辽宁省六校协作体2019-2020高二数学上学期期中试题（带解析Word版）

2019—2020 学年度上学期省六校协作体高二期中考试 数学试题 一、选择题（共 10 道题，每题 4 分，共 40 分。每题 4 个选项中，只有一个是符合题目要求 的） 1.已知 ＝(2，－3,1)，则下列向量中与 平行的是（ ）. A. (1,1,1) B. (－4,6，－2) C. (2，－3,-1) D. (－2，－ 3,1) 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量平行的定义知 与 平行，由此判断选项 B 正确. 【详解】因为 ，则 与 平行， 时， ， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关向量共线的问题，涉及到的知识点有向量共线的定义，即 与 平行，，属于简单题目. 2.已知两条直线 ，则 的距离为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两条平行直线间的距离公式，注意方程中 的系数必须相同，利用距离公式求得结果. 【详解】因为两直线 平行， 且 ， 则它们之间的距离即为 与 之间的距离为： a a aλ a (2, 3,1)a = − (2 , 3 , )aλ λ λ λ= − a 2λ = − ( 4,6, 2)aλ = − − aλ a 1 2: 2 1 0, : 4 2 2 0l x y l x y+ − = + + = 1 2,l l 2 5 5 3 5 5 5 2 5 ,x y 1 2: 2 1 0, : 4 2 2 0l x y l x y+ − = + + = 1 : 4 2 2 0l x y+ − = 1 : 4 2 2 0l x y+ − = 2 4 2 2: 0l x y+ + =， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关两平行线之间的距离问题，涉及到的知识点有平行线间的距离公 式，在求解的过程中，注意方程中 的系数必须相同，属于简单题目. 3.圆 的圆心到直线 的距离为 ，则 （ ）. A. 或-1 B. 0 C. D. -1 或 7 【答案】D 【解析】 【分析】 求出圆心坐标，代入点到直线距离公式，求得答案. 【详解】将 整理得 ， 所以圆的圆心坐标为 ， 所以圆心到直线 的距离 ， 整理得 ，解得 或 ， 故选：D. 【点睛】该题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，属于简单题目. 4.在平面直角坐标系 中，双曲线 ： 的一条渐近线与圆 相切，则双曲线 的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和圆的半径，运用直线和圆相切的条件： ，计 算可得 ，结合离心率公式可得所求值. 2 2 4 2 5 516 4 2 5 d − −= = = + ,x y 2 2 2 8 13 0+ − − + =x y x y 1 0ax y+ − = 2 a = 0 7 2 2 2 8 13 0+ − − + =x y x y 2 2( 1) ( 4) 4x y− + − = (1,4) 1 0ax y+ − = 2 4 1 2 1 ad a + −= = + 2 6 7 0a a− − = 1a = − 7a = xOy C 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b − = > > 2 2( 2) ( 1) 1x y− + − = C 4 3 5 3 5 4 7 4 d r= 3 4a b=【详解】双曲线 ： 的一条渐近线为： ， 即为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ， 由直线和圆相切可得： ， 即 ，可得 ， 则 ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有圆的标准方程，双曲 线的渐近线，直线与圆相切的条件，点到直线的距离公式，属于简单题目. 5.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家， 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 C 的焦点在 x 轴上，且椭圆 C 的离心率为 ，面积为 12 ，则椭圆 C 的方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用已知条件列出方程组，求出 ，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意可得： ，解得 ， C 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b − = > > ay xb = 0ax by− = 2 2( 2) ( 1) 1x y− + − = (2,1) 1 2 2 2 1a b a b − = + 2 2 2 24 4a ab b a b− + = + 3 4a b= 2 2 2 2 9 51 ( ) 1 16 4 c a b be a a a += = = + = + = 7 4 π 2 2 13 4 x y+ = 2 2 19 16 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 116 9 x y+ = ,a b 2 2 2 12 7 4 ab c a a b c π π=  =  = + 4, 3a b= =因为椭圆的焦点在 轴上，所以椭圆方程为： ， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆 的面积，属于简单题目. 