湖南省茶陵县第三中学2019-2020高一数学下学期第二次月考试题(Word版含答案)
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湖南省茶陵县第三中学2019-2020高一数学下学期第二次月考试题(Word版含答案)

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资料简介
绝密★启用前 茶陵县第三中学 5 月份考试 考试范围:必修一、二、四;考试时间:120 分钟 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 的值等于( ) A. B. C. D. 3.函数 的定义域是( ) A. B. C. D. 4.若直线 x+(1+m)y-2=0 与直线 mx+2y+4=0 平行,则 m 的值是( ) A.1 B.-2 C.1 或-2 D. 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A. B. C. D. 6.函数 的图象是由函数 的图象向右平 移 个单位长度后得到,则下列是函数 的图象的对称轴方程的为( ) A. B. C. D. 7.已知 , ,则 ( ) A. B. C. D. 8.在如图所示中,二次函数 与指数函数 的图象只可为( ) { }1,5A = { }1,5,7B = − BA∩ { }7,5,1 { }7,5,1,1− { }5 { }5,1 sin150° 1 2 1 2 − 3 2 3 2 − lg( 1)( ) 1 xf x x += − ( 1, )− +∞ [ 1, )− +∞ ( 1,1) (1, )− +∞ [ 1,1) (1, )− +∞ 3 2 − 1616 3 π − 3216 3 π − 168 3 π − 328 3 π − ( ) sin 2f x x= ( ) ( )( )cos 2 0g x x ϕ ϕ π= − ≤ ≤ 6 π ( )y g x= 12x π= 6x π= 3x π= 0x = tan 2θ = − 3 ,22 πθ π ∈   cosθ = 5 5 2 5 5 5 5 − 5 5 ± 2y ax bx= + xay b  =   A. B. C. D. 9.函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点 x0 所在区间是(  ) A. B. C. D. 10.圆 x2+y2-2x-8=0 和圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的公共弦所在的直线方程是(  ) A.x+y+1=0 B.x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x-y-3=0 11.函数 的图象的一条对称轴方程为( ) A. B. C. D. 12.已知函数 ,若函数 有 3 个零点,则实数 的取值范围是( ) A. , B. , C. , D. , 二、填空题 13.函数 的定义域是_______________. 14.设 , , , ,则 的大小关系是 (从小到大排列) 15.函数 的单调递增区间是_______________. 16.设 , ,点 P 在 x 轴上,使得 取到最小值时的点 P 坐标 为______. 三、解答题 17.计算: (1) (2)已知 ,求 值. ( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 3sin 2 6y x π = −   6x π= 2x π= 2 3x π= 5 6x π= 3 2 , 0( ) , 0 x x xf x lnx x  −= − >  ( ) ( )g x f x x a= − − a [0 2) [0 1) (−∞ 2] (−∞ 1] 1 tan( )3 4y x π= − 20.3a = 0.32b = 2log 5c = 2log 0.3d = a b c d, ,, 1sin , [ 2 ,2 ]2 3y x x π π π = + ∈ −   ( )3,1A − ( )2,4B PA PB+ ( ) ( )eeIn+++−+× 100 1lg25.6log102482 25 025.04 tan 2α = 5cos cos(2 )2 sin( ) cos( ) π πα α απ α − + −   − + − −18.在平面直角坐标系中, 的顶点分别为 . (1)求 外接圆 的方程; (2)若直线 经过点 ,且与圆 相交所得的弦长为 ,求直线 的方程. 19.多面体 中,平面 ∥平面 , ∥ , 平面 , 为直角梯形, , . (1)求证:直线 平面 ; (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.