江西省南昌市2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案
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江西省南昌市2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案

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资料简介
1 NCS20200707 项目第二次模拟测试卷 理科数学 本试卷共 4 页,23 小题,满分 150 分。考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码. 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑:如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案. 3.非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉 原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 ,则 等于( ) A.2 B.4 C. D. 2.集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 3.已知 是三条不重合的直线,平面 相交于直线 c, ,则“ 相交”是“ 相 交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 ,则不等式 的解集是( ) 1 2 1 21 3 , 3 ,z i z i z z z= + = − = ⋅ | |z 3 2 3 2 2{ | 4 , }, { | 4 }A y y x x N B x N x N= = − ∈ = ∈ − ∈ A B∩ = {0,2} {0,1,2} {0, 3,2} ∅ , ,a b c ,α β ,a bα β⊂ ⊂ ,a b ,a c 1, 1( ) ln , 1 x xf x x x − ≤=  > ( ) 1f x >2 A. B. C. D. 5.已知 中角 所对的边分别为 ,若 ,则角 A 等于( ) A. B. C. D. 6.已知 为不共线的两个单位向量,且 在 上的投影为 ,则 ( ) A. B. C. D. 7.函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. 8.直线 被圆 截得最大弦长为( ) A. B. C.3 D. 9.函数 的部分图象如图所示,则 ( ) A. B. C. D. 10.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式,使用提水吊杆——桔槔,后发展成辘轳.19 世纪末, (1, )e (2, )+∞ (2, )e ( , )e +∞ ABC , , A B C , ,a b c 2 ,sin 2cos2a c A C= = 6 π 2 π 2 3 π 5 6 π ,a b a b 1 2 − | 2 |a b− = 3 5 6 7 ln( ) x x xf x e = 2 sin 0x yθ⋅ + = 2 2 2 5 2 0x y y+ − + = 2 5 2 3 2 2 ( ) sin( )( 0)f x A xω ϕ ω= + > (0)f = 6− 3− 2− 6 2 −3 由于电动机的发明,离心泵得到了广泛应用,为发展机械提水灌溉提供了条件.图形所示为灌溉抽水管道 在等高图的上垂直投影,在 A 处测得 B 处的仰角为 37 度,在 A 处测得 C 处的仰角为 45 度,在 B 处测得 C 处的仰角为 53 度,A 点所在等高线值为 20 米,若 BC 管道长为 50 米,则 B 点所在等高线值为(参考数据 ) A.30 米 B.50 米 C.60 米 D.70 米 11.已知 F 是双曲线 的右焦点,直线 交双曲线于 A,B 两点,若 ,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 12 . 已 知 函 数 有 且 只 有 三 个 零 点 , 则 属于( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值为______________. 3sin37 5 ° = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= 2 3AFB π∠ = 5 6 10 2 2 + 5 2 2 + 3( ) sin cos ( 0)4f x x x a x a π = + − − >   ( )1 2 3 1 2 3, ,x x x x x x< < ( )3 2tan x x− 0, 2 π     ,2 π π     3 ,2 π +∞   3, 2 ππ     | | 1 3 1 0 y x x y ≥ −  − + ≥ z x y= +4 14 . 已 知 梯 形 中 , , 则 _____________. 15.已知 ,则 等于_______________. 16.已知正四棱椎 中, 是边长为 3 的等边三角形,点 M 是 的重心,过点 M 作与 平面 PAC 垂直的平面 ,平面 与截面 PAC 交线段的长度为 2,则平面 与正四棱椎 表面交 线所围成的封闭图形的面积可能为______________.