6.动直线 与圆 交于点 A,B,则弦 最短为（ ）. A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 动直线 过定点 ，圆 的圆 心 ， 半 径 ， ， 所 以 弦 最 短 为 ，从而求得结果. 【详解】因为动直线 ， 所以 ， 所以动直线 过定点 ， 由 可得 ， 所以圆 的圆心 ，半径 ， ， 因为直线 与圆 交于 两点， 所以弦 最短为 ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的有关知识，涉及到的知识点有直线过定点问题，点到 直线的距离，圆中的特殊三角形，过定点的最短弦，属于中档题目. x 2 2 116 9 x y+ = ( ): 2 2= 0l x my m m R+ + − ∈ 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = AB 4 2 2 5 ( ): 2 2= 0l x my m m R+ + − ∈ (2, 2)M − 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = (1, 2)C − 3r = 2 2(2 1) ( 2 2) 1d MC= = − + − + = AB 2 22 r d− ( ): 2 2= 0l x my m m R+ + − ∈ ( 2) ( 2) 0x m y− + − = ( ): 2 2= 0l x my m m R+ + − ∈ (2, 2)M − 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = 2 2( 1) ( 2) 9x y− + + = 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = (1, 2)C − 3r = 2 2(2 1) ( 2 2) 1d MC= = − + − + = ( ): 2 2= 0l x my m m R+ + − ∈ 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − = ,A B AB 2 22 2 9 1 4 2r d− = − =7.设抛物线 的焦点为 F，准线为 ，P 为抛物线上一点， ，A 为垂足，如果直 线 AF 的斜率为 ，那么 （ ）. A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 求出直线 的方程，求出点 和 的坐标，利用抛物线的定义即可求 的值. 【详解】如图所示： 因为抛物线方程为 ， 所以焦点 ，准线 的方程为 ， 因为直线 AF 的斜率为 ， 所以直线 AF 的方程为 ， 当 时， ， 2y 4x= − l PA l⊥ 3 3 | |PF = 2 3 4 3 7 3 AF A P PF 2 4y x= − ( 1,0)F − l 1x = 3 3 3 ( 1)3y x= + 1x = 2 3 3y =所以 点的坐标为 ， 因为 ，A 为垂足， 所以 点纵坐标为 ， 代入抛物线方程，得 点坐标为 ， 所以 ， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，直线的点斜式 方程，点在抛物线上的条件，点到直线的距离公式，属于简单题目. 8.从椭圆 上一点 P 向 轴作垂线，垂足恰为上焦点 又点 A 是椭圆 与 轴负半轴的交点，点 B 是椭圆与 x 轴负半轴的交点，且 AB OP ， ， 则椭圆方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 欲求椭圆的方程，只需求出 的值即可，因为过点 向 轴作垂线，垂足恰为上焦点 ， 所以 ，由 ，可得 与 相等，所以 ，就此可得到一 个含 的等式，因为 ，所以 ，又得到一个含 的等式，再根据椭圆中， ，就可解出 ，得到椭圆的标准方程. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ， A 2 3(1, )3 PA l⊥ P 2 3 3 P 1 2 3( , )3 3 − 1 41 ( )3 3PF PA= = − − = 2 2 2 2 1( 0)x y b aa b + = > > y F y / / 2 27 18 2F A = + 2 2x 12 y+ = 2 2 5 110 x y+ = 2 2 14 8 x y+ = 2 2 9 y 118 x + = ,a b P y F FO c= AB OP BAO∠ ∠POF PF BO FO OA = , ,a b c 2 27 18 2FA = + 2( ) 27 18 2b c+ = + , ,a b c 2 2 2b a c= + , ,a b c AB OP PF BO FO OA = acPF b =又因为 轴，所以 ，即 ，所以 ， 又 解得 ， 所以椭圆的方程为： ， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有利用题中的条件确定 的值，从而得到结果，在解题的过程中，注意对题中条件的等价转化，注意 的大小， 属于简单题目. 