2019-2020 学年高二上学期期中考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共 12 小题）
1.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则
等于（ ）
A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
【答案】B
【解析】
由双曲线定义得 ，即 ，解得 ，故选 B．
考点：双曲线的标准方程和定义．
2.点 关于 平面的对称点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果.
【详解】由对称关系可知，点 关于 平面对称的点为
故选：
【点睛】本题考查空间直角坐标系中点 对称问题，需明确点 关于 平面对称点的
坐标为 ，属于基础题.
3.已知直线 经过点 ，且斜率为 ，则直线 的方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
的
1 2,F F P E 1 3PF =
2PF
1 2 2 6PF PF a− = = 23 6PF− = 2 9PF =
( )3,2,1A xOy
( )3, 2, 1− − − ( )3,2,1− ( )3, 2,1− ( )3,2, 1−
( )3,2,1A xOy ( )3,2, 1A′ −
D
( ), ,a b c xOy
( ), ,a b c−
l ( 2,5)P − 3
4
− l
3 4 14 0x y+ − = 3 4 14 0x y− + =
4 3 14 0x y+ − = 4 3 14 0x y− + =【解析】
直线 经过点 ，且斜率为 ，则 即
故选 A
4.已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：根据焦点坐标可知焦点在 轴，所以 ， ， ，又因为
，解得 ，故选 C.
考点：椭圆的基本性质
5.若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
.
分子分母同时除以 ，即得： .
故选 D.
6.已知抛物线 的准线经过点 ，则抛物线焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
l ( )2,5P − 3
4
− ( )35 24y x− = − + 3 4 14 0x y+ − =
2 2
2 125
x y
m
+ = 0m > ( )1F 4,0− m =
9 4 3 2
1tan 3
θ = cos 2θ =
4
5
− 1
5
− 1
5
4
5
2 2
2 2
2 2
coscos2 cos cos
sinsin sin
θ θθ θ θ θ θ
−= − = +
2cos θ
2
2
111 49cos2 11 51 9
tan
tan
θθ θ
−−= = =+ +
2 2 ( 0)y px p= > ( 1,1)−
( 1,0)− (1,0) (0, 1)− (0,1)【答案】B
【解析】
由抛物线 得准线 ，因为准线经过点 ，所以 ，
所以抛物线焦点坐标为 ，故答案选
考点：抛物线方程和性质.
7.正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为 中点，则三棱锥
的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试 题 分 析 ： 如 下 图 所 示 ， 连 接 ， 因 为 是 正 三 角 形 ， 且 为 中 点 ， 则
，又因为 面 ，故 ，且 ，所以 面 ，
所以 是三棱锥 的高，所以 ．
考点：1、直线和平面垂直 判断和性质；2、三棱锥体积．的
2 2 ( 0)y px p= >
2
px = − ( 1,1)− 2p =
(1,0) B
1 1 1ABC A B C− 2 3 D BC
1 1A B DC−
3 3
2 1 3
2
AD ABC∆ D BC
AD BC⊥ 1BB ⊥ ABC 1BB AD⊥ 1BB BC B∩ = AD ⊥ 1 1BCC B
AD 1 1A B DC−
1 1 1 1
1 1 3 3 13 3A B DC B DCV S AD− ∆= ⋅ = × × =8.直线 与圆 相切，则 （ ）
A. -2 或 12 B. 2 或-12 C. -2 或-12 D. 2 或 12
【答案】D
【解析】
∵直线 与圆心为（1,1）,半径为 1 的圆相切，∴ ＝1 或 12,故
选 D.
考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到
直线的距离公式的应用.
9.已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线
的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据对称性，不妨设 在第一象限，则 ，
∴ ，故双曲线的方程为 ，故选 D.
3 4x y b+ = 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = b =
2 2
2 =14
x y
b
−
2 23 =14 4
x y−
2 24 =14 3
x y−
2 2
=14 4
x y−
2 2
=14 12
x y−
( , )A x y
2
2
16 124 2 2
b bxy bb
= ⋅ = ⇒ =+
2 2
14 12
x y− =【考点】双曲线的渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：
（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确
定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定 a，b 的值，常用待定系数法．
（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2＋By2＝1（AB＜0）．
②若已知渐近线方程为 mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为 m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．
10.曲线 与直线 有两个不同交点，实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由曲线方程可知曲线为以 为圆心， 为半径的圆的 的部分，又直线恒过 ，
由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时
的取值，进而得到结果.