(请将可能的结果序号填到横线上) ①2; ② ; ③3; ④ . 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答;第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(12 分)已知等差数列 的公差为 ,前 n 项和为 ,且满足____________.(从① );② 成等比数列;③ ,这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置, 并根据你的选择解决问题) (I)求 ; (Ⅱ)若 ,求数列 的前 n 项和 . 18.(12 分)如图所示,四棱柱 中,底面 是以 为底边的等腰梯形,且 . ABCD / / , 3, 4, 60 , 45AD BC AD AB ABC ACB° °= = ∠ = ∠ = DC = 6 2 7 0 1 2 7( 1)(2 1)x x a a x a x a x− − = + + + + 2a P ABCD− PAC PAC α α α P ABCD− 2 2 2 3 { }na ( 0)d d ≠ nS ( )10 105 1S a= + 1 2 6, ,a a a 5 35S = na 1 2n nb = { }n na b nT 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD ,AB CD 12 4, 60 ,AB AD DAB AD D D°= = ∠ = ⊥5 (I)求证:平面 平面 ; (Ⅱ)若 ,求直线 AB 与平面 所成角的正弦值. 19.(12 分)已知双曲线 上任意一点(异于顶点)与双曲线两顶点连线的斜率 之积为 . (I)求双曲线渐近线的方程; (Ⅱ)过椭圆 上任意一点 P(P 不在 C 的渐近线上)分别作平行于双曲线两条渐近 线的直线,交两渐近线于 两点,且 ,是否存在 使得该椭圆的离心率为 ,若存在,求出椭圆方程:若不存在,说明理由. 20.(12 分)已知函数 ( ,且 ,e 为自然对数的底). (I)求函数 的单调区间 (Ⅱ)若函数 在 有两个不同零点,求 a 的取值范围. 21.(12 分)某班级共有 50 名同学(男女各占一半),为弘扬传统文化,班委组织了“古诗词男女对抗赛”, 将同学随机分成 25 组,每组男女同学各一名,每名同学均回答同样的五个不同问题,答对一题得一分,答 错或不答得零分,总分 5 分为满分。最后 25 组同学得分如下表: 组别号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 男同学得分 5 4 5 5 4 5 5 4 4 4 5 5 4 女同学得分 4 3 4 5 5 5 4 5 5 5 5 3 5 分差 1 1 1 0 -1 0 1 -1 -1 -1 0 2 -1 1 1D DBB ⊥ ABCD 1 1 2D D D B= = 1 1BCC B 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1 9 2 2 2 2 1( 0)x y m nm n + = > > ,M N 2 2| | | | 5PM PN+ = ,m n 2 2 3 2( ) ln( )f x x ax e = + a R∈ 0a ≠ ( )f x ( ) ( ) e ag x f x −= − (0, )+∞6 组别号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 男同学得分 4 3 4 4 4 4 5 5 5 4 3 3 女同学得分 5 3 4 5 4 3 5 5 3 4 5 5 分差 -1 0 0 -1 0 1 0 0 2 0 -2 -2 (I)完成 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关; (Ⅱ)某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布 ,首先根据前 20 组男女同学的分差 确定 和 ,然后根据后面 5 组同学的分差来检验模型,检验方法是:记后面 5 组男女同学分差与 的差 的绝对值分别为 ,若出现下列两种情况之一,则不接受该模型,否则接受该模型. ①存在 ;②记满足 的 i 的个数为 k,在服从正态分布 的总体(个体数无穷 大)中任意取 5 个个体,其中落在区间 内的个体数大于或等于 k 的概 率为 P, . 试问该课题研究小组是否会接受该模型. 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 参考公式和数据: , ; 若 , 有 , . 2 2× ( )2,N µ σ µ σ µ ( 1,2,3,4,5)ix i = 3ix σ≥ 2 3ixσ σ< < ( )2,N µ σ ( 3 , 2 ) ( 2 , 3 )µ σ µ σ µ σ µ σ− − ∪ + + 0.003P ≤ ( )2P K k≥ k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 5 40.8 0.894, 0.9 0.949,0.957 0.803,43 0.957 36≈ ≈ ≈ × ≈ 3 343 43 0.957 1.62 10× × ≈ × ( )2~ ,X N µ σ ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− < < + ≈ ( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− < < + ≈7 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 E 顶点在坐标原点,焦点为 .