山东省平邑县、沂水县2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版含答案）

高二阶段性教学质量检测 数学试题 2020.05 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.10 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可以作为随机变量的是（ ） A.取到产品的件数 B.取到正品的概率 C.取到正品的件数 D.取到次品的概率 2.已知函数 ，则 （ ） A B. C.1 D.3 3.设随机变量 ，且 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 4.若 ，则 （ ） A.4 B.6 C.7 D.8 5. 的近似值（精确到 0.01）为（ ） A.1.12 B.1.13 C.l.14 D.1.20 6.一个质量 的物体作直线运动，设运动距离 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系可用函数： 表示，并且物体的动能 （ 为物体质量， 为物体运动速度），则物体开始运动 后第 时的动能是（ ） A. B. C. D. 7.袋中共有 10 个除了颜色外完全相同的球，其中有 7 个白球，3 个红球，从袋中任取 2 个球，所取的 2 个 球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ） ( )f x x= ( )4f ′ = 1 4 − 1 4 ( , )B n pξ  1.6Eξ = 1.28Dξ = p = 1 5 1 4 1 3 2 5 3 212n n nA C −= n = 61.02 5 kgm = s m t s 21( ) 2s t t t= + 2 k 1 2E mv= m v 7 s 160J 165J 170J 175JA.1 B. C. D. 8.若直线 与 的图象有三个不同的交点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.甲、乙两类水果的质量（单位； ）分别服从正态分布 ， ，其正态分布的密度曲 线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A.甲类水果的平均质量 B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量化甲类水果的质量更集中于平均值附近 10.已知函数 的定义域为 且导函数为 ，如图是函数 的图象，则下列说法正确的是 （ ） A.函数 的减区间是 ， B.函数 的减区间是 ， C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极小值点 11.设离散型随机变量 的分布列为（ ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有（ ） 2 5 7 15 11 15 y m= 33y x x= − m [ 2,2]− ( , 2] [2, )−∞ − +∞ ( , 2) (2, )−∞ − +∞ ( 2,2)− kg ( )2 1 1,N µ σ ( )2 2 2,N µ σ 1 0.4 kgµ = ( )f x R ( )f x′ ( )y xf x′= ( )f x ( 2,0)− (2, )+∞ ( )f x ( , 2)−∞ − (2, )+∞ 2x = − 2x = X X P q Y 2 1Y X= −A. B. ， C. ， D. ， 12.对于函数 ，下列说法正确的有（ ） A. 在 处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D.若 在 上面成立，则 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.在 的展开式中 的系数是________. 14.甲、乙、丙三人投篮一次命中的概率分别为 ， ， .今三人各投篮一次，至少有一人命中的概率是 ________. 15.用 0，1，2，3，4，5 六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是________；可以组成有重复数 字的三位数的个数为________.（本题第一空 3 分，第二空 2 分） 16.若 在 上单调递减，则实数 取值范围________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 已知 ，其中 . （1）求 的值； （2）求 的值. 18.（12 分） 已知口袋中有 2 个白球和 4 个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取 1 个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； （2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 19.（12 分） 已知函数 在 处取得极值，且 . （1）求 ， 的值； （2）求函数 在区间 上的值域. 0.2q = 2EX = 1.8DX = 2EX = 1.4DX = 3EY = 7.2DY = ln( ) xf x x = ( )f x ex = 1 e ( )f x (2) ( ) (3)f f fπ< < 1( )f x k x < − (0, )+∞ 1k > 5 2 2x x  −   4x 1 5 1 4 1 3 3 23( ) ln 2 42f x m x x x x= − + − + (2, )+∞ m 2 0 1 2(1 )n n nx a a x a x a x− = + + + + 2 21a = n 2 3 1 2 33 3 3 3n na a a a+ + + + 3 2( )f x x x ax b= − − + 1x = (1) 1f = a b ( )y f x= [0,2]20.