扎比瓦卡是 2018 年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物,该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝 本.扎比瓦卡,俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为 15000 元,每生产 一件“扎比瓦卡”需要增加投入 20 元,根据初步测算,每个销售价格满足函数 ,其中 x 是“扎比瓦卡”的月产量(每月全部售 完). (1)将利润 表示为月产量 的函数; (2)当月产量为何值时,该厂所获利润最大?最大利润是多少?(总收益=总成本+利 润). ABC∆ ( ) ( ) ( )1 2 , 1 4 , 3 2A B C− , , , ABC∆ M l (0,4) M 2 3 l ABCDEF ABC DEF AE CD AE ⊥ ABC AEFB AB BC⊥ 2 2AB BC AE EF= = = AF ⊥ BCF CF ACDE 1320 ,0 450, N2( ) 45000 , 450, N x x x P x x xx  − ≤ ≤ ∈=   > ∈ ( )f x x21.已知函数 = 的部分图象如图所示. (1)求 的值; (2)求 的单调增区间; (3)求 在区间 上的最大值和最小值. 22.已知 为正数,函数 . (Ⅰ)解不等式 ; (Ⅱ)若对任意的实数 总存在 ,使得 对任 意 恒成立,求实数 的最小值. ( )f x πsin ( 0, 0)6A x Aω ω + > >   ,A ω ( )f x ( )f x π π,6 4  −   a ( ) ( )2 2 2 2 2 1 3 1, log log2 4 4f x ax x g x x x= − − = − + ( ) 1 2g x ≤ − ,t [ ]1 2, 1, 1x x t t∈ − + ( ) ( ) ( )1 2f x f x g x− ≥ [ ]2,4x∈ a参考答案 1.C 2.A 【解析】 【分析】 利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】 解: 故选: 【点睛】 本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值的应用,属于基础题. 3.C 【解析】 试题分析:分母不等于零,对数真数大于零,所以 ,解得 . 考点:定义域. 4.A 【解析】 【分析】 分类讨论直线 的斜率情况,然后根据两直线平行的充要条件求解即可得 到所求. 【详解】 ①当 时,两直线分别为 和 ,此时两直线相交,不合题意. ②当 时,两直线的斜率都存在,由直线平行可得 ,解得 . 综上可得 . 故选 A. ( ) 1sin150 sin 90 60 cos60 2 ° ° ° °= + = = A 1 0{ 1 0 x x + > − ≠ ( 1,1) (1, )x∈ − ∪ +∞ ( )1 2 0x m y+ + − = 1m = − 2 0x − = 2 4 0x y− − = 1m ≠ − 1 1 2 2 21 m m m − = − +  ≠ − + 1m = 1m =【点睛】 本题考查两直线平行的等价条件,解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论.也 可利用以下结论求解:若 ,则 且 或 且 . 5.D 【解析】 【分析】 由三视图可知:该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥. 【详解】 解:由三视图可知:该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥. ∴该几何体的体积 . 故选 D. 【点睛】 本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 6.A 【解析】 【分析】 根据图象的平移法则可得 ,可得 , ,根据 的范围可得 ,再根据余弦函数的对称轴可得出所有对称轴,从而可得答案. 【详解】 函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 , 根据题意可得 , 所以 , ,所以 , , 又 ,所以 , 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C+ + = + + = 1 2l l ⇔ 1 2 2 1A B A B= 1 2 2 1BC BC≠ 1 2 2 1A B A B= 1 2 2 1AC A C≠ 2 21 12 4 4 22 3V π= × × × − × × 328 3 π= − cos(2 ) sin 23x x π ϕ− − = 23 2k π πϕ π+ = + k Z∈ ϕ 6 π=ϕ ( ) ( )( )cos 2 0g x x ϕ ϕ π= − ≤ ≤ 6 π cos[2( ) ]6y x π ϕ= − − cos(2 )3x π ϕ= − − cos(2 ) sin 23x x π ϕ− − = 23 2k π πϕ π+ = + k Z∈ 2 6k πϕ π= + k Z∈ 0 ϕ π≤ ≤ 6 π=ϕ所以 , 由 , , 得 的对称轴为: , , 时,对称轴是: , 故选:A 【点睛】 本题考查了三角函数的图象的平移变换,考查了诱导公式,考查了余弦函数的对称轴,属于 中档题. 7.A 【解析】 【分析】 由 可得 ,然后结合 可解出答案. 