重庆七中 2019——2020 学年度
高 2021 级测试数学试题卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知函数 ，则 （ ）．
A．15 B．30 C．32 D．77
2．已知 为虚数单位，则复数 的共轭复数是（ ）．
A． B． C． D．
3．函数 的导函数为（ ）．
A． B． C． D．
4．椭圆 的焦点在 轴上，且 ， ，
则这样的椭圆的个数为（ ）．
A．10 B．12 C．20 D．21
5．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．为了了解该地区近几年蔬菜的产
量，收集了近 5 年的
统计数据，如表所示：
根 据 上 表 可 得 回 归 方 程
，预测该地区
2019 年蔬菜的产量为（ ）．
A．5.5 B．6 C．7 D．8
6．已知 在 上是增函数，则实数 的最大值是（ ）．
A．0 B．1 C．3 D．不存在
7.右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 48
8 ． 若 ， 则 等 于
（ ）．
年份 2014 2015 2016 2017 2018
年份代码 1 2 3 4 5
年产量 （万吨） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
2( ) 3 2f x x= + (5) f ′ =
i 2 2(1 2 ) 1i i
+ + −
2 5i+ 2 5i− 2 5i− − 2 5i− +
cos siny x x x= −
siny x x′ = siny x x′ = − cosy x x′ = cosy x x′ = −
2 2
1( 0, 0)x y m nm n
+ = > > x {8,9,10}m∈ {1,2,3,4,5,6,7}n∈
ˆ ˆ0.2y x a= +
3( )f x x ax= − [1, )+∞ a
( )2 2 2
0 1 2 21 n n
nx x a a x a x a x+ + = + + + +… 0 2 4 2na a a a+ + + +…
x
yA． B． C． D．
9.若 满足约束条件 ，则 的最大值（ ）
A. 9 B. 1 C. 7 D.
10．有关独立性检验的四个命题，其中不正确的是（ ）．
A 两个变量的 列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成的可能
性就越大
B．对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说， 越小，“ 与 有关系”的可信程
度越小
C．从独立性检验可知：有 95%把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有 95%
可能患有心脏病
D．从独立性检验可知：有 99%把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过 1%
前提下认为吸烟与患肺癌有关
11 ． 已 知 函 数 ， ， 若 ， ， 使 得
，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
12.已知函数 有两个零点 ，则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. 有极大值点 ，且
D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．某县共有 90 间农村淘宝服务站，随机抽取 5 间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元)
的茎叶图如图所示 ，其中茎为十位数，叶为个位数．若网购金额(单位：万
元)不小于 18 的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站．从随机抽取的 5 间服务站中
再任取 2 间作网购商品的调查，则恰有 1 间是优秀服务站的概率为 ．
2n 3 1
2
n − 12n+ 3 1
2
n +
,x y
2
2 1
2 5 1 0
x y
x y
x y
+ ≤
− ≥
+ − ≥
2 3x y−
1−
2 2×
X Y 2K k k X Y
4( )f x x x
= + ( ) 2xg x a= + 1
1 ,12x ∀ ∈ 2 [2,3]x∃ ∈
( ) ( )1 2f x g x≥ a
1a ≤ 1a ≥ 1a < 1a >
( ) lnf x x ax= − ( )1 2 1 2,x x x x<
10 a e
< < 1 2 2x x e+ < 0x 1 2 02x x x+ >
2
1 2x x e>14．函数 的单调递减区间是________．
15．在二项式 的展开式中，系数最大项的项数为________．
16．设函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范围
是________．
三、解答题：共 70 分．17 题 10 分，18 题——22 题每题 12 分。解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤．
17.如图是某公司一种产品的日销售量 （单位：百件）关于日最高气温 （单位： ）的散
点图.
数据：
13 15 19 20 21
26 28 30 18 36
（1）请剔除一组数据，使得剩余数据的线性相关性最强，并用剩余数据求日销售量 关于日
最高气温 的线性回归方程 ；
（2）根据现行《重庆市防暑降温措施管理办法》.若气温超过 36 度，职工可享受高温补贴.已
知某日该产品的销售量为 53.1，请用（1）中求出的线性回归方程判断该公司员工当天是否可
享受高温补贴？
附： ， .