【详解】 可化为
曲线 表示以 为圆心， 为半径的圆的 的部分
又直线 恒过定点
可得图象如下图所示：
21 4y x= + - ( )2 4y k x= − + k
3
4k ≥ 3 5
4 12k− ≤ < − 5
12k >
5 3
12 4k< ≤
( )0,1 2 1y ≥ ( )2,4A
k
21 4y x= + - ( ) ( )22 1 4 1x y y+ − = ≥
∴ 21 4y x= + - ( )0,1 2 1y ≥
( )2 4y k x= − + ( )2,4A当直线 为圆的切线时，可得 ，解得：
当直线 过点 时，
由图象可知，当 与曲线有两个不同交点时，
故选：
【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表
示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识
来进行求解.
11. 为双曲线 上一点， 分别为 的左、右焦点，
，若 的外接圆半径是其内切圆半径的 2.5 倍，则 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. 或 D. 2 或 3
【答案】D
【解析】
由于 为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于 ，所以 ，故
外 接 圆 半 径 为 . 设 内 切 圆 半 径 为 ， 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 有
， 解 得 ， 故 两 圆 半 径 比 为
，化简得 ，解得 或 .
( )2 4y k x= − +
2
3 2 2
1
kd
k
−= =
+
5
12k =
( )2 4y k x= − + ( )2,1B − 4 1 3
2 2 4k
−= =+
( )2 4y k x= − + 5 3
12 4k< ≤
D
P ( )2 2
2 2: 1 , 0x yC a ba b
− = > 1 2,F F C
2 1 2PF F F⊥ 1 2PF F∆ C
2 2 3
1 2PF F∆ 2
2
bPF a
=
2
1 2 bPF a a
= +
2
1
1
2 2
bPF a a
= + r
2 2 21 12 2 22 2
b b bc c a ra a a
⋅ ⋅ = + + + ⋅
2br a c
= +
2 2
: 2.52
b ba a a c
+ = +
( )( )( )1 2 3 0e e e+ − − = 2e = 3e =【点睛】本题主要考查双曲线的基本概念和性质，考查双曲线的通径长，考查直角三角形的
外心和内心的求法.首先根据题意画出图象.根据双曲线的定义，可将直角三角形的三条边长
求出来.直角三角形的外心在斜边的中点，而内切圆半径可以采用面积公式，利用等面积法来
计算.
12.已知双曲线 左焦点为 ， 为双曲线右支上一点，若 的中点在以 O 为圆
心，以 为半径的圆上，则 的横坐标为（ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
设双曲线的右焦点 ， 的中点为 ，因为 为 底边的中线和高，得到 为
等腰三角形，在 求得 的值，再由倍角公式求得 ，最后利用公
式 ，求得点 的横坐标.
2 2
14 5
x y− = F P FP
OF P
8
3
16
3
1F PF Q 1QF 1PFF∆ 1PFF∆
1Rt QFF∆ 1cos PFF∠ 1cos PF x∠
1 13 | | cosPx PF PF x= + ⋅ ∠ P【详解】如图所示，设双曲线的右焦点 ， 的中点为 ，
因为 为圆的直径，所以 ，所以 ，
所以 为等腰三角形，所以 ，
根据双曲线的定义 ，所以 .
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、圆的知识，与三角函数的倍角
公式等知识交会，具有较强的综合性，对平面几何知识的要求也较高，考查综合分析问题和
解决问题的能力.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正
切值为______
【答案】
【解析】
【分析】
根据 可知所求角为 ，设正方体棱长为 ，利用勾股定理可求得 ，从而
得到 ，即为所求结果.
【详解】连接
1F PF Q
1FF 1 2FQF
π∠ = 1FQ PF⊥
1PFF∆ 1 1| | | | 6FF PF= =
1| | | | 2 4 | | 10PF PF a PF− = = ⇒ = | | 5QF =
1
1
| | 5cos | | 6
QFPFF FF
∠ = =
1 12PF x PFF∠ = ∠ 2
1 1 1
7cos cos(2 ) 2cos 1 18PF x PFF PFF∠ = ∠ = ∠ − =
1 1
7 163 | | cos 3 6 18 3Px PF PF x= + ⋅ ∠ = + ⋅ =
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC AE CD
5
2
/ /AB CD EAB∠ 2a BE
tan EAB∠
BE 异面直线 与 所成角即为 与 所成角，即
设正方体棱长
平面 ， 平面
又 ，
即异面直线 与 所成角的正切值为
故答案为：
【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，关键是能够通过平行关系将异面直线
所成角转化为相交直线所成角的求解问题.
14.已知数列 是递增的等比数列， ，则数列 的前 项和等于 .
【答案】
【解析】
【详解】由题意， ，解得 或者 ，
而数列 是递增的等比数列，所以 ，
即 ，所以 ，
因而数列 的前 项和 ，故答案为 .