【详解】 因为 ,所以 因为 ,所以可得 因为 ,所以 故选:A 【点睛】 本题考查的是三角函数同角的基本关系,较简单. 8.C 【解析】 【分析】 指数函数 可知 , 同号且不相等,再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出 结论. 【详解】 ( ) cos(2 )6g x x π= − 2 6x k π π− = k Z∈ ( )g x 2 12 kx π π= + k Z∈ 0k = 12x π= tan 2θ = − sin 2cosθ θ= − 2 2sin cos 1θ θ+ = sintan 2cos θθ θ= = − sin 2cosθ θ= − 2 2sin cos 1θ θ+ = 2 1cos 5 θ = 3 ,22 πθ π ∈   cosθ = 5 5 xay b  =    a b根据指数函数 可知 , 同号且不相等,则二次函数 的对称轴 在 轴左侧,又 过坐标原点, 故选:C. 【点睛】 本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质,属于基础题. 9.C 【解析】 【分析】 判断函数是连续增函数,利用函数的领导品牌定理,从而得到函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点所 在的区间. 【详解】 ∵连续函数 f(x)=lnx+2x-6 是增函数,∴f(2)=ln2+4-6=ln2-2<0,f(3)=ln3>0, ∴f(2)•f(3)<0,故函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点所在的区间为(2,3), 故选:C. 【点睛】 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 10.C 【解析】 由于两圆的公共弦的端点是两圆的公共交点,既满足一个圆的方程,又满足另一个圆的方程, 把圆 和圆 的方程相减即得公共弦所在的直线方 程为 . 故选 C. 11.D 【解析】 【分析】 利用正弦函数的性质求解即可. 【详解】 xay b  =    a b 2y ax bx= + 02 bx a = − < y 2y ax bx= + 2 2 2 8 0x y x+ − − = 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − = 1 0x y− + =令 ,得 ,取 ,得 . 故选:D 【点睛】 本题主要考查了求正弦型函数的对称轴,属于基础题. 12.A 【解析】 【分析】 本道题先绘制 图像,然后将零点问题转化为交点问题,数形结合,计算 a 的范围,即 可. 【详解】 绘制出 的图像, 有 3 个零点,令 与 有三个交点, 则 介于 1 号和 2 号之间,2 号过原点,则 ,1 号与 相切,则 , ,代入 中,计算出 ,所以 a 的范围为 ,故选 A. 【点睛】 本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题,难度中等. ( )2 6 2x k k Z π ππ− = + ∈ 2 3 kx π π= + 1k = 5 6x π= ( )f x ( )f x ( )f x x a= + ( )h x x a= + ( )f x ( )h x 0a = ( )f x ( ) 2' 3 2 1, 1f x x x= − = = − 1y = ( )h x 2a = [ )0,213. 【解析】 【分析】 由 解不等式可得函数的定义域. 【详解】 解:由 , ,可解得 , , 函数 的定义域为 , 故答案为: 【点睛】 本题考查正切函数的定义域,属于基础题. 14. 【解析】 【分析】 由 0< < , < =2, < =0,能比较 的大小关系 【详解】 解: 0< < , < =2, < =0, , 故答案: . 【点睛】 本题考查对数值大小关系的比较,是基础题.解题时要认真审题仔细解答注意对数函数和指数 函数性质的灵活运用. 15. 