（12 分） 某地需要修建一条大型输油管道通过 720 千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工 程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一 个增压站的工程费用为 108 万元，铺设距离为 千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为 万元. 设余下工程的总费用为 万元. （1）试将 表示成关于 的函数； （2）需要修建多少个增压站才能使总费用 最小？ 21.（12 分） 已知从 地到 地有两条道路可以到达，走道路①准点到达的概率为 ，不准点到达的概率为 ；走道路 ②准点到达的概率为 ，不准点到达的概率为 .若甲乙两车走道路①，丙车由于其他原因走道路②， 且三辆车是否准点到达相互之间没有影响. （1）若三辆车中恰有一辆车没有准点到达的概率为 ，求走道路②准点到达的概率 ； （2）在（1）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布列和数学期望. 22.（12 分） 已知函数 ， ， . （1）若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围； （2）当 时，是否存在 ，使得 和 的图象在 处的切线互相平行，若 存在，请给予证明，若不存在，请说明理由. 高二阶段性教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 2020.05 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.ABC 10.BC 11.BD 12.ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. x (2 )x x+ y y x y A B 3 4 1 4 p (1 )p− 7 16 p 2( ) 2lnf x x ax= − ( ) e 1xg x = − a R∈ ( )f x (0,1) a 1a = 0 (0,1)x ∈ ( )y f x= ( )y g x= 0x x=13.40 14. 15.100 80 16. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）因为 ，………………………………………………………………………2 分 由 ，得 ，…………………………………………………………………………………………4 分 解得 . ………………………………………………………………………………………………………5 分 （2）令 ，得 ，………………………………………………………………………………………6 分 今 ，得 ，……………………………………………………8 分 所以 . ……………………………………………………10 分 18.解：（1）两次都取得白球的概率 .……………………………………………………………4 分 （2）记事件 ：第一次取出的是红球；事件 ：第二次取出的是红球. ……………………………………5 分 则 ，……………………………………………………………………………………………7 分 ，……………………………………………………………………………………………10 分 利用条件概率的计算公式，可得 .……………………………………………12 分 19.解：（1）： ， ，…………………………………………1 分 函数 在 处取得极值， ，………………………………………………………………………………………………………3 分 又 ， 3 5 ( ,16]−∞ 2 2 2 2 3 ( ) nnT C x C x= − = 2 21a = 2 21nC = 7n = 0x = 0 1a = 3x = 7 2 3 1 2 3(1 3) 1 3 3 3 3n na a a a− = + + + + + 2 7 1 3 2 33 3 3 3 ( 2) 1 129n na a a a+ + + + = − − = − 2 2 1 6 6 9P = × = A B 4 5 2( ) 6 5 3P A ×= =× 4 3 2( ) 6 5 5P AB ×= =× ( ) 2 3 3( | ) ( ) 5 2 5 P ABP B A P A = = × = 3 2( )f x x x ax b= − − + 2( ) 3 2f x x x a′∴ = − −  3 2( )f x x x ax b= − − + 1x = (1) 0f ′∴ = (1) 1f =， ，…………………………………………………………………………………………………5 分 经检验， ， 符合题意， 所以 ， .………………………………………………………………………………………………6 分 （2）由（1）得 ， ，…………………………………………7 分 令 得： 或 ；……………………………………………………………………………8 分 令 ，得： ，………………………………………………………………………………9 分 所以函数 在区间 上 与 的变化情况如下表： 0 1 2 0 2 单调递减 1 单调递增 4 ………………………………10 分 由上表可知函数 在区间 上的值域为 ，…………………………………………………12 分 20.