18．（12 分）设 ，其中 ，曲线 在点 处的切线
( ) 3 lnf x x x= +
11
2 1x x
−
( )2( ) 1 xf x x e= − 0x ≥ ( ) 1( 0)f x ax a≤ + > a
y x C°
x
y
y
x y bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bx= −
2( ) ( 5) 6lnf x a x x= − + a R∈ ( )y f x= (1, (1))f与 轴相交于点 ．
（1）求 的值；
（2） 求函数 的单调区间．
19. （12 分）为了研究某学科成绩
是否与学生性别有关，采用分层抽
样的方法，从高二年级抽取了 30
名男生和 20 名女生的该学科成绩，
得到如图所示男生成绩的频率分布
直方图和女生成绩的茎叶图，规定
80 分以上为优分含 80 分．
Ⅰ请根据图示，将列联表补充完整；
优分 非优分 总计
男生
女生
总计 50
Ⅱ据列联表判断，能否在犯错误概率不超过的前提下认为“学科成绩与性别有关”？
参考公式：，．
参考数据：
20．（12 分）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
21．（12 分）已知点 为抛物线 的焦点，点
在抛物线 上，且 ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，延长 交抛物线 于点 ，证明：以点
y (0,6)
a
( )y f x=
( ) cosxf x e x x= −
( )y f x= (0, (0))f
( )f x 0, 2
π
F 2: 2 ( 0)E y px p= >
(2, )A m E 3AF =
E
( 1,0)G − AF E B F为圆心且与直线 相切的圆，必与直线 相切．
22．（12 分）已知函数 ，其中实数 为常数．
（1）当 时，确定 的单调区间；
（2）若 在区间 （ 为自然对数的底数）上的最大值为 ，求 的值；
（3）当 时，证明 ．
GA GB
( ) lnf x ax x= + a
1a = − ( )f x
( )f x (0, ]e e 3− a
1a = − ln 1| ( ) | 2
xf x x
> +重庆七中 2019——2020 学年度
高 2021 级期中测试数学答案卷
一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．B 8．D 9．A 10．C 11．A 12．B
12【详解】解：由 ，可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，与题意不符；
当 时，可得当 解得： ，
可得当 时， ，当 时， ，
可得当 时， 取得极大值点，且由函数 有两个零点 ，
可得 ，可得 ，综合可得： ，故 A 正确；
由 A 可得得 的极大值为 ，设 ，
设 ，其中 ，可得 ，
可得 ，
可得 ，
易得当 时候， ，当 ， ，
故 ， ，
故 ， ，
( ) lnf x x ax= − ' 1 0( ) ,( )f x a xx
= − ＞
0a ≤ ' ( ) 0f x ＞ ∴ ( )f x 0x＞
0a＞ ' 1( ) 0,f x ax
= − = 1x a
=
1(0, )x a
∈ ' ( ) 0f x ＞ 1( , )x a
∈ +∞ ' ( ) 0f x ＜
1x a
= ( )f x ( ) lnf x x ax= − ( )1 2 1 2,x x x x<
1 1( ) ln 1 0f a a
= − ＞ 1a e
＜ 10 a e
< <
( )f x 1( )f a 1 2
10 x xa
＜ ＜ ＜
2( ) ( ) ( )g x f x f xa
= − − 1(0, ]x a
∈ 1( ) 0g a
=
2 2 1( ) ( ) ( ) , (0, ]g x In x a x Inx ax xa a a
= − − − − + ∈
'
2
1 1 2 1( ) ( 1) 2 2 2 , (0, ]2 2 2
a ag x a a a xax x ax x ax x a
= × − − + = − + = + ∈− − −
1x a
= ' ( ) 0g x = 1(0, ]x a
∈ ' ( ) 0g x ≤
1(0, ]x a
∈ 1( 0) ( )g Ing ax =＞
1 1
2( ) ( ) 0f x f xa
− − ＞ 1 1 2
2( ) ( ) ( )f x f x f xa
− =＞由 ，易得 ，且 ，
且 时， ， 单调递减，故由 ，
可得 ，即 ，即：有极大值点 ，且 ，
故 C 正确，B 不正确；
由函数 有两个零点 ，可得 ， ，
可得 ， ，可得 ，
由前面可得， ，可得 ，
二、填空题：每题 5 分，共 20 分．
13. 14． 15．7 16．
三、解答题
17【解析】（1）应剔除数据点 ，
剩余 5 组数据中 ， ，
则 ， ，
则线性回归方程为 ；
（2）当日销售量为 53.1 时， ，解出 ，因为 ，
于是该公司员工当天可以享受高温补贴.
