2019-2020 学年度第二学期期中学业水平检测
高二数学
本试卷 6 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条
形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一
项是符合题目要求的。
1．某物体的运动方程为 ，其中位移 的单位是米，时间 的单位是秒，那么该
物体
在 秒末的瞬时速度大小是（ ）
A． 米/秒 B． 米/秒 C． 米/秒 D． 米/秒
2．命题“函数 是偶函数”的否定可表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．在下列区间上函数 单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．若复数 ， 为虚数单位，则“ ”是“ 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数 的图象如图所示，则 可以为（ ）
21 2 2s t t= − + s t
3
9 10 12 13
( )( )y f x x M= ∈
, ( ) ( )x M f x f x∀ ∈ − ≠ 0 0 0, ( ) ( )x M f x f x∃ ∈ − ≠
, ( ) ( )x M f x f x∀ ∈ − = 0 0 0, ( ) ( )x M f x f x∃ ∈ − =
( ) ln 2020f x x x= +
),1( +∞
e ),( +∞e ),0( e )1,0( e
2 2021( 1) iz a a= − + ( R)a∈ i 1=a z
( )f x ( )f x xO
y0.00040
1000 2000 3000 4000 5000O
0.00006
a
0.00030
频率 / 组距
经济损失 / 元
A． B．
C． D．
6．分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有
“ 点
或正面向上”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损
失，
现将 地区 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．估算月经济损失的平
均数
为 ，中位数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在直角坐标系中，曲线 与圆 的公共点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．随机变量 服从正态分布 ，则下述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若复数 满足 （其中 是虚数单位），复数 的共轭复数为 ，则（ ）
A． B． 的实部是
C． 的虚部是 D．复数 在复平面内对应的点在第一象限
| |
3( ) x
xf ex = ( ) x x
xf x e e−= −
( ) x
xf x e
= | |( ) xf x xe=
1
5
12
1
2
7
12
2
3
A 200
m n m n− =
100 150 180 200
xy e x= − 2 2 1x y+ =
1 2 3 2020
X 2N(90,5 )
90)( =XE 5)( =XD
)80()100( XPXP )100()100( > XPXP
z (1 i) 3 iz+ = + i z z
| | 5z = z 2
z i− z2017 2018 2019
11．某市坚持农业与旅游融合发展，着力做好旅游各要素，完善旅游业态，提升旅游接待能
力。为了给游客提供更好的服务，旅游部门需要了解游客人数的变化规律，收集并整理
了 年 月至 年 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的
折线图．
根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
12．关于 的方程 在 上有 个解．则实数 可以等于（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知 （其中 是虚数单位， ），则 ．
14．若“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ．
15．已知 是 的导函数（ ）， ，则
．
16 ． 若 函 数 在 区 间 上 不 是 单 调 函 数 ， 则 实 数 的 取 值 范 围
2017 1 2019 12
x sin cos 0( R)x x x a a+ − = ∈ (0, )π 2 a
1 2 2 3
2
3 i ( i)i2 i x y
+ = ++ i , Rx y ∈ x y+ =
0 (0, )x∃ ∈ +∞ 2 1x xλ > + λ
( )f x′ ( )f x ( ) 0f x′ ≠ *(1)( ) , N3
nff x x n
′= ∈
n =
( ) lnf x x a x= + (0, )+∞ a是 ．
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
如图，已知长方形 的周长为 ，其中点 分别为 的中点，将平面
沿直线 向上折起使得平面 平面 ，连接 ，得到三棱柱
．设 ，记三棱柱 体积为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的最大值．
18．（12 分）
已知函数 恒过定点 ．
（1）当 时，求 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 在 上的最小值．
19．（12 分）
已知函数 ， ．
（1）当 时，证明： 在 上单调递增；
（2）当 时，讨论 的极值点．
20．（12 分）
ABCD 8 ,E F ,BC AD
ECDF EF CDFE ⊥ ABEF ,AD BC
ADF BCE− )2,0(, ∈= xxBE ADF BCE− ( )f x
)(xf
)(xf
( ) ln ( R)f x a x x a= − ∈ A
1−=a )(xf A
2=a )(xf ],1[ e
bxxaexf x −−−= sin1)( R, ∈ba
1,0 == ab )(xf [0, )+∞
0=a )(xf
A
B C
D
E
F数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学．在人类历史发展和社
会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工
具．
（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取 名大学生进行问卷调查，当被
调查者问卷评分不低于 分则认为其喜欢数学命题，当评分低于 分则认为其不喜欢
数学命题，问卷评分的茎叶图如下：
依据上述数据制成如下列联表：
请问是否有 的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？
参考公式及数据： ．
（ 2 ） 在 某 次 命 题 大 赛 中 ， 同 学 要 进 行 轮 命 题 ， 其 在 每 轮 命 题 成 功 的 概 率 均 为
，
各轮命题相互独立，若该同学在 轮命题中恰有 次成功的概率为 ，记该同学在 轮
命题
中的成功次数为 ，求 ．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
喜欢数学命题人数 不喜欢数学命题人数 总计
女生
男生
总计
50