9.如图，在边长为 2 的正方体 中， 为平面 内的一动点， 于 ，若 ，则点 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】C 【解析】 如 图 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 ， ， 可 得 ， ， 故 ， 即 ，即点 的轨迹为抛物线，故选 C. PF y⊥ 2ax b = 2aPF b = a c= 2 2 2 2 27 18 2b c a c b a c  + = +  =  = + （ ） 2 2 9 18 a b  =  = 2 2 19 18 x y+ = , ,a b c ,a b ' ' ' 'ABCD A B C D− P ABCD PH BC⊥ H 2 2| ' | | | 4PA PH− = P ( ), ,0P x y ( )2,0,2A′ ( )22 22 4PA x y= − + +′ ( )22 2PH y= − ( )22 2 2 +4 4PA PH x y− = − =′ ( )21 2 14y x= − − + ( )0 2x< < P点睛：本题考查了正方体的性质、圆锥曲线的定义、两点之间的距离公式，考查了空间想象 能力、推理能力与计算能力，属于中档题；如图在正方体中建立空间直角坐标系，将几何知 识转化为代数关系，使问题更加直观. 10.已知 A，B，P 是双曲线 上不同的三点，直线 PA 的斜率为 ，直 线 PB 的斜率为 ，且 是关于 x 的方程 的两个实数根，若 ，则双曲线 C 的离心率是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 P，A 点坐标，确定 B 点坐标，利用韦达定理有 ，利用斜率公式及 P,A 在双曲线上 建立方程组，即可得出结果. 【详解】设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，因为 ，所以点 的坐 标为 ， 因为 ，所以 ，即 ，又 ， 在双曲线 : 上，所以 ， ，两式相减得 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1k 2k 1 2k k， 24 3 0x mx+ + = 0OA OB+ =   7 2 2 3 2 1 2 3 4k k = P ( ),x y A ( )0 0,x y 0OA OB+ =   B ( )0 0,x y− − 1 2 3 4k k = 0 0 0 0 3 4 y y y y x x x x − +⋅ =− + 2 2 0 2 2 0 3 4 y y x x − =− P A C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 0 0 2 2 1x y a b − =，即 ，又因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， ，选 B． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列方程消元得到 a,b,c 的关系式是关键，考查运算求 解能力，属于中档题. 二．多选题（共 3 小题，每题 4 分，共 12 分。每题 4 个选项中，有两个正确选项，全部选对 得 4 分，选对但不全得 2 分，有选错得 0 分） 11.已知双曲线的渐近线方程为 4x+3y=0,它的焦点是椭圆 的长轴端点，则此双曲 线方程为_____,离心率为______. A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 求出椭圆的长轴端点，可得双曲线的焦点，根据题意设出双曲线的方程为 ， 可得 ，求得 ，得到双曲线的方程，进而求得其离心率. 【详解】由 可得其长轴端点 ， 由双曲线的渐近线为： ， 所以可设双曲线的方程为： ， 根据题意可得： ，即 ， 所以双曲线的标准方程为： ，其离心率为 ， 故选：BC. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的有关问题，涉及到的知识点有椭圆的基本性质，共渐近 为 ( ) ( )2 2 2 2 0 02 2 1 1 0x x y ya b − − − = 2 2 2 0 2 2 2 0 y y b x x a − =− 2 2 0 2 2 0 3 4 y y x x − =− 2 2 3 4 b a = ( )2 2 2 23 4 4a b c a= = − 2 27 4a c= 7 2 ce a = = 2 2 125 10 x y+ = 2 2 116 9 x y− = 2 2 19 16 x y− = 5e 3 = 5e 4 = 2 2 1( 0)9 16 x y λλ λ− = > 9 16 25λ λ+ = 1λ = 2 2 125 10 x y+ = (5,0),( 5,0)− 4 3 0x y± = 2 2 1( 0)9 16 x y λλ λ− = > 9 16 25λ λ+ = 1λ = 2 2 19 16 x y− = 5 3e =线双曲线系方程，双曲线的离心率，属于简单题目. 