3{ | , }4x x k k Z ππ≠ + ∈ 4 2x k π ππ− ≠ + ( )k Z∈ 4 2x k π ππ− ≠ + ( )k Z∈ 3 4x k ππ≠ + ( )k Z∈ ∴ 1 tan( )3 4y x π= − 3| ,4x x k k Z ππ ≠ + ∈   3| ,4x x k k Z ππ ≠ + ∈   d a b c< < < 20.3a = 00.3 1= 02 1= 0.32b = 2log 5c = 2log 4c = 2log 0.3d = 2log 1 a b c d, ,,  20.3a = 00.3 1= 02 1= 0.32b = 2log 5c = 2log 4c = 2log 0.3d = 2log 1 ∴ d a b c< < < d a b c< < < 5 ,3 3 π π −  【解析】 【分析】 求出函数 的所有定义域上的单调递增区间,即可分析出 的单 调递增区间. 【详解】 由 得 , 当 时,得 , ,且仅当 时符合题意, 所以函数 的单调递增区间是 , 故答案为 . 【点睛】 本题主要考查了正弦函数的单调性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 16. 【解析】 【分析】 求得 关于 轴的对称点 ,可知当 取最小值时, 为直线 与 轴交点;利 用两点式求得直线 方程,进而求得 点坐标. 【详解】 由题意得:点 关于 轴的对称点 (当且仅当 三点共线时取等号) 直线 的方程为: ,即 当 取最小值时, 为直线 与 轴交点 故答案为: 【点睛】 1sin 2 3y x π = +   [ 2 ,2 ]x π π∈ − 12 2 ( )2 2 3 2k x k k Z π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ 5 4 4 ( )3 3k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ 0k = 5 3 3x π π− ≤ ≤ 5 , [ 2 ,2 ]3 3 π π π π − ⊂ −   0k = 1sin , [ 2 ,2 ]2 3y x x π π π = + ∈ −   5 ,3 3 π π −   5 ,3 3 π π −   ( )2,0− A x A′ PA PB+ P A B′ x A B′ P ( )3,1A − x ( )3, 1A′ − − PA PB PA PB A B′ ′+ = + ≥ , ,A P B′ ∴ A B′ 1 3 4 1 2 3 y x+ +=+ + 2 0x y− + = ∴ PA PB+ P 2 0x y− + = x ( )2,0P∴ − ( )2,0−本题考查定直线上的点到两点距离之和的最小值的相关问题的求解,关键是能够利用对称性 确定最小值取得的情况,属于常考题型. 17.(1) ;(2)3 【解析】 【分析】 ( (2)先对原式化简,分子分母同时除以 cosα,即可转化为 tanα 的式子,代入 tanα 的值即可 算出结果. ; (2) . 【点睛】 本题考查运用诱导公式化简求值,考查计算能力,属于基础题. 18.(1) ;(2) 或 【解析】 【分析】 (1)先设圆 的方程为 ,根据圆 过 , , 三点,列出方程组,即可求出结果; (2)分直线 的斜率不存在与存在两种情况,分别用代数法联立直线与圆的方程,结合弦长 公式求解,即可得出结果. 【详解】 (1)设圆 的方程为 , 因为圆 过 三点, 所以有 ,解得 , , ∴ 外接圆 的方程为 , 5cos cos(2 ) 1 2 12 3sin( ) cos( ) 1 2 1 sin cos tan sin cos tan π α π α α α α α π α α α α  − + −  + + +  = = = =− + − − − − − 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = 0x = 3 4 16 0x y+ − = M 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = M ( )1 2A − , ( )1 4B , ( )3 2C , l M 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = M ( ) ( ) ( )1 2 , 1 4 , 3 2A B C− , , , 1 4 2 0 1 16 4 0 9 4 3 2 0 D E F D E F D E F + − + + =  + + + + =  + + + + = 2 4D E= − = −, 1F = ABC∆ M 2 2 2 4 1 0x y x y+ − − + =即 . (2)当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 , 联立 , 得 或 ,此时弦长为 ,满足题意; 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,即 , 由于圆心 到该直线的距离为 , 故 ,解得 , ∴直线 的方程为 ,即 . 综上可得,直线 的方程为 或 . 【点睛】 本题主要考查求圆的方程,以及已知弦长求直线方程的问题,通常需要联立直线与圆的方程, 结合弦长公式求解,属于常考题型. 19.