考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前 项和公式.
为
/ /AB CD ∴ AE CD AE AB EAB∠
2a
AB ⊥ 1 1BCC B BE ⊂ 1 1BCC B AB BE∴ ⊥
2 24 5BE a a a= + = 2AB a= 5tan 2
BEEAB AB
∴ ∠ = =
AE CD 5
2
5
2
{ }na 1 4 2 39, 8a a a a+ = = { }na n
2 1n −
1 4
2 3 1 4
9
8
a a
a a a a
+ =
⋅ = ⋅ = 1 41, 8a a= = 1 48, 1a a= =
{ }na 1 41, 8a a= =
3 4
1
8aq a
= = 2q =
{ }na n 1(1 ) 1 2 2 11 1 2
n n
n
n
a qS q
− −= = = −− − 2 1n −
n15.过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 ，若
是线段 的中点，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：设 A ，B ，则 ①， ②，
∵M 是线段 AB 的中点，∴ ，∵直线 AB 的方程是 ，
∴ ，∵过点 M（1，1）作斜率为 的直线与椭圆 C： （a＞
b＞0）相交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，∴①②两式相减可得
，即 ．
考点：椭圆的简单性质
16.如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 是
双曲线右支上一点，直线 交 轴于点 ， 的内切圆切边 与点 ，若
，则双曲线的离心率为__________．
【答案】2
【解析】
(1,1)M 1
2
− C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ,A B M
AB C
2
2
( )1 1,x y ( )2 2,x y
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1 2 1 21, 12 2
x x y y+ += = ( )1 1 12y x= − − +
( )1 2 1 2
1
2y y x x− = − − 1
2
− 2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 0x x y y
a b
− −+ = 2 2
2 1 2 0 22 a b c ba b
+ − ⋅ = ∴ = ∴ =
2
2
ce a
∴ = =
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1 2,F F 1 2 4F F = P
2PF y A 1APF△ 1PF Q
1PQ =设内切圆与 AP 切于点 M,与 AF1 切于点 N，
|PF1|=m,|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a,即有 m−(n−1)=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|,|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有 m−1=n，②
由①②解得 a=1，
由|F1F2|=4，则 c=2，
由双曲线 的离心率为 .
点睛：利用的是图中的几何关系，即数形结合的思想研究数量关系，运算量较小，但是寻找
几何关系应该属于难点，解析中常见的几何关系有：中位线定理，直角三角形的勾股定理，
斜边中线长为斜边的一半，直角顶点在以斜边为直径的圆上，解三角形的正余弦定理，直线
与圆相切时的切线长相等，直线与圆相交的垂径定理等.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17.记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求 Sn，并求 Sn 的最小值．
【答案】（1）an＝2n－9（2）Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16，最小值为－16
【解析】
【分析】
(1)由等差数列通项公式可得： ；
(2)由等差数列前 项和公式可得： ，再结合二次函数求最值
即可.
2 2
2 2 1x y
a b
− = e 2c
a
= =
2 9na n= −
n 2( 7 2 9) 82n
n nS n n
− + −= = −【详解】解：(1)设 的公差为 d，由题意得 由 得 ，
所以 通项公式为 ；
(2)由(1)得 ，
所以当 时， 取得最小值，最小值为－16.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前 项和，属基础题.
18.在 中， ，
求 的值；
若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
由 ，根据正弦定理可得 ，从而可求出答案； 根据同角的三角函
数的关系求出 ，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出 ，利用三角形面积公式
计算即可．
【详解】（1） ， ，
由正弦定理可得 .
（2）若 ，则 ，
，
，又由 可得 ，
，
．
【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题.正弦
的
{ }na 13 15,a d+ = − 1 7a = − 2d =
{ }na 2 9na n= −
2 2( 7 2 9) 8 ( 4) 162n
n nS n n n
− + −= = − = − −
4n = nS
n
ABC∆ 60A∠ =
3 .7c a=
( )1 sinC
( )2 7a = ABC∆
3 3
14 6 3
( )1 3
7c a= 3sin sin7C A= ( )2
cosC sinB
60A∠ =
3
7c a=
3 3 3 3 3sin sin7 7 2 14C A= = × =
7a = 3c =
C A∴ <
2 2sin cos 1C C+ = ( )1 13cos 14C =
( ) 3 13 1 3 3 4 3sin sin sin cos cos sin 2 14 2 14 7B A C A C A C∴ = + = + = × + × =
1 1 4 3sin 7 3 6 32 2 7ABCS ac B∆∴ = = × × × =定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一
边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对
边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
19.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ： 经过点 ，其中
一条近线的方程为 ，椭圆 ： 与双曲线 有相同的焦点
椭圆 的左焦点，左顶点和上顶点分别为 F，A，B，且点 F 到直线 AB 的距离为 ．
求双曲线 的方程；
求椭圆 的方程．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
由双曲线经过点 ，可得 m；再由渐近线方程可得 m，n 方程，求得 n，即可得到所
求双曲线的方程；
由椭圆的 a，b，c 的关系式，求得 F，A，B 的坐标，可得直线 AB 的方程，由点到直线的
距离公式，可得 a，b 的关系式，解方程可得 a，b，进而得到所求椭圆方程．
【详解】解： 双曲线 ： 经过点 ，
可得 ，
其中一条近线的方程为 ，可得 ，
解得 ， ，
即有双曲线 的方程为 ；
的
1C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y m nm n
− = > > ( )3,0
3
3y x= 2C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1C .