12.设椭圆的方程为 ，斜率为 k 的直线不经过原点 O，而且与椭圆相交于 A,B 两点， M 为线段 AB 的中点。下列结论正确的是（ ）. A. 直线 AB 与 OM 垂直； B. 若点 M 坐标为（1,1），则直线方程为 2x+y-3=0； C. 若直线方程为 y=x+1，则点 M 坐标为 D. 若直线方程为 y=x+2，则 . 【答案】BD 【解析】 【分析】 分别对各选项进行分析，结合椭圆 中点弦的性质 ，可 以判断 A、B、C 的正确性，利用弦长公式确定 D 项是正确的，从而得到答案. 【详解】对于 A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质 ， 所以 A 项不正确； 对于 B 项，根据 ，所以 ， 所以直线方程为 ，即 ， 所以 B 项正确； 对于 C 项，若直线方程为 ，点 ，则 ， 所以 C 项不正确； 对于 D 项，若直线方程为 ，与椭圆方程 联立， 得到 ，整理得： ， 解得 ， 所以 ， 所以 D 正确； 2 2 12 4 x y+ = 1 4 3 3     ， 4 23AB = 2 2 1( 0)x y A BA B + = ≠ > l OM Bk k A ⋅ = − 4 2 12AB OMk k⋅ = − = − ≠ − 2AB OMk k⋅ = − 2ABk = − 1 2( 1)y x− = − − 2 3 0x y+ − = 1y x= + 1 4( , )3 3M 1 4 4 2AB OMk k⋅ = ⋅ = ≠ − 2y x= + 2 2 12 4 x y+ = 2 22 ( 2) 4 0x x+ + − = 23 4 0x x+ = 1 2 40, 3x x= = − 2 4 4 21 1 03 3AB = + − − =故选：BD. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的中点弦的斜率所满足的条件，以及直线被椭圆截得的弦长 公式，属于简单题目. 13.以下四个命题中真命题的序号是（ ）. ①平面内到两定点距离之比等于常数 的点的轨迹是圆； ②平面内与定点 A（-3，0）和 B（3，0）的距离之差等于 4 的点的轨迹为 ； ③点 P 是抛物线 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是 ，则 的最小值是 ； ④已知 P 为抛物线 上一个动点，Q 为圆 上一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AD 【解析】 【分析】 结合阿波罗尼斯圆、双曲线的定义、抛物线的定义等，对命题逐一分析，进行判断，得到结 果. 【详解】对于①，平面内到两定点的距离之比为定值（不等于 1）的点的轨迹是圆，这个圆称 为阿波罗尼斯圆，所以①正确； 对于②，根据题意，结合双曲线的定义，可知题中没有加绝对值，所以是双曲线的一支，所 以②错误； 对于③，根据题意，结合抛物线的定义，可求得其最小值应为 ，所以③错误； 对于④，根据抛物线的定义，可知抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，将 其转化我到焦点的距离，结合圆的相关性质可知④是正确的； 故选：AD. 【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有阿波罗尼斯圆、双曲线 的定义、抛物线的定义，属于简单题目. 三．填空题（本题共 4 道小题，每题 2 空，每空 2 分，共 16 分） ( )1λ λ ≠ 2 2 14 5 x y− = 2 4x y= (1,0)A PA PM+ 2+1 2 4y x= ( )22 4 1x y+ − = 17 1− 2 1−14.已知向量 ， ，则向量 与 的夹角为________；若 与 互相垂直，则 的值是________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 首先利用题中所给的两个向量的坐标求得 ，之后利用向量夹角公式求得其余 弦值，结合角的范围确定出角的大小；利用向量垂直的条件是向量数量积等于零，利用向量 数量积运算公式求得结果. 【详解】因为 ，则 ， 所以 ， 又因为向量夹角的取值范围是 ，所以 ； 因为 和 垂直， 则有 ，即 ， 所以有 ，解得 ； 故答案是： ； . 【点睛】该题考查的是有关空间向量的问题，涉及到的知识点有空间向量的线性运算，空间 向量夹角公式，向量垂直的条件，向量数量积运算性质以及坐标运算公式，属于简单题目. 15.图 1 是抛物线型拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 米，建立如下图 2 所 示的直角坐标系，则抛物线的解析式为________;水面下降 1 米后，水面宽是 _______米. 【答案】 (1). (2). 