解：（1）设需要新建 个增压站，且 ，即 ；…………………………………2 分 则 关于 的函数关系式为 ；……………………………………………………………………………………6 分 （2）由（1）知， ， ；…………………………7 分 令 ，得 ，解得 ；……………………………………………………………………8 分 当 时， ， 在区间 内为减函数； 当 时， ， 在区间 内为增函数， 1a∴ = 2b = 1a = 2b = 1a = 2b = 3 2( ) 2f x x x x= − − + 2( ) 3 2 1f x x x′∴ = − − ( ) 0f x′ > 1 3x < − 1x > ( ) 0f x′ < 1 13 x− < < ( )y f x= [0,2] ( )f x ( )f x′ x ( )0,1 ( )1,2 ( )f x′ − + ( )f x ( )y f x= [0,2] [1,4] n ( 1) 720n x+ = 720 1n x = − y x ( ) 108 ( 1)(2 )y f x n n x x= = + + + 720 720108 1 1 1 (2 )x xx x    = × − + − + +       77760 720 1332xx = + + 77760( ) 720 1332f x xx = + + 2 77760 360( )f x x x ′ = − + ( ) 0f x′ = 3 2 216x = 36x = 0 36x< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0,36) 36 720x< < ( ) 0f x′ > ( )f x (36,720)所以 在 处取得最小值，…………………………………………………………………………11 分 此时 ，即需新建 19 个增压站才能使 最小.………………………………………………12 分 21.解：（1）由已知条件得 ，………………………………………………2 分 解得 ；………………………………………………………………………………………………………4 分 （2） 可能的取值为 0，1，2，3.………………………………………………………………………………5 分 ，………………………………………………………………………………… 6 分 ，…………………………………………………………………7 分 ，……………………………………………………………… 8 分 .………………………………………………………………………………………9 分 的分布列为 0 1 2 3 ………………………………………………10 分 所以 .………………………………………………………………12 分 22.（（1）解： ， ，…………………………………………………………………1 分 当 时， ，所以 在 上单调递增，满足题意；…………………………………2 分 当 时，由 ， ，得 ，………………………………………………3 分 由 ，解得 ；由 ，解得 ， 所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，…………………………………………4 分 ( )f x 36x = 720 1 1936n = − = y 2 1 2 3 1 3 7(1 )4 4 4 16C p p × × + − =   2 3p = ξ ( ) 1 1 1 10 4 4 3 48P ξ = = × × = 1 2 3 1 1 1 1 2 1( 1) 4 4 3 4 4 3 6P Cξ = = × × × + × × = 1 2 3 1 2 3 3 1 7( 2) 4 4 3 4 4 3 16P Cξ = = × × × + × × = 3 3 2 3( 3) 4 4 3 8P ξ = = × × = ξ ξ P 1 48 1 6 7 16 3 8 1 1 7 3 130 1 2 348 6 16 8 6Eξ = × + × + × + × = 2( ) 2f x axx ′ = − 0x > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0a > 22 2( ) 0axf x x −′ = = 0x > ax a = ( ) 0f x′ > 0 ax a < < ( ) 0f x′ < ax a > ( )f x 0, a a       ,a a  +∞   由题意知， ，得 ，……………………………………………………………………………5 分 综上，实数 的取值范围是 .……………………………………………………………………………6 分 （2）当 时， ， ， 假设 ，使得 和 的图象在 处的切线互相平行， 即 使得 ，且 .……………………………………………………7 分 令 ， 则函数 在 上是减函数，………………………………………………………………………………8 分 ， ， ， 使得 .……………………………………………………………………………9 分 由（1）知，当 时， 在 上单调递增， 所以，当 时， 在 上 ，……………………………………………………10 分 又 恒成立，…………………………………………………………………………………11 分 所以，而 时， . 因此，当 时， ，使得 和 的图象在 处的切线互相平行. ………12 分 1a a ≥ 0 1a< ≤ a ( ,1]−∞ 1a = 2( ) 2f x xx ′ = − ( ) exg x′ = 0 (0,1)x∃ ∈ ( )y f x= ( )y g x= 0x x= 0 (0,1)x∃ ∈ ( ) ( )0 0f x g x′ ′= ( ) ( )0 0f x g x≠ 2( ) ( ) ( ) 2 exh x f x g x xx ′ ′= − = − − ( )h x ( )0,1 e1 12 4 0h  = − − >   (1) 2 2 e 0h = − − < 1 (1) 02h h ∴ − 0 (0,1)x ∈ ( ) ( )0 0f x g x≠ 1a = 0 (0,1)x∃ ∈ ( )y f x= ( )y g x= 0x x=