广东省深圳市四校2019-2020高二数学下学期期中考试联考试题（Word版含解析）

深圳市 2019-2020 学年第二学期期中考试四校联考试题 高二年级 数学试题 命题人： 审题人： 试卷分值：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答 题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 （ ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ，则复数 的的虚部是（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知单位向量 满足 ，若 ，则实数 的值为（ ） A. B.-2 C. 2 D. 4. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. ； B. 命题“”的否定是“”； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 函数在区间内有且仅有两个零点． 6．已知正项等比数列 ，若向量 ， ， ， 则 =（ ） A．12 B． C．5 D．18 7. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： { } { }2 2 0 2， ，则= − − < = = ∪ =xM x x x N y y M N { }1x x > − { }0 2< =< ba )( btaa +⊥ t 1 2 2 3 3 0.3 0.2 3log 2 3 log 2， ，= = =a b c a c b< < a b c< < c a b< < b c a< < 2,2xx R x∀ ∈ > { }na ),8( 2aa = )2,( 8ab= ba∥ 922212 logloglog aaa +++  5log8 2+ ,x y 0 0 3 4 0 x y x y x y + ≥  − ≥  + − ≤ 3 2x y+　 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% -0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中不正确的是（ ） A. 该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 9．中，点 D 在线段（不含端点）上，且满足， 则 的最小值为（ ） A． B． C．6 D．8 10. 已知双曲线 ： （a>0,b>0）的左、右焦点分别为 , ，点 为过 且斜 率为 的直线与双曲线的一个交点，且 ，则 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 11．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经 验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古 代数学名著《九章算术》中．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其 一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊， 其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已 知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为 1，则鳖臑的体积最小值为（ ） A． B． C． D． 12. 函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应位置上. yx 21 + C 2 2 2 2 1x y a b − = 1F 2F P 1F 3 3 2 1 1 22PF F PF F∠ = ∠ C 2 3 3 1+ 1 2 4 6 + 1 2 4 3 + 3 222 + 3 242 + ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x′ ( ) ( )2 0xf x f x′ + > ( 2020) ( 2020) 2 (2) 2 2020 + + < + x f x f x { }| 2018< −x x { }| 2017x x < − { }| 2020 2018− < < −x x { }| 2020 2017x x− < < −A B C D 13. 的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答) 14. 已知角的终边与单位圆交于点( )，则 =__________． 15. A、B、C、D 四位同学站成一排照相，则 A、B 中至少有一人站在两端的概率为____． 16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点 A,B 的距离之比为定值 λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名， 称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 xOy 中，A(-2, 1)，B(-2, 4)， 点 P 是满足 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________； 若点 Q 为抛物线 E: y2 =4x 上的动点，Q 在直线 x= -1 上的射影为 H，则 的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 10 分） 已知向量 ， ， . （1）求 的最小正周期； （2）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ， ， 求 面积的最大值. 18. （本小题满分 12 分） 已知数列 的前 项和为 ，数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，记数列 的前 项和为 Tn，求 T2020. 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四面体 中， ， ． （1）证明： ； （2）若 ， ，四面体 的体积为 2， 求二面角 的余弦值． 20．（本小题满分 12 分） 6)12( x x+ 3 4 5 5 ，− 3cos(2 )2 πα + 1 2 λ = 1 2 + +PB PQ QH 3 cos 2 ， =     xm sin ,2 1 =     xn ( )f x m n= ⋅  ( )f x ABC∆ A B C a b c ( ) 3=f B 2=b ABC∆ { }na n nS nS n     { }na 1 1 n n n b a a + = ⋅ { }nb n ABCD BA BC= 90BAD BCD∠ = ∠ = ° BD AC⊥ 60ABD∠ = ° 2BA = ABCD B AC D− −2020 年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共 卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等. (1) 现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集 100 个样本。据分析，人群体温近似服从正 态分布 .若 表示所采集 100 个样本的数值在 之外的的个数， 求 及 X 的数学期望. (2) 疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对 138 例确诊患者进 行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团 队发表在国际顶级医学期刊 JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据. 请将 下列 2×2 列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下认为“重症 患者与并发症有关”？ 