以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极 轴建立极坐标系. (Ⅰ)求抛物线 E 的极坐标方程; (Ⅱ)过点 倾斜角为 的直线 l 交 E 于 M,N 两点,若 ,求 . 23.(10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 , . (Ⅰ)当 时,求不等式 的解集; (Ⅱ)求证: . NCS20200707 项目第二次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A D B D C D B B C D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 14. 15. 16.①③ 三。解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 题-21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22 题、23 题为选考题,考生根据要求作答。 ( )1,0 ( )3,2A α 2AN AM= tanα ( ) 1 af x ax xx x = − + − ( ) ( )2 2g x x a x a R= − − − ∈ 1a = ( ) ( ) 3f x g x< + ( ) ( )f x g x≥ 1− 15 72−8 17.【解析】(I)①由 ,得 ,即 ; ②由 , , 成等比数列,得 , ,即 ﹔ ③由 ,得 ,即 ; (每个条件转化 1.5 分) 选择①②、①③、②③条件组合,均得 、 ,即 ﹔ 6 分 (Ⅱ) , , 两式相减得: , 9 分 得 12 分 18.【解析】(Ⅰ) 中, , , ,得 , 2 分 则 ,即 , 4 分 而 ,故 平面 , 又 面 ABCD,所以平面 平面 ABCD. 6 分 (Ⅱ)取 BD 的中点 O,由于 ,所以 , ( )10 105 1S a= + ( )1 1 10 910 5 9 12a d a d ×+ = + + 1 1a = 1a 2a 6a 2 2 1 6a a a= 2 2 2 1 1 1 12 5a a d d a a d+ + = + 13d a= 5 35S = ( )1 5 3 5 5 352 a a a + = = 3 1 2 7a a d= + = 1 3a = 3d = 3 2na n= − 2 3 4 1 4 7 10 3 2 2 2 2 2 2n n nT −= + + + + + 2 3 4 5 1 1 1 4 7 10 3 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n nT + − −= + + + + + + 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 3 232 2 2 2 2 2 2n n n nT + − = + + + + + −   2 3 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 2 3 41 3 1 3 1 42 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n n n nT − − − − +   = + + + + + − = + − − = −       ABD 4AB = 2AD = 60DAB∠ = ° 2 3BD = 2 2 2AD BD AB+ = AD BD⊥ 1 1,AD D D BD D D D⊥ ∩ = AD ⊥ 1 1D DBB AD ⊂ 1 1D DBB ⊥ 1 1D D D B= 1D O BD=9 由(Ⅰ)可知平面 面 ABCD,故 面 ABCD. 由等腰梯形知识可得 ,则 . 8 分 以 O 为原点,分别以 为 的非负半轴建立空间直角坐标系, 则 , 则 设平面 的法向量为 ,则 , 令 ,则 ,有 , 所以, , 即直线 AB 与平面 所成角的正弦值为 . 12 分 19.【解析】(1)设 , 由 ,知 , 所以, ,得 ,即 , 即双曲线渐近线方程为 ; 5 分 1 1D DBB ⊥ 1D O ⊥ DC CB= CO BD⊥ 1, ,OB OC OD , ,x y z 1( 3, 2,0), ( 3,0,0), (0,1,0), ( 3,0,0), (0,0,1)A B C D D− − − 1 1(2 3,2,0), ( 3,0,1), ( 3,1,0)AB BB DD BC= = = = −    1B BC ( , , )n x y z= 1 1 1 0 3 0 0 3 0 n BB x z n BC x y  ⋅ = + = ⇒ ⋅ = − + =      1x = 3, 3y z= = − (1, 3, 3)n = − | | 2 3 2 3 0 21sin | cos , | 7| | | | 7 4 n ABn AB n AB θ ⋅ + += < > = = = ⋅ ×   1 1A D DA 21 7 ( )1 2 0 0( ,0), ( ,0), ,A a A a M x y− 2 2 0 0 2 2 1x y a b − = ( )2 2 2 2 0 02 by x aa = − 1 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 1 9MA MA y y yk k x a x a x a ⋅ = ⋅ = =+ − − 2 2 1 9 b a = 1 3 b a = 1 3y x= ±10 (Ⅱ)由 , 6 分 设 ,则 PM 方程为 , 由 ,得 ; 由 ,得 7 分 由渐近线性质,得 , , 同理可得, , 9 分 由 是平行四边形,知 , 所以, , 即 所以,存在符合题意的椭圆,其方程为 . 