18．解析：（1）因为 ， ，故 ，
令 ，得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
由点 在切线上，可得 ，解得
1(0, ]x a
∈ 1
2 1xa a
− ＞ 1 2
10 x xa
＜ ＜ ＜
1( , )x a
∈ +∞ ' ( ) 0f x ＜ ( )f x 1 1 2
2( ) ( ) ( )f x f x f xa
− =＞
1 2
2 x xa
− ＜ 1 2
2 x xa
+＜ 0
1x a
= 1 2 02 2x x x a
+ > =
( ) lnf x x ax= − ( )1 2 1 2,x x x x< 1 1ln x ax= 2 2ln x ax=
1
1
axx e= 2
2
axx e= 2 1 1 2( )
1 2
ax ax a x xx x e e e += =
1 2 02 2x x x a
+ > = 1 2( )
2
1 2
2a x x a ax e e ex
×+= > =
3
5p = 10, e
[1, )+∞
( )20,18
13 15 19 21 174x
+ + += = 26 28 30 36 304y
+ + += =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2 2 2 2
4 4 2 2 0 4 6 44 1.1404 2 2 4
b
− × − + − × − + + ×= = =
− + − + + 30 1.1 17 11.3a = − × =
1.1 11.3y x= +
53.1 1.1 11.3x= + 38x = ( ]38 36,39∈
2( ) ( 5) 6lnf x a x x= − + 0x > 6( ) 2 ( 5)f x a x x
′ = − +
1x = (1) 16f a= (1) 6 8f a′ = −
( )y f x= (1, (1))f ( )( 1)y 16a 6 8a x− = − −
(0,6) 6 16 8 6a a− = − 1
2a =（2）由（1）知， ， ， ，
令 ， 解 得 或 3 ， 令 ， 得 或 ； 令 得
，
故 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是
19 解：Ⅰ根据图示，将列联表补充完整如下：
Ⅱ的观测值：，
所以能在犯错误概率不超过的前提下认为该学科成绩与性别有关；
20．解析：（1）因为 ，所以 ， ，
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为
（2）设 ，则
，
当 时， ，所以 在区间 上单调递减．
所以对任意 有 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为
21. 解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得 ．
因为 ，即 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 ．
（Ⅱ）因为点 在抛物线 上，
优分 非优分 总计
男生 9 21 30
女生 11 9 20
总计 20 30 50
21( ) ( 5) 6ln2f x x x= − + 0x > 6 ( 2)( 3)( ) ( 5) x xf x x x x
− −′ = − + =
( ) 0f x′ = 2x = ( ) 0f x′ > 0 2x< < 3x > ( ) 0,f x′ <
2 3x< <
( )y f x= (0,2) (3, )+∞ (2,3)
( ) cosxf x e x x= − ( ) (cos sin ) 1xf x e x x′ = − − (0) 0f ′ =
(0) 1f = ( )y f x= (0, (0))f 1y =
( ) (cos sin ) 1,xh x e x x= − −
( ) (cos sin sin cos ) 2 sinx xh x e x x x x e x′ = − − − = −
0, 2x
π ∈ ( ) 0h x′ < ( )h x 0, 2
π
0, 2x
π ∈ ( ) (0) 0h x h< = ( ) 0f x′ <
( )f x 0, 2
π
( )f x 0, 2
π
(0) 1f =
2 2f
π π = −
F 2 2
pΑ = +
F 3Α = 2 32
p+ = 2p = Ε 2 4y x=
( )2,mΑ :Ε 2 4y x=所以 ，由抛物线的对称性，不妨设 ．
由 ， 可得直线 的方程为 ．
由 ，得 ，解得 或 ，
从而 ．又 ，
所以 ， ，
所以 ，从而 ，这表明点 到直线 ， 的距离相等，
故以 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点 为圆心且与直线 相切的圆的半径为 ．
因为点 在抛物线 上，