无并发症 并发症 合计 非重症 38 102 重症 10 合计 64 138 附： 若 , 则 , ， , . 参考公式与临界值表： ，其中 . 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 的左右顶点为 A，B，点 P，Q 为椭圆上异于 A，B 的两点， 直线 AP、BP、BQ 的斜率分别记为 ． （1）求 的值； （2）若 ，求证： ，并判断直线 PQ 是否过定点，若是，求出该定点； 若不是，请说明理由． 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 ，其中 . （1）函数 在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值； （2）若函数 在定义域上有两个极值点 ，且 . ① 求实数 的取值范围； ② 求证： . 深圳市 2019-2020 学年第二学期期中考试四校联考试题 ),( 2σµN X )33-( σµσµ +， )0( =XP ),(~ 2σµNX 6827.0)-( =+≤< σµσµ XP 9544.0)22-( =+≤< σµσµ XP 9974.0)33-( =+≤< σµσµ XP 7708.09974.0 100 ≈ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P K k≥ 0k 124: 22 =+ yxC 1 2 3、 、k k k 1 2 ⋅k k 13 2=k k BP BQ⊥ 2( ) 2( 3) 2 lnf x x a x a x= + − + a R∈ ( )f x 1x = 4 3 0+ + =x y a ( )f x 1 2,x x 1 2x x< a ( ) ( )1 2 10 0f x f x+ + >高二年级 数学试题 命题人： 审题人： 试卷分值：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答 题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，选 A. 2.若复数 满足 ，则复数 的的虚部是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】由于 ，则 ， 所以复数 的的虚部是-1，故答案选 B 3.已知单位向量 满足 ，若 ，则实数 的值为（ ） A. B.-2 C. 2 D. 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 即 ，解得 ，故选：B. 4.已知 ，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵b>1>c>0>a∴ ,故选 A 5.下列命题中，真命题是（ ） A. ； { } { }2 2 0 2， ，则= − − < = = ∪ =xM x x x N y y M N { }1x x > − { }0 2< =< ba )( btaa +⊥ t 1 2 2 3 3 ( )a a tb⊥ −   ( ) 0⋅ + =  a a tb ( ) 22 cos ,⋅ + = + ⋅ = + =          a a tb a ta b a t a b a b 11 02 + =t 2= −t 0.3 0.2 3log 2 3 log 2， ，= = =a b c a c b< < a b c< < c a b< < b c a< < a c b< < 2,2xx R x∀ ∈ >B. 命题“”的否定是“”； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 函数在区间内有且仅有两个零点． 【答案】C 6．已知正项等比数列 ，若向量 ， ， ， 则 =（ D ） A．12 B． C．5 D．18 【答案】D 【解析】 ，故选 D 7. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】由题意作出其平面区域， 令 ，化为 ， 相当于直线 的纵截距， 由图可知， ，解得 ， ， 则 的最大值是 , 故选 C． 8.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 　 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% -0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中不正确的是 A. 该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B 9．中，点 D 在线段（不含端点）上，且满足， 则 的最小值为（ ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【解析】∵，且三点共线，所以且，则，当且仅当时，取等号， 故有最小值，故选 B． { }na ),8( 2aa = )2,( 8ab= ba∥ 922212 logloglog aaa +++  5log8 2+ 2 2 8 2 8 5 5(8, ), ( ,2), ∥ 16 , 且 0 4na a b a a b aa a a a= = ∴ = = > ∴ =     9 2 1 2 2 2 9 2 5 2l og l og l og l og（ ） 9l og 4 18a a a a∴ + + + = = = ,x y 0 0 3 4 0 x y x y x y + ≥  − ≥  + − ≤ 3 2x y+ 3 2z x y= + 3 2 2 zy x= − + 2 z 3 2 2 zy x= − + 3 4 0 y x x y =  + − = 1x = 1y = 3 2x y+ 3 2 5+ = yx 21 +10. 已知双曲线 ： （a>0,b>0）的左、右焦点分别为 , ，点 为过 且斜 率为 的直线与双曲线的一个交点，且 ，则 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】由题意，直线 过左焦点 且倾斜角为 ， ，∴ ， ，∴ ，即 . ∴ ， ∴ ，根据双曲线定义有 ， ∴离心率 .故选：D 11．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经 验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古 代数学名著《九章算术》中．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其 一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊， 其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已 知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为 1，则鳖臑的体积最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意内切球直径 2r=1，则 ，当且仅当 b=c 时取等号. ∴鳖臑的体积为 ∴当且仅当 b=c 时，鳖臑的体积最小为 , 故选：A C 2 2 2 2 1x y a b − = 1F 2F P 1F 3 3 2 1 1 22PF F PF F∠ = ∠ C 2 3 3 1+ ( )3 3y x c= + 1F 30° 2 1 1 22PF F PF F∠ = ∠ 1 2 30PF F∠ = ° 2 1 60PF F∠ = ° 1 2 90F PF∠ = ° 1 2F P F P⊥ 2 1 2 1 2PF F F c= = 1 1 2 sin 60 3PF F F c= ° = 21 3 2PF PF c c a− = − = 3 1= = +ce a 1 2 4 6 + 1 2 4 3 + 3 222 + 3 242 + 2 2 2 1 1 2 2 = =  + − += = a r b c b cr 2 21 2 1 2( ) 4∴ + − = + ⇒ + = + ≥b c b c bc b c bc 2 2 22 1 4 2( ) 4 1 0 1 12 2 即 或0 = ∴ > ∴ ≥ + ≥ + = +b c r bc bc bc 1 1 1 1 3 1 2( 2)3 2 6 6 2 4 6 ∴ = × × = ≥ + = +V bc a bc min 1 2 4 6 ∴ = +V12. 