2C
7
b
( )1 1C
( )2 2C
2
2 13
x y− =
2 2
116 12
x y+ =
( )1 ( )3,0
( )2
( )1 1C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y m nm n
− = > > ( )3,0
2 3m =
3
3y x= 3
3
n
m
=
3m = 1n =
1C
2
2 13
x y− =椭圆 ： 与双曲线 有相同的焦点，
可得 ，
椭圆 的左焦点，左顶点和上顶点分别为 ， ， ，
由点 F 到直线 AB： 的距离为 ，可得
，化为 ，
由 解得 ， ，
则椭圆 的方程为 ．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基
础题．
20.已知点 ，及圆 ．
（1）求过 点的圆的切线方程；
（2）若过 点的直线与圆相交，截得的弦长为 ，求直线的方程．
【答案】（1） 或 ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为
，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得 ，从而得到所求切线方程；
（2）由（1）知直线斜率必存在，设直线方程为 ，根据垂径定理可知圆心到
直线距离 ，从而构造出方程求得 ，进而得到所求直线方程.
【详解】（1）当直线斜率不存在时，方程为： ，与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为： ，即
圆心到直线距离 ，解得：
( )2 2C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1C
2 2 4a b− = ①
2C ( )2,0F − ( ),0A a− ( )0,B b
0bx ay ab− + =
7
b
2 2
2
7
b ab b
b a
− + =
+
2 2 27( 2)a b a+ = − ②
①② 4a = 2 3b =
2C
2 2
116 12
x y+ =
( )3,1M ( ) ( )2 21 2 4x y− + − =
M
M 2 3
3 4 5 0x y− − = 3x = 1y = 4 3 15 0x y+ − =
3 1 0kx y k− − + = k
3 1 0kx y k− − + =
1d = k
3x =
( )1 3y k x− = − 3 1 0kx y k− − + =
∴
2
2 1 2
1
kd
k
− −= =
+
3
4k =切线方程为： ，即
综上所述：过 的切线方程为： 或
（2）由（1）知，过 直线与圆相交，则直线斜率必存在
设直线方程为： ，即
圆心到直线距离
又相交弦长为 ，圆半径为 ，则 ，即
解得： 或
所求直线方程为： 或
【点睛】本题考查圆的切线方程的求解、根据直线与圆相交所得弦长求解直线方程的问题；
关键是能够熟练应用圆心到直线的距离构造方程求得结果，属于常考题型.
21.设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，
．
（1）求 的方程；
（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）设直线 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式可构造方程求得 的值，
即可求得直线 的方程；
（2）设圆心坐标为 ，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求
得圆心，求得圆的方程．
【详解】（1）由题意知：抛物线 的焦点为
设直线 的方程为 ，设 ，
∴ 3 5 04 4x y− − = 3 4 5 0x y− − =
M 3 4 5 0x y− − = 3x =
M
( )1 3y k x− = − 3 1 0kx y k− − + =
∴
2
2 1
1
kd
k
− −=
+
2 3 2 22 3 2 4 d= − 2
2 1 1
1
kd
k
− −= =
+
0k = 4
3
−
∴ 1y = 4 3 15 0x y+ − =
2: 4C y x= F F ( )0k k > l C ,A B
8AB =
l
,A B C
1y x= − ( ) ( )2 23 2 16x y− + − = ( ) ( )2 211 6 144x y− + + =
AB k
l
( )0 0,x y
C ( )1,0F
AB ( )1y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y由 整理得： ，则 ，
由 ，解得：
直线 的方程为：
（2）由（1）可得 的中点坐标为
则直线 的垂直平分线方程为： ，即
设所求圆的圆心坐标为 ，则
解得： 或
圆的半径为 或
所求圆的方程为： 或
【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆
的标准方程，转换思想的应用，属于中档题．
22.已知椭圆 的长轴长为 4，焦距为
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过动点 的直线交 轴与点 ，交 于点 ( 在第一象限)，且
是线段 的中点.过点 作 轴的垂线交 于另一点 ，延长 交 于点 .
