2019-2020 学年辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高二（上）
期中数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题中，只有一项是符合题目
要求的.）
1. 是虚数单位，复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析： .
考点：复数的四则运算.
2. 在 上可导，则 是函数 在点 处有极值的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求 f′（x0）＝0 外，还要求在两侧有单
调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立．
【详解】若函数在 x0 取得极值，由定义可知 f′（x0）＝0
反之 如 y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但 x＝0 不是函数的极值点．
所以 f′（x0）＝0 是 x0 为函数 y＝f（x）的极值点的必要不充分条件
故选 B．
【点睛】本题主要考查充分必要条件，极值的定义，注意函数取得极值的条件：函数在 x0 处
取得极值⇔f′（x0）＝0，且 f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜0，是基础题
3. 有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然
是错误的，是因为（ ）
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误
【答案】C
【解析】
∵大前提“有些有理数是真分数”与小前提“整数是有理数”都正确，∴该推理形式错误，
故选 C
4.已知曲线 ，其中 ，则该曲线与坐标轴围成 面积等于（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形 对称性,只需求出 上的定积分,再乘以 3 即可得到答案.
【详解】解：根据图形的对称性，可得曲线 ， ，与坐标轴围成的面积
.
故选:D.
【点睛】本题考查了定积分的计算,属于基础题.
5.如果 是 的共轭复数，则 对应的向量 的模是（ ）
A. 1 B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
求出复数 对应的向量的坐标后,利用模长公式计算可得答案.
【详解】解：由题意， ，
∴ 对应的向量 的坐标为 ，其模为 .
故选:D.
【点睛】本题考查了求复数的共轭复数以及其对应的向量的模长的计算,属于基础题.
6.若函数 y＝a(x3－x)的递减区间为 ，则 a 的取值范围是( )
A. a＞0 B. －1＜a＜0
的
的C. a＞1 D. 0＜a＜1
【答案】A
【解析】
【分析】
先对函数求导，由函数的递减区间为 ，可得 y′＜0 的范围为 ，即可得
a 的范围．
【详解】函数 y=a（x3﹣x），求导可得，y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣ ）（x+ ），
由函数的递减区间为 ，
可得 y′=a（3x2﹣1）=3a（x﹣ ）（x+ ）＜0 的范围为 ，所以 a＞0，
故选 A．
【点睛】本题主要考查了有函数的单调性求参数的范围问题，利用了函数的单调性与函数
的导数关系，属于基础题．
7.定义 ， ， ， 的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，
， 对应的运算是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
分析：不同的运算形式与其对应的图形之间都有共同之处，比如 都有 运算，
而图形都有正方形，故 运算对应作正方形， 对应作横线， 对应作竖线，其余类似处理.
详解： 都有 运算，而图形都有正方形，故 运算对应作正方形， 对应作横线，
对应作竖线； 都有 运算，而图形都有圆，故 运算对应作圆.所以 对应 运的算是 ， 对应的运算是 ，故选 A.
点睛：本题考察类比推理，此类问题往往是两类对象在某些方面有相似的特点，所以它
们也应该有相似的性质，注意类比推理得到的结果不一定正确.
8.函数 的定义域为 ，其导函数 在 的图象如图所示，则函数 在 内
的极小值点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据极小值点存在的条件，可以判断出函数 的极小值的个数．
【详解】根据极小值点存在的条件，① ②在 的左侧 ，在 的
右侧 ，可以判断出函数 的极小值点共有 1 个，故选 C．
【点睛】本题主要考查函数图象的应用以及利用导数判断极值点．
9.给出下列四个命题：
（1）任意两个复数都不能比较大小；（2） 为实数 为实数；（3）虚轴上的点对应的
复数都是纯虚数；（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据虚数不能比较大小可知(1)不正确;根据两个共轭虚数的积为实数可知(2)不正确;根据原
点在虚轴上可知(3)不正确;(4)正确.
【详解】解：（1）因为两个复数都是实数时，可以比较大小.所以（1）不正确；
（2）举反例,当 ， ， ，所以（2）不正确；
（3）坐标原点在虚轴上,但原点对应的复数是实数，所以（3）不正确；（4）复数集与复平面内的所有点所成的集合是一一对应的.正确.
所以正确命题的个数是：1 个.
故选:A
【点睛】本题考查了复数的有关概念,属于基础题.
10.已知函数 ， ，若 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为函数 ，所以 ．
令 f′（x）=0 得 x=0 或 x=3，经检验知 x=3 是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为 f
（3）=3m- ．
不等式 f（x）+9≥0 恒成立，即 f（x）≥-9 恒成立，所以 3m- ≥-9，解得 m≥
考点：函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值
11.用数学归纳法证明： ，由 到 ，
不等式左端变化的是（ ）
A. 增加 一项
B. 增加 和 两项
C. 增加 和 两项，同时减少 一项
D. 增加 一项，同时减少 一项
【答案】C
【解析】
【分析】
写出 和 时,不等式左端的式子,比较可知,选项 正确.
【详解】解：当 时，左端 ，
那么当 时，左端 ，故第二步由 到 时不等式左端的变化是增加了增加 和 两项，同时减少 一项，
故选:C.
【点睛】本题考查了数学归纳法,属于基础题.
12.已知函数 f(x)= ,下列结论中错误的是
A. , f( )=0
B. 函数 y=f(x)的图像是中心对称图形
C. 若 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D. 若 是 f（x）的极值点，则 ( )=0
【答案】C
【解析】
试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当 x→－∞时，函数值→－∞，当 x→＋∞时，
函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过 x 轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝
0，选项 A 中的结论正确；函数 f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)
＋h 的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为 y＝x3＋nx 的形式，这是一个奇函数，
其图象关于坐标原点对称，故函数 f(x)的图象是中心对称图形，选项 B 中的结论正确；由于
三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点 x1，x2，则极小值点 x2＞x1，即函数在
－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项 C 中的结论错误；根据导数与极值的
关系，显然选项 D 中的结论正确.
考点：函数的零点、对称性、单调性、极值．
二、填空题（共 4 道题，每题 5 分共 20 分，把正确答案填在答题纸的横线上）
13.设复数 满足 ( 为虚数单位)，则 等于___ _____．
【答案】
【解析】
试题分析：由复数 满足 ，
故可知答案为 1+3i
考点：复数的代数乘除法运算
点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题．
14.已知函数 在 上有两个极值点，则实数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可通过函数 的解析式得出函数 的导函数，然后对 、 以及 三
种情况进行分类讨论，通过函数的单调性即可判断出函数的极值，最后得出结果．
【详解】因为 ，所以 ，
①当 时， ，函数 恒为增函数，无极值点；
②当 时， ，函数 恒为增函数，无极值点；
③当 时， ，解得 或 ， 为增函数；
，解得 ， 为减函数，此时函数 有两个极值点，
综上所述，实数 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了导数的相关性质，通过函数的单调性确定函数的极值是解决本题的关键，
考查通过导数确定函数单调性，考查推理能力，是简单题．
15.已知函数 是定义在 上的奇函数， ， ，则不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】
试题分析： ，因为 ，所以 ，所以 h（x）
在区间 ，因为 ，所以 h（1）=0.令 h（x）>0，因为 x>0,所以
，得 x>1． 等价于 ，因为函数 是定义在 上的奇函数，所以
-10，从而当 时，f(x)取得最
小值．
由 f '(x0)=0 得 = ， ，
故 ．
综上，当 m≤2 时， f(x)>0．
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