函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，设函数 ， 则 ， 因为 是定义在区间 上的可导函数，且满足 ， 所以 ，所以函数 在 上为增函数， 又由 ，即 ， 即 ，所以 ，解得 ， 即不等式的解集为 . 故选：C. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13. 的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答) 【答案】160 14．已知角的终边与单位圆交于点( )，则 =__________． 【答案】 15. A、B、C、D 四位同学站成一排照相，则 A、B 中至少有一人站在两端的概率为____． 【答案】 【解析】A、B、C、D 四位同学站成一排照相，基本事件总数 ，A、B 中至少 有一人站在两端包含的基本事件个数 20，故 A、B 两人中至少有一人站 在两端的概率 ． 16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点 A, B 的距离之比为定值 λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名， 称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 xOy 中， A(-2，1)，B(-2，4)， 点 P 是满足 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________； 若点 Q 为抛物线 E: y2 =4x 上的动点，Q 在直线 x= -1 上的射影为 H，则 的最小值为 ． ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x′ ( ) ( )2 0xf x f x′ + > ( 2020) ( 2020) 2 (2) 2 2020 + + < + x f x f x { }| 2018< −x x { }| 2017x x < − { }| 2020 2018− < < −x x { }| 2020 2017x x− < < − ( ) ( )( )2 0g x x f x x= > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2( ) 2g x x f x x f x x f x xf x′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ = + ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )2 0xf x f x′ + > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0, ∞+ ( 2020) ( 2020) 2 (2) 2 2020 + + < + x f x f x 2 2( 2020) ( 2020) 2 (2)+ + ⇒ + > k b 1 2 2 4 1 2 + = − + kbx x k 2 1 2 2 2( 2) 1 2 −= + bx x k ⊥BP BQ 0∴ ⋅ = BP BQ ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 22 2 0 2 2 0x x y y x x kx b kx b− − + = ⇒ − − + + + = 2 2 1 2 1 2(1 ) ( 2)( ) 4 0k x x kb x x b+ + − + + + = 2 24 8 3 0+ + =k kb b 2= −b k 3 2= −b k 2= −b k : ( 2)= −PQ y k x PQ 3 2= −b k 2: ( )3 = −PQ y k x PQ 2( ,0)3 2( ,0)3 2( ) 2( 3) 2 lnf x x a x a x= + − + a R∈ ( )f x 1x = 4 3 0+ + =x y a ( )f x 1 2,x x 1 2x x< a ( ) ( )1 2 10 0f x f x+ + > 2( ) 2( 3) 2 lnf x x a x a x= + − + 0x > 2( ) 2 2( 3) af x x a x ′ = + − + (1) 4 4f a′ = − 1(4 4) 14 − ⋅ = −−a 2=a a ( )f x 1 2,x x 1 2x x< 2( ) 2 2( 3) 0af x x a x ′ = + − + = (0, )+∞ 1 2,x x 1 2x x< 22 2( 3) 2 0x a x a+ − + = (0, )+∞ 1 2,x x 2 2( 3) 0,2 2 4( 3) 16 0, 2 0, a a a −− > ×∆ = − − >  >  0 1a< < 0 1a< < 10 x x< < 2x x> 22 2( 3) 2 0x a x a+ − + > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )10, x ( )1,x +∞ 1 2x x x< < 22 2( 3) 2 0x a x a+ − + < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1 2,x x故函数 在 上有两个极值点 ，且 . 所以，实数 的取值范围是 .……………………………………………..7 分 ②由①可知， 是方程 的两个不等的实根， 所以 其中 . 故 ， 令 ，其中 .故 ， 令 ， ， 在 上单调递增. 由于 ， ， 所以存在常数 ，使得 ，即 ， ， 且当 时， ， 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增， 所以当 时， 的最小值： ， 又 ， ， 所以 ，即 ， 故 得证. ……………………………………………………12 分 在 ( )f x (0, )+∞ 1 2,x x 1 2x x< a 0 1a< < ( )1 2 1 2, 0x x x x< < 22 2( 3) 2 0x a x a+ − + = 1 2 1 2 3 , , x x a x x a + = −  = 0 1a< < ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 22( 3) 2 ln 2( 3) 2 lnf x f x x a x a x x a x a x+ = + − + + + − + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 22 2( 3) 2 lnx x x x a x x a x x= + − + − + + 2 2(3 ) 2 2( 3)(3 ) 2 ln 2 ln 4 9a a a a a a a a a a= − − + − − + = − + − 2( ) 2 ln 4 9g a a a a a= − + − 0 1a< < ( ) 2ln 2 6g a a a′ = − + ( ) ( ) 2ln 2 6h a g a a a′= = − + 2( ) 2 0h a a ′ = − > ( ) ( )h a g a′= (0,1) ( )3 32 0h e e− −= − < (1) 4 0h = > ( )3,1t e−∈ ( ) 0h t = ln 3 0t t− + = ln 3t t= − (0, )a t∈ ( ) ( ) 0h a g a′= < ( )g a (0, )t ( ,1)a t∈ ( ) ( ) 0h a g a′= > ( )g a ( ,1)t 0 1a< < ( )g a 2 2 2( ) ( ) 2 ln 4 9 2 ( 3) 4 9 2 9g a g t t t t t t t t t t t= − + − = − − + − = − − ( )3,1t e−∈ 2 22 9 ( 1) 10 10t t t− − = − − > − ( ) 10g a > − ( ) 10 0g a + > ( ) ( )1 2 10 0f x f x+ + >