【解析】 (1,1,0)a = b ( 1,0,2)= − a b−  a ka b+  2 -a b  k 4 π 7 5 (2,1, 2)a b− = −  (1,1,0), ( 1,0,2)a b= = −  (2,1, 2)a b− = −  ( ) 2 1 0 2cos , 29 2 a b aa b a a b a − ⋅ + +< − >= = = ⋅−         [0, ]π , 4a b a π< − >=   ka b+  2a b−  ( ) (2 ) 0ka b a b+ ⋅ − =    2 2 2 (2 ) 0ka k a b b+ − ⋅ − =    2 2 (2 )( 1 0 0) 5 0k k× + − − + + − = 7 5k = 4 π 7 5 l 4 2 2 4x y= − 4 3【分析】 设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，由待定系数法求出抛物线的解析式；把 代入即可得结果. 【详解】设这条抛物线的解析式为 ， 由已知抛物线经过点 ， 可得 ，解得 ， 所以抛物线的解析式为： ； 当 时，即 ，解得 ， 所以当水面下降 1 米后，水面的宽度为 米； 故答案是： ； . 【点睛】该题考查的是有关抛物线的应用的问题，涉及到的知识点有抛物线方程的求解方法， 以及将实际问题模型化，点在曲线上的条件，属于简单题目. 16.已知点 ， ，若圆 上存在点 P 使 ，则 m 的最大值为__________;此时点 P 的坐标为___________. 【答案】 (1). 36 (2). 【解析】 【分析】 设 ， 由 圆 上 存 在 点 使 ，得到 ，从而 ，由 此能求出 的最大值，进而求得对应点 的坐标. 详解】由 可得 ， 所以圆的圆心 ，半径 ， ，设 ， 则 ， ， 【 3y = − 2 2 ( 0)x py p= − > (2 2, 2)− 8 2 ( 2)p= − × − 2p = 2 4x y= − 3y = − 2 12x = 2 3x = ± 4 3 2 4x y= − 4 3 ( )1,0A − ( )10B , 2 2 8 6 25 0x y x y m+ − − + − = 0PA PB⋅ =  4 3 5 5  −  ，- (4 cos ,3 sin )P m mθ θ+ + 2 2 8 6 25 0x y x y m+ − − + − = P 0PA PB⋅ =  24 10 sin( ) 0PA PB m m θ ϕ⋅ = + + + =  10 24 0m m− + = m P 2 2 8 6 25 0x y x y m+ − − + − = 2 2( 4) ( 3)x y m− + − = (4,3)C r m= ( 1,0), (1,0)A B− (4 cos ,3 sin )P m mθ θ+ + ( 5 cos , 3 sin )PA m mθ θ= − − − − ( 3 cos , 3 sin )PB m mθ θ= − − − −因为圆 上存在点 使 ， 所以 ， 所以 ，解得 或 ， 所以 的最大值为 ； 此时满足 ，即 ， 所以点 的坐标为 ，即 ； 故答案是： ； . 【点睛】该题考查的是有关向量与圆的综合题，涉及到的知识点有由圆的一般方程向标准方 程的转化，圆的参数方程的应用，用向量垂直的坐标表示，有关存在性问题的解题方向，属 于中档题目. 17.已知 是椭圆 的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭圆 交 于 两点且 ， ，则椭圆 的离心率为____；若 ，则椭圆方 程为__________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 利用题中所给的条件，结合椭圆的定义可知点 即为椭圆短轴的一个端点，可以设为上顶点， 并且可以求得各个边长，之后利用三角形中两个邻补角的余弦值互为相反数，利用余弦定理 建立 所满足的关系式，从而求得离心率，进而得到相应的椭圆的方程. 【详解】设 ，则有 ， 所以 ，所以 即为椭圆短轴的一个端点，设为上顶点， 在 中， ， 2 2 8 6 25 0x y x y m+ − − + − = P 0PA PB⋅ =  2 215 8 cos cos 9 6 sin sinPA PB m m m mθ θ θ θ⋅ = + + + + +  424 10 sin( ) 0(tan )3m m θ ϕ ϕ= + + + = = 10 24 0m m− + = 16m = 36m = m 36 sin( ) 1θ ϕ+ = − 3 4sin cos ,cos sin5 5 θ ϕ θ ϕ= − = − = − = − P 4 3(4 6 ( ),3 6 ( ))5 5P + × − + × − 4 3( , )5 5P − − 36 4 3( , )5 5 − − 1 2,F F :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F C ,A B 1 1| | 2| |AF BF= 2| | | |AB BF= C 3a = 3 3 2 2 19 6 x y+ = A ,a c 1 12 2AF BF m= = 2 2 3BF a m AB m= − = = 2a m= A 1 2AF F∆ 2 2 2 1 2 4cos 2 2 a c aAF F a c + −∠ = ⋅ ⋅在 中， ， 所以有 ， 整理得： ，所以 ； 当 时， ， 则椭圆的方程为： ； 故答案是： ； . 