所以 ，由抛物线 对称性，不妨设 ．
由 ， 可得直线 方程为 ．
由 ，得 ，
解得 或 ，从而 ．
又 ，故直线 的方程为 ，
从而 ．又直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离 ．
这表明以点 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切．22．解：（1）当 时，
的
的
2 2m = ± ( )2,2 2Α
( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= −
( )
2
2 2 1{
4
y x
y x
= −
=
22 5 2 0x x− + = 2x = 1
2x =
1 , 22
Β −
( )G 1,0−
( )G
2 2 0 2 2
2 1 3k Α
−= =− − ( )G
2 0 2 2
1 312
k Β
− −= = −
− −
G G 0k kΑ Β+ = GF GF∠Α = ∠Β F GΑ GΒ
F GΑ GΒ
F GΑ r
( )2,mΑ :Ε 2 4y x=
2 2m = ± ( )2,2 2Α
( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= −
( )
2
2 2 1{
4
y x
y x
= −
=
22 5 2 0x x− + =
2x = 1
2x = 1 , 22
Β −
( )G 1,0− GΑ 2 2 3 2 2 0x y− + =
2 2 2 2 4 2
8 9 17
r
+
= =
+
GΒ 2 2 3 2 2 0x y+ + =
F GΒ 2 2 2 2 4 2
8 9 17
d r
+
= = =
+
F GΑ GΒ 1a = −，∴ ，又 ，所以
当 时， ， 在区间 上为增函数，
当 时， ， 在区间 上为减函数，
即 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数．
（2）∵ ，
①若 ，∵ ，则 ，在区间 上恒成立，
在区间 上为增函数， ，∴ ，舍去；
②当 时，∵ ，∴ ，∴ ， 在区间 上为增
函数，
，∴ ，舍去；
③若 ，当 时， ， 在区间 上为增函数，
当 时， ， 在区间 上为减函数，
，∴ ．综上 ．
（3）由（Ⅰ）知，当 时， 有最大值，最大值为 ，即 ，所以
，
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 上为增函数，
当 时， ， 在区间 上为减函数，
所以当 时， 有最大值 ，
所以 ，
( ) lnf x x x= − + 1( ) xf x x
−′ = 0x >
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1)
(1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )+∞
( )f x (0,1) (1, )+∞
1( ) axf x x
+′ =
0a ≥ 0x > ( ) 0 f x′ > (0, ]e
( )f x (0, ]e max( ) ln 1 3f x ae e ae= + = + = − 4 0a e
= − <
1,0a e
∈ − (0, ]x e∈ 1 0ax + ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x (0, ]e
max( ) ln 1 3f x ae e ae= + = + = − 4 0a e
= − <
1a e
< − 10,x a
∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x 10, a
−
1 ,x ea
∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x 1 ,ea
−
max
1 1( ) 1 ln 3f x f a a
= − = − + − = −
2 1a e e
= − < − 2a e= −
1a = − ( )f x (1) 1f = − ( ) 1f x ≤ −
| ( ) | 1f x ≥
ln 1( ) 2
xg x x
= +
2
1 ln( ) xg x x
−′ =
(0, )x e∈ ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )e
( , )x e∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( , )e +∞
x e= ln 1( ) 2
xg x x
= + 1 1 12e
+ <
| ( ) | ( )f x g x>即 ． ln 1| ( ) | 2
xf x x
> +
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