（ⅰ）设直线 的斜率分别为 ，证明 为定值；
（ⅱ）求直线 的斜率的最小值.
( )
2
1
4
y k x
y x
= −
=
( )2 2 2 22 2 0k x k x k− + + = ( )2
1 2 2
2 2k
x x k
+
+ = 1 2 1=x x
( )2
1 2 2
2 2
2 2 8
k
AB x x k
+
= + + = + = 1k =
∴ l 1y x= −
AB ( )3,2D
AB ( )2 3y x− = − − 5y x= − +
( )0 0,x y ( ) ( )
0 0
2
2 0 0
0
5
11 162
y x
y xx
= − +
− ++ = +
0
0
3
2
x
y
=
=
0
0
11
6
x
y
=
= −
∴ 0 42
px + = 12
∴ ( ) ( )2 23 2 16x y− + − = ( ) ( )2 211 6 144x y− + + =
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 2
C
(0, )( 0)M m m > x N C ,A P P M
PN P x C Q QM C B
,PM QM 1 2,k k 2
1
k
k
AB【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）（ⅰ）见解析，（ⅱ）直线 AB 的斜率的最小值为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别计算 a,b 即得.
（Ⅱ）（ⅰ）设 ，由 M(0,m)，可得 的坐标，进而得到直线 PM 的
斜率 ，直线 QM 的斜率 ，可得 为定值.
（ⅱ）设 .直线 PA 的方程为 y=kx+m，直线 QB 的方程为 y=–3kx+m.联立
应用一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，进而可得 应用基
本不等式即得.
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c.
由题意知 ，
所以 .
所以椭圆 C 的方程为 .
（Ⅱ）（ⅰ）设 ，
由 M(0,m)，可得
所以直线 PM 的斜率 ，
直线 QM 的斜率 .
2 2
14 2
x y+ = 6
2
0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y> > ,P Q
k 'k 'k
k
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2
,
{
1,4 2
y kx m
x y
= +
+ = 2 1x x− 2 1y y− .ABk
2 4,2 2 2a c= =
2 22, 2a b a c= = − =
2 2
14 2
x y+ =
0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y> >
0 0( ,2 ), ( , 2 ).P x m Q x m−
0 0
2m m mk x x
−= =
0 0
2 3m m mk x x
′ − −= = −此时 .
所以 为定值–3.
（ⅱ）设 .
直线 PA 的方程为 y=kx+m，
直线 QB 的方程为 y=–3kx+m.
联立
整理得 .
由 ，可得 ，
所以 .
同理 .
所以 ，
，
所以
由 ，可知 k>0，
所以 ，等号当且仅当 时取得.
此时 ，即 ，符号题意.
所以直线 AB 的斜率的最小值为 .
3k
k
′ = −
k
k
′
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2
,
{
1,4 2
y kx m
x y
= +
+ =
2 2 2(2 1) 4 2 4 0k x mkx m+ + + − =
2
0 1 2
2 4
2 1
mx x k
−= +
2
1 2
0
2( 2)
(2 1)
mx k x
−= +
2 2
2 22 2
0 0
2( 2) 6 ( 2),(18 1) (18 1)
m k mx y mk x k x
− − −= = ++ +
2 2 2 2
2 1 2 2 2 2
0 0 0
2( 2) 2( 2) 32 ( 2)
(18 1) (2 1) (18 1)(2 1)
m m k mx x k x k x k k x
− − − −− = − =+ + + +
2 2 2 2
2 1 2 2 2 2
0 0 0
6 ( 2) 2( 2) 8 (6 1)( 2)
(18 1) (2 1) (18 1)(2 1)
k m m k k my y m mk x k x k k x
− − − − + −− = + − − =+ + + +
2
2 1
2 1
6 1 1 1(6 ).4 4AB
y y kk kx x k k
− += = = +−
00, 0m x> >
16 2 6k k
+ ≥ 6
6k =
2
6
64 8
m
m
=
−
14
7m =
6
2【考点】椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，基本不等式
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用 的
关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，
应用一元二次方程根与系数的关系，得到关于参数的解析式或方程是关键，易错点是对复杂
式子的变形能力不足，导致错误百出..本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能
力及分析问题、解决问题的能力等.
, , ,a b c e
微信/支付宝扫码支付