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆离心率的求解， 椭圆方程的求解，属于简单题目. 四．解答题（共 6 小题，共 82 分） 18.（1）求经过点(1,2)且在 x 轴上截距等于 y 轴上截距的直线方程； （2）求过直线 与 的交点，且与直线 垂直的直线方 程. 【答案】（1） 或 ； （2） 【解析】 【分析】 （1）当直线不过原点时，设直线的方程为 （或 ），把点 代入求得 ，即可求得直线的方程，当直线过原点时，直线的方程为 ，综合可得答案； （2）先求出交点坐标，再根据两直线垂直求出所求直线的斜率，根据点斜式方程即可求出结 果. 【详解】（1）当直线过原点时，直线方程为 ； 1 2BF F∆ 2 2 2 1 2 1 944 4cos 12 22 a c a BF F a c + − ∠ = ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2 1 944 4 4 012 2 2 22 a c aa c a a c a c + −+ − + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 23a c= 3 3 ce a = = 3a = 3, 6c b= = 2 2 19 6 x y+ = 3 3 2 2 19 6 x y+ = 2 2 0x y- + = 2 2 0x y− − = 3 +4 1 0x y + = 2 0x y− = 3 0x y+ − = 4 3 2 0x y− − = x 1y a a + = x y a+ = (2,1) 3a = 2 0x y− = 2 0x y− =当直线不过原点时，设直线方程为 或 直线经过 即 直线方程为 综上所述：直线方程为 或 （2）由 得 ，交点为(2,2). 设所求直线 代入点(2,2)得，C=-2 故所求直线方程为 . 【点睛】该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有直线方程的求解，直线相交时交 点坐标的求法，两直线垂直时斜率所满足的关系，最关键的是截距相等时对应的情况包括过 原点和不过原点两种情况，不要漏解，这是易错点. 19.已知△ABC 的三个顶点坐标为 ， ， (1)求△ABC 的外接圆 的方程； (2) 若圆 与圆 相交,求两圆的公共弦长. 【答案】（1） ； （2） ； 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设出圆的一般方程，将三个点的坐标分别代入，得到关于 的三元方 程组，求解即可得结果； （2）将两圆方程相减，得到两圆公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离求得弦心距， 利用勾股定理求得弦长，得到结果. 【详解】（1）设圆 的方程为 把△ABC 各个顶点代入得， x 1(y a a + = x )y a+ = (2,1) 2 1 a+ = 3a = 3 0x y+ − = 2 0x y− = 3 0x y+ − = 2 2 0 2 2 0 x y x y − + =  − − = 2 2 x y =  = 4 3 0x y C− + = 4 3 2 0x y− − = ( )-1,1A ( )2,0B ( )3, 1C − 1O 1O 2 2 2 4 4 2 0x y x y+ − − − =O： 2 2 2 8 8 0x y x y+ + + − = 2 5 , ,D E F 1O 2 2 + 0x y Dx Ey F+ + + =，解得， 故所求△ABC 的外接圆 的方程为 （2）设两圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2),则 M,N 的坐标满足方程组 两式相减得两圆的公共弦所在直线的方程为 圆心 到直线 的距离 则弦长 . 【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有待定系数法求圆的方程，两圆的位 置关系，两个圆相交时公共弦所在直线的方程的求解，直线被圆截得的弦长问题，属于简单 题目. 20.如图所示的五面体 中，平面 平面 , , , ∥ ， , ， ． （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）求四棱锥 的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 可证明出 平面 ，再利用直线与平面平行 性质定理得出 ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明 平面 ； （Ⅱ）取 中点 ，连接 ，由平面与平面垂直的性质定理得出 平面 ， 的 2 0 4+2 0 10+3 0 D E F D F D E F − + + =  + =  − + = 2 8 8 D E F =  =  = − 1O 2 2 2 8 8 0x y x y+ + + − = 2 2 2 2 2 8 8 0 4 4 2 0 x y x y x y x y  + + + − =  + − − − = 2 1 0x y+ − = 1( 1, 4)O − − 2 1 0x y+ − = 10 2 5 5 d = = 2 2 12 2 5MN r d= − = ABCDEF ADE ⊥ ABCD AE DE⊥ AE DE= AB CD AB BC⊥ 60DAB∠ =  4AB AD= = EF ABCD F ABCD− 4 3 //AB CD //CD CDEF //EF CD //EF ABCD AD N EN EN ⊥ ABCD由 平面 ，得知点 到平面 的距离等于 ，并计算出四边形 的 面积，然后利用锥体的体积公式可计算 ，可得出答案。 