80 80
90%
dcbandbcadcba
bcadnK +++=++++
−= ,))()()((
)( 2
2
2
0( )P K k≥
0k
A 3
(0 1)p p< <
3 2 4
9 3
X ( )E X
a b ba +
c d dc +
ca + db + dcba +++
1 2 2 3 3 4 7 8 8 8 8 9 8
女生的问卷评分 男生的问卷评分
9 9 8 8 7 7 7 6 5 5 5 5 4 3 3 2 2 2 1 1
1 2 3 5 5 6 7 7 78 6 6 6 6 5 5 4 3 2 21．（12 分）
近期，某超市针对一款饮料推出刷脸支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推
广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用刷脸支付．该超市统计了活动刚推出一周
内每一天使用刷脸支付的人次，用 表示活动推出的天数， 表示每天使用刷脸支付的人次，
统计数据如下表 所示：
（1）在推广期内， 与 （ 均为大于零的常数）哪一个适宜作为刷脸
支付的人次 关于活动推出天数 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表 中的数据，求 关于 的回归方程，并预测活动推出第 天
使用刷脸支付的人次；
（3）已知一瓶该饮料的售价为 元，顾客的支付方式有三种：现金支付、扫码支付和刷脸支
付，其中有 使用现金支付，使用现金支付的顾客无优惠；有 使用扫码支付，
使用扫码支付享受 折优惠；有 使用刷脸支付，根据统计结果得知，使用刷脸支付
的顾客，享受 折优惠的概率为 ，享受 折优惠的概率为 ，享受 折优惠的概率为
．根据所给数据估计购买一 瓶该饮料的平
均花费．
参 考 数 据 : 其 中 ，
参考公式: 对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截
距的最小二乘估计公式分别为: ．
22．（12 分）
已知函数 ， ．
（1）若 ，证明： ；
（2）若 ， 有且只有 个零点，求实数 的取值范围；
（3）若 ， ， ，求正整数 的最小值．
x y
1
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 10 18 32 56 100 178
y a bx= + xy c d= ⋅ ,c d
y x
1 y x 8
2
10% 40%
8 50%
7 1
6 8 1
3 9
1
2
1i iv g y= 7
1
1
7 i
i
v v
=
= ∑
1 1 2 2( , ),( , ), ,( , )n nx v x v x v ˆˆ ˆv a bx= +
1
22
1
ˆ ,
n
i i
i
n
i
i
x v nxv
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
ˆˆa v bx= −
2( ) ln ( 1)f x x mx n x= − − − , Rm n∈
0, 1m n= = ( ) 0f x ≤
0n = ( )f x 2 m
0n = *Nm∈ 21( ) ( 1) 12f x m x mx≤ − − − m
v
7
1
i i
i
x v
=
∑ 0.510
1.5 49 3.22019-2020 学年度第二学期期中学业水平检测高二数学参考
答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1-8： B B D A A C C A
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9．AC； 10．ABD； 11．BCD； 12．CD．
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． ； 14． ； 15． ； 16． ．
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
解：（1）由题知： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
因为 ，长方形 的周长为 ，
所以 ，
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由（1）知： ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
所以令 ,解得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
当 在 单调递增；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
当 在 单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
18．（12 分）
解：（1）由题知： 所以定点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
若 ， ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以 在点 处的切线方程： ，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）若 ， ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
令 ,解得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
当 在 单调递增 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
当 在 单调递减 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
又因为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以 的最小值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19．（12 分）
解：（1）由题知： ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
8
5
− 2λ ≤ 3 ( ,0)−∞
( ) ADF BCE BCEf x V S AB− ∆= = ×三棱柱
2BC x= ABCD 8
4 2AB x= − 21 1
2 2BCES BE CE x∆ = ⋅ =
2 2 31( ) (4 2 ) 22f x x x x x= − = − (0,2)x∈
2 4( ) 4 3 3 ( )3f x x x x x′ = − = − − (0,2)x∈
( ) 0f x′ = 4
3x =
4(0, ), ( ) 0, ( )3x f x f x′∈ > 4(0, )3
)(,0)(),2,3
4( xfxfx )2,1(
(2, ), ( ) 0, ( )x e f x f x′∈ < ),2( e
1)1( −=f 12)( −>−= eef
)(xf (1)f = 1−
xexf x sin1)( −−= xexf x cos)( −=′因为 ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
又因为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以