(1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 (1)先利用面面垂直的性质证明 ,再证明 ,最后利用线面垂直的判定 定理可得直线 平面 .(2)先找出直线与平面所成的角,再构造直角三角形求解. 【详解】 (1)因为 平面 , 平面 , 所以平面 平面 . 又 ,平面 平面 , 所以 平面 . 又 平面 ,所以 . 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = l l 0x = 2 2 0 2 4 1 0 x x y x y =  + − − + = 0 2 3 x y = = − 0 2 3 x y = = + 2 3 l l 4y kx− = 4 0kx y− + = (1,2) 2 2 2 32 12  − =    2 | 2 4 | 1 1 k k − + = + 3 4k = − l 3 4 04 x y− − + = 3 4 16 0x y+ − = l 0x = 3 4 16 0x y+ − = 3 6 AF BC⊥ AF BF⊥ AF ⊥ BCF AE ⊥ ABC AE ⊂ AEFB AEFB ⊥ ABC BC AB⊥ AEFB ∩ ABC AB= BC ⊥ AEFB AF ⊂ AEFB BC AF⊥在直角梯形 中,由已知长度关系可得 , 因为 , , 平面 , 所以直线 平面 . (2)因为 平面 , 平面 , 所以平面 平面 . 又平面 ∥平面 ,所以平面 平面 . 过 作 于点 ,则 平面 . 连接 ,则 为 在平面 内的射影, 所以 为直线 与平面 所成的角. 设 ,则 , . 在直角三角形 中,有 , 所以 , 则 , 所以 , 所以 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】 AEFB AF BF⊥ BC BF B= BC BF ⊂ BCF AF ⊥ BCF AE ⊥ ABC AE ⊂ ACDE ACDE ⊥ ABC ABC DEF ACDE ⊥ DEF F FM DE⊥ M FM ⊥ ACDE CM CM CF ACDE FCM∠ CF ACDE AE EF a= = 2AB BC a= = 2 2AC a= EMF 2 2ME MF a= = 2 3 22 2 2 2DM a a a= − = 2 2 2 23 2 11 2 2CM a a a  = + =    2 2 2 211 1 62 2CF CM MF a a a= + = + = 2 32sin 66 aMFFCM CF a ∠ = = = CF ACDE 3 6本题考查空间中直线与平面的垂直关系以及直线与平面所成的角,主要考查考生的空间想象 能力和逻辑推理能力.高考对立体几何大题的考查一直是中等难度,主要考查空间中线面、面 面平行,线面、面面垂直的位置关系的判断,空间中距离、几何体体积的求解.几何体多以多 面体(棱柱、棱锥)为主,因此,复习中要掌握几种常见的棱柱和棱锥(三棱锥、四棱锥、 三棱柱、四棱柱)的性质特点,熟练掌握线面平行于垂直,面面平行于垂直的判定定理和性 质定理,并能在解题中熟练运用. 20.(1) ;(2)当 时,该厂所获 利润最大利润为 30000 元. 【解析】 【分析】 (1)结合分段函数 ,用销售价格乘以产量,再减去成本,求得利润 的解析式. (2)根据二次函数的性质,求得利润 的最大值以及此时月产量. 【详解】 (1)由题意,当 时, . 当 时, , ; (2)当 时, ; 根据二次函数的性质可知,当 时, 当 时, 为减函数, , ∵ , ∴当 时,该厂所获利润最大,最大利润为 30000 元. ( ) 21300 15000,0 450, N2 30000 20 , 450, N x x x xf x x x x  − − ≤ ≤ ∈=   − > ∈ 300x = ( )P x ( )f x ( )f x 0 450x≤ ≤ ( ) 21320 15000 20 300 0.5 150002f x x x x x x = − − − = − −   450x > ( ) 45000 20 15000 30000 20f x x x= − − = − ( ) 21300 15000,0 450, N2 30000 20 , 450, N x x x xf x x x x  − − ≤ ≤ ∈=   − > ∈ 0 450x≤ ≤ ( ) 20.5 300 15000f x x x= − + − 300x = ( )max 30000f x = 450x > ( ) 30000 20f x x= − ( ) ( )max 450 21000f x f< = 30000 21000> 300x =【点睛】 本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用,考查分段函数最值的求法,属于中档题. 21.(1) ;(2)单调递增区间为 (3) 时, 取得 最大值 1; 时,f(x)取得最小值 . 