12 分 20.【解析】(I)由 ,知 1 分 ①当 时,定义域为 得 , 得 ; 2 2 2 2 2 2 3 13 9 x ye m n n n = ⇒ = ⇒ + = ( )0 0,P x y ( )0 0 1 3y x x y= − − + ( )0 0 1 3 3 y x x y xy  = − − +  = 0 03 2M y xx += ( )0 0 1 3 3 y x x y xy  = − +  = − 0 03 2M y xx − += 3 10 Mx OM = 0 010 310 3 3 2 Mx y xOM += = 0 010 310 3 3 2 Nx y xON − += = OMPN 2 2 2 2PM PN OM ON+ = + 2 2 2 2 2 2 0 0910 9 2 y xPM PN OM ON ++ = + = ⋅ 2 2 2 20 0 5 9 5 59 9 xn x n   = − + = =     2 1n = 2 2 19 x y+ = 2( ) lnf x x ax e = + ( ) ln 1 ln( )f x ax aex′ = + = 0a > (0, ), ( ) 0f x′+∞ > 1x ae > ( ) 0f x′ < 10 x ae < 1x ae < ( ) 0f x′ < 1 0xae < < 0a > 1 ,ae  +∞   10, ae      0a < 1, ae  −∞   1 ,0ae      2( ) ln ag x x ax ee −= + − 0a > ( )g x 10, ae      1 ,ae  +∞   , ln ,t tx e x x te t= = → −∞ | | | |e 0e t t tt = − → 20, ( ) ee ax g x −→ → − , ( ) 0x g x→ +∞ > min 1 1 2( ) ee e e ag x g a a − = = − + −   ( )g x 2 0 1 2 0 a a ee eae e − −  − > − + − − 1 2( ) xh x eex e −= − + − 2 1( ) 0xh x eex ′ −∴ = + > ( )h x (0, )+∞ (1) 0h = ( ) 0h x < (0,1)x∈ 1 2 0aeae e −− + − < (0,1)a∈ (1 ln 2,1)a∈ −12 21.【解析】(I)由表可得 男同学 女同学 总计 该次大赛得满分 10 14 24 该次大赛未得满分 15 11 26 总计 25 25 50 2 分 所以, 所以没有 90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关; 4 分 (Ⅱ)可得 ; 6 分 由题知 ,而 , 故不存在 7 分 知满足 的 i 的个数为 3,即 当 9 分 设 从 服 从 正 态 分 布 的 总 体 ( 个 体 数 无 穷 大 ) 中 任 意 取 5 个 个 体 , 其 中 值 属 于 的 个 体 数 为 Y , 则 , 所 以 , ,综上,第②种情况 出现,所以该小组不会接受该模型. 12 分 22.【解析】(Ⅰ)由题意抛物线 E 的焦点为 ,所以标准方程为 , 故极坐标方程为 ﹔ 2 2 50 (10 11 14 15) 1.282 2.70624 26 25 25K × × − ×= ≈ 2AN AM= 2 12t t= − 2 1 2 1 2 82 sint tt α= − = −⋅ 1 2 2 sin 2 sin t t α α  =  = − 1 2 2 sin 4 sin t t α α  = −  = 1 2 2 4sin 4cos 2 sin sint t α α α α − ++ = = − tan 2α = 1 2 2 4sin 4cos 2 sin sint t α α α α − ++ = = 2tan 3 α = tan 2α = 2tan 3 α = 1a = 12 3x x − < 2 2 44 8 9x x − + < 4 24 17 4 0x x− + < 21 44 x< < 12 2x− < < − 1 22 x< < 1 12, ,22 2    − −       ( ) 1 1 11a af x ax x ax x a xx x x x x    = − + − ≥ − − − = − +       11 2 1a x ax  = − + ≥ −   14 又 , 所以,不等式 得证. 10 分 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1g x x a x x a x a= − − − ≤ − − − = − ( ) ( )f x g x≥

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