,求二面角 的余弦值. 【解析】(1)证明:在等腰梯形 中,连接 ,交 于点 , , 四边形 为平行四边形, , 为等边三角 形, 在等腰梯形 中, , , , 翻折后可得: . 又 平面 , 平面 , , 平面 . 平面 , . ABCD / /AB CD 1AD AB BC= = = 2CD = E CD AE ADE∆ D P P∉ ABCE AE PB⊥ PB ABCE 4 π A PE C− − ABCD BD AE O / / ,AB CE AB CE= ∴ ABCE AE BC AD DE∴ = = = ADE∴∆ ∴ ABCD 3C ADE π∠ = ∠ = BD BC⊥ BD AE∴ ⊥ ,OP AE OB AE⊥ ⊥ OP ⊂ POB OB ⊂ POB OP OB O= AE∴ ⊥ POB PB ⊂ POB AE PB∴ ⊥(2)解:在平面 POB 内作 PQ⊥OB,垂足为 Q,因为 AE⊥平面 POB,∴AE⊥PQ,因为 OB 平面 ABCE, AE 平 面 ABCE,AE∩OB=O,∴PQ⊥平面 ABCE,∴直线 PB 与平面 ABCE 夹角为 , 又因为 OP=OB,∴OP⊥OB,∴O、Q 两点重合,即 OP⊥平面 ABCE, 以 O 为原点,OE 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为 , 设平面 PCE 的一个法向量为 ,则 设 ,则 y=-1,z=1,∴ ,由题意得平面 PAE 的一个法向量 , 设二面角 A-EP-C 为 , . 易知二面角 A-EP-C 为钝角,所以 . 20.(12 分)过椭圆 的左顶点 作斜率为 2 的直线,与椭圆的另一个交点为 ,与 轴的交点为 ,已知 . ⊂ ⊂ 4PBQ π∠ = 3 1 3 1 3 1 3(0,0, ), ( ,0,0), (0, ,0), ( ,0, ), ( , ,0)2 2 2 2 2 2 2P E C PE EC∴ = − =  1 ( , , )n x y z= 1 1 1 3 00 2 2, , 0 1 3 02 2 x zPE n EC n x y  − = ⋅ = ∴ ⋅ =  + =     3x = 1 ( 3,-1,1)n = 2 (0,1,0)n = α 1 2 1 2 | | 1 5|cos |= 5| || | 5 n n n n α ⋅ = =     5cos =- 5 α 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A B y C 6 13AB BC= (1)求椭圆的离心率; (2)设动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ,且与直线 相交于点 ,若 轴上存在一定点 ,使得 ,求椭圆的方程. 【解析】(1)∵ ,设直线方程为 , , 令 ,则 ,∴ , ∴ ∵ , ∴ = ,整理得 , ∵ 点在椭圆上,∴ ,∴ ∴ 即 ,∴ . (2)∵ 可设 ,∴椭圆的方程为 , 由 得 ,∵动直线 与椭圆有且只有一个公 共点 P,∴ ,即 ,整理得 , 设 则有 , , ∴ ,又 , ,若 轴上存在一定点 ,使得 , ∴ 恒成立,整理得 , ∴ 恒成立,故 ,所求椭圆方程为 . 21.(12 分)函数 . (1)求 在 处的切线方程( 为自然对数的底数); y kx m= + P 4x = Q x (1,0)M PM QM⊥ A ( ,0)a− 2( )y x a= + 1 1( , )B x y 0x = 2y a= (0,2 )C a 1 1 1 1( , ), ( ,2 )AB x a y BC x a y= + = − −  6 13AB BC=  1x a+ 1 1 1 6 6( ), (2 )13 13x y a y− = − 1 1 13 12,19 19x a y a= − = B 2 2 2 2 13 12( ) ( ) 119 19 a b + ⋅ = 2 2 3 ,4 b a = 2 2 2 3 ,4 a c a − = 2 31 4e− = 1 2e = 2 2 3 ,4 b a = 2 23 . 4b t a t= = 2 23 4 12 0x y t+ − = 2 23 4 12 0x y t y kx m  + − =  = + 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m t+ + + − = y kx m= + 0∆ = 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12 ) 0k m m m t− + − = 2 23 4m t k t= + P 1 1( , )x y 1 2 2 8 4 2(3 4 ) 3 4 km kmx k k = − = −+ + 1 1 2 3 3 4 my kx m k = + = + 2 2 4 3( , )3 4 3 4 km mP k k − + + (1,0)M Q (4,4 )k m+ x (1,0)M PM QM⊥ 2 2 4 3(1 , ) ( 3, (4 )) 03 4 3 4 km m k mk k + − ⋅ − − + =+ + 2 23 4k m+ = 2 23 4 3 4k t k t+ = + 1t = 2 2 14 3 x y+ = ( )2 2( ) 2 2 ln 4f x x x x x x= − − + ( )f x x e= e(2)设 ,若 ,满足 ,求证: . 【解析】(1) , 则 , 故 在 处的切线方程为 即 ; (2)证明:由题可得 , , 当 时, ,则 ;当 时, ,则 , 所以,当 时, , 在 上是增函数. 设 , 则 , 当 时, , 则 , 在 上递减. 不妨设 ,由于 在 上是增函数,则 , 又 , ,则 ,于是 , 由 , 在 上递减, 则 ,所以 ,则 , 又 , 在 上是增函数,所以, ,即 . (二)、选考题:共 10 分.请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 3 2( ) 3 3 ( )g x x x x f x= − + + 1 2 1 2, (0, )x x x x∈ +∞ ≠且 ( ) ( )1 2 8g x g x+ = 1 2 1x x < 2( )f e e= ( ) ( )4 1 ln ,f x x x= −′ ( ) 4( 1)f e e′ = − ( )f x x e= ( )( )2 4 1e ey x e− = − − ( ) 24 1 3 4 0e y e ex− − − + = ( ) ( ) ( )23 1 4 1 lng x x x x= − + −′ ( )1 0g′ = 0 1x< < 1 0,ln 0x x− < < ( ) 0g x′ > 1x > 1 0,ln 0x x− > > ( ) 0g x′ > 0x > ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )1 0 1G x g x g xx  = + < = = ( )1 1 1 8g x g x  + >    ( ) ( )1 2 1 1 8g g x g xx   > − =    2 1 1 1, 1xx > > ( )g x ( )0, ∞+ 2 1 1 xx > 1 2 1x x

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