【解析】 试题分析:(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数 的周期和 值; (2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解; (3)利用三角函数的单调性和最值进行求解. 试题解析: (1)由图象知 由图象得函数的最小正周期为 = , 则由 = 得 . (2)令 . . 所以 f(x)的单调递增区间为 (3) . . 当 即 时, 取得最大值 1; 1, 2A ω= = π ππ, π ,3 6k k k − + + ∈   Z π 6x = ( )f x π 6x = − 1 2 − ω 1,A = 2π π2 3 6  −   π 2π ω π 2ω = π π π2 π 2 2 π, 2 6 2k x k k Z− + ≤ + ≤ + ∈ 2π π2 π 2 2 π3 3k x k∴− + ≤ ≤ + k ∈Z π ππ π3 6k x k∴− + ≤ ≤ + k ∈Z π ππ, π , .3 6k k k − + + ∈   Z π π π π, 2 ,6 4 3 2x x− ≤ ≤ ∴− ≤ ≤ π π 2π26 6 3x∴− ≤ + ≤ 1 πsin 2 12 6x ∴− ≤ + ≤   π π2 ,6 2x + = π 6x = ( )f x当 即 时,f(x)取得最小值 . 22.(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)转换为关于 的二次函数,再求解不等式即可. (Ⅱ)先求得 在 时的最大值 ,再根据 得 .再分情况讨论 在 上的最大最小值即可. 【详解】 (Ⅰ) .解得 即 . (Ⅱ)由题意得 . 又 , , 故 .即 恒成立. 又 对称轴 .又区间 关于 对称, 故只需考虑 的情况即可. ①当 ,即 时, 易得 , 故 即 ,又 . 故 ,解得 . ②当 ,即 时, π π2 ,6 6x + = − π 6x = − 1 2 − 2,2 2x  ∈  1 4 2log x ( )g x [ ]2,4x∈ 1 4 ( ) ( ) ( )1 2f x f x g x− ≥ max min 1( ) ( ) 4f x f x− ≥ ( )f x [ ]1 2, 1, 1x x t t∈ − + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3log log log 2log 04 2 4x x x x− + ≤ − ⇒ − + ≤ 2 2 2 1 3 1 3log log 0 log2 2 2 2x x x  ⇒ − − ≤ ⇒ ≤ ≤     1 3 2 22 2x≤ ≤ 2,2 2x  ∈  max min max( ) ( ) ( )f x f x g x− ≥ ( ) ( )22 2 2 2 2 1 3log log log 14 4g x x x x= − + = − − [ ]2,4x∈ [ ]2log 1,2x∈ 2 max 3 1( ) (2 1) 4 4g x = − − = max min 1( ) ( ) 4f x f x− ≥ ( ) 2 1 3 2 4f x ax x= − − 1 4x a = [ ]1, 1t t− + x t= 1 4 ta ≥ 1 14t ta ≤ < + 1 114 4ta a − < ≤ ( ) ( ) ( )max min 1 3 11 , 4 4 16f x f t f x f a a  = − = = − −   2 max min 1 3 3 1 1( ) ( ) ( 1) ( 1)2 4 4 16 4f x f x a t t a  − = − − − − − − − ≥   2 1 1 1( 1) ( 1)2 16 4a t t a − − − + ≥ 1 1 1 11 2 1 14 4 4 4t ta a a a − < ≤ ⇒ − < − ≤ − 21 1 1 1 1( 1) ( 1)4 2 4 16 4a a a a − − − + ≥ 1 4a ≥ 1 14 ta ≥ + 1 14t a ≤ −易得 , 即 . 化简得 ,即 ,所以 . 综上所述, 故实数 的最小值为 【点睛】 本题主要考查了与二次函数的复合函数有关的问题,需要理解题意明确求最值,同时注意分析 对称轴与区间的位置关系,再分情况进行讨论求最值即可.属于难题. ( ) ( ) ( ) ( )max min1 , 1f x f t f x f t= − = + 2 2 max min 1 3 1 3 1( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 4 2 4 4f x f x a t t a t t − = − − − − − − − − − ≥   14 1 4at− + ≥ 34 4at ≤ 1 3 14 14 4 16a aa  − ≤ ⇒ ≥   1 4a ≥ a 1 4

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