所以 在 上单调递增∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由题知： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
若 ，则 在 上单调递增， 无极值点 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
若 ，由 ，解得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
当 时， ， 在上单调递减∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
当 时， ， 在上单调递增∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以 的极小值点为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
综上，当 时， 无极值点；当 时， 有一个极小值点，无极大值点
20．（12 分）
解：（1）由题知： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
则 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
所以没有 的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由题知： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
依据二项分布知： ,所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
令
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
当 在 单调递减；
当 在 单调递增；
因此 ，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21．（12 分）
解：（1）根据散点图判断，
适宜作为扫码支付的人数 关于活动推出天数 的回归方程类型 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
（2）因为 ，两边同时取常用对数得： ，
设 所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
因为
0≥x 1≥xe
1cos ≤x
0cos)( ≥−=′ xexf x
)(xf [0, )+∞
bxexf x −−= 1)(
bexf x −=′ )(
0≤b )(,0)( xfxf ≥′ ),( +∞−∞ ( )f x
0>b 0)( =′ xf bx ln=
)ln,( bx −∞∈ 0)( ′ xf )(xf
)(xf bx ln=
0b ≤ ( )f x 0b > ( )f x
12, 8, 20, 10a b c d= = = =
2
2 50 120 160) 25= 1 2.70620 30 32 18 108k
−= < 1 1( ) 1 ( 0)xf x xx x
−′ = − = >
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1)
(1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )+∞
( ) (1) 0f x f≤ =
21 1 2( ) 2 ( 0)mxf x mx xx x
−′ = − = >
0m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 2
0m > ( ) 0f x′ = 1
2x m
=
1(0, )2x m
∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 1(0, )2m
1( , )2x m
∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1( , )2m
+∞所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
若 只有 个零点，则 ，解得： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
由（1）知： ，所以 ，令 ，
解得： 或
所以，存在 ，满足 ；
存在 ，满足 ；
所以 在 和 上个恰有 个零点，符合题意
综上，所求实数 的取值范围为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
（3）令 ，
所以 ，
当 时，因为 ，所以 所以 在 上是递增函数，
又因为 ，
所以关于 的不等式 不能恒成立 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
当 时， ．
令 ，得 ，所以当 时， ，当 时，
．
因此函数 在 上是增函数，在 是减函数，
所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
令 ，因为 ，
又因为 在 上是减函数，所以当 时， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以整数 的最小值为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
1 1 1( ) ( ) ln2 2 2f x f m m
≤ = −
( )f x 2 1 1 1( ) ln 02 2 2f m m
= − > 10 2m e
< <
ln 1x x≤ − 2( ) 1f x x mx≤ − − 21 0x mx− − <
1 1 40 2
mx m
− −< < 1 1 4
2
mx m
+ −>
1 1 4 1(0, ) (0, )2 2
m
m m
α − −∈ ( ) 0f α <
1 1 4 1( ,+ ) ( , )2 2
m
m m
β − −∈ ∞ +∞ ( ) 0f β <
( )f x 1( , )2m
α 1( , )2m
β 1
m 1(0, )2e
2 21 1( ) ( ) ( 1) 1 ln (1 ) 12 2g x f x m x mx x mx m x= − − + + = − + − +
21 (1 ) 1( ) (1 ) ( 0)mx m xg x mx m xx x
− + − +′ = − + − = >
0m ≤ 0x > ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞
1 3(1) ln1 (1 ) 1 2 02 2g m m m= − + − + = − + >
x 21( ) ( 1) 12f x m x mx≤ − − −
0m >
2
1( )( 1)(1 ) 1( )
m x xmx m x mg x x x
− +− + − +′ = = −
( ) 0g x′ = 1x m
= 1(0, )x m
∈ ( ) 0g x′ > 1( , )x m
∈ +∞
( ) 0g x′ <
( )g x 1(0, )m
1( , )m
+∞
21 1 1 1 1 1( ) ( ) ln ( ) (1 ) 1 ln2 2g x g m m mm m m m m
≤ = − × + − × + = −
1( ) ln2h m mm
= − 1(1) 02h = > 1(2) ln 2 04h = − <
( )h m (0, )+∞ 2m ≥ ( ) 0h m <
m 2
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