【详解】（Ⅰ）因为 ∥ ， 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ． 又因为 平面 ，平面 平面 ， 所以 ∥ ．因为 平面 ， 平面 ， 所以 ∥平面 （Ⅱ）取 中点 ，连接 ．在△ 中， ， 所以 . 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 所以 平面 ． 又因为 ， ，所以 .因为 ∥ ， ， ， ，所以 . 所以 . 【点睛】本题考查直线与平面平行，以及锥体体积的计算，在计算锥体体积时，若高不方便 计算时，可以利用直线与平面平行，将所求的点利用平行线进行转移，利用等高来进行处理， 考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题。 21.已知抛物线 C 的顶点在原点，对称轴是 y 轴，直线 与抛物线 交于不同的两点 、 ， 线段 中点 的纵坐标为 2，且 . （1）求抛物线 的标准方程； （2）设抛物线的焦点为 ，若直线 经过焦点 ，求直线 的方程. 【答案】（1） ； （2） ； 【解析】 【分析】 （1）根据题中所给的条件，判断出抛物线的焦点所在轴以及开口方向，从而设出抛物线的标 , //EF ABCD F ABCD EN ABCD F ABCD E ABCDV V− −= AB CD AB Ì ABFE CD ⊄ ABFE CD ABFE CD ⊂ CDEF ABEF  CDEF EF= CD EF CD ⊂ ABCD EF ⊄ ABCD EF ABCD AD N EN ADE AE DE= EN AD⊥ ADE ⊥ ABCD ADE  ABCD AD= EN ⊂ ADE EN ⊥ ABCD AE DE⊥ 4=AD 2EN = AB CD AB BC⊥ 60DAB∠ =  4AB AD= = 6 3ABCDS =梯形 1 6 3 2 4 33F ABCD E ABCDV V− = = × × =- l C A B AB M | | | | 6AF BF+ = C F l F l 2 4x y= 2y 12 x= ± +准方程为 ，根据定义列出等量关系式，求得 ，得到抛物线的方程； （2）根据题意，设出直线 的方程为 ，与抛物线的方程联立消元得到 ，利用题意，列出等量关系式，求得 k=± ，得到结果. 【详解】（1）由题意可设抛物线 C 的标准方程为： ， 设 ，则 ∵ ，∴ ，所以抛物线 C 的方程为： （2）由已知得 k 一定存在且 ;故可设直线 的方程为： ， 则联立直线 与抛物线方程，整理可得： 由韦达定理得， ∴ =4 解得：k=± ， 故所求直线方程为 . 【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，抛物线的标准 方程的求解，直线与抛物线的位置关系，焦点弦长公式等，属于简单题目. 22.已知椭圆 的离心率为 ，其中一个焦点 F 在直线 上. （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 和直线 与椭圆分别相交于点 、 、 、 ，求 的值; （3）若直线 与椭圆交于 P，Q 两点，试求 面积的最大值. 【答案】（1） ； （2）8； 2 2 ( 0)x py p= > 2p = l 1y kx= + 2 2y (2 4 ) 1 0k y− + + = 2 2 2 2 ( 0)x py p= > ( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， 、 ， 1 2 4y y+ = 1 2 6AF BF y y p+ = + + = 2p = 2 4x y= 0k ≠ l 1y kx= + l 2 2y (2 4 ) 1 0k y− + + = 2 4 2 1 2 1 2 0 2 4 1 k k y y k y y  = + >  + = +  =  2 1 2y +y 2 4k= + 2 2 2y 12 x= ± + 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 3 3y x= − - 3 0x y − = - 3 0x y + = A B C D AF BF CF DF+ + + :l y x t= + OPQ△ 2 2 14 x y+ =（3）1； 【解析】 【分析】 （1）根据题意得到椭圆的一个焦点即为直线与 轴的交点，从而求得 ，结合离心率， 求得 的值，进而求得 ，得到椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得到结果； （3）将直线方程和椭圆的方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离，利用面积公式写出三 角形的面积，利用基本不等式求得最值，注意满足判别式大于零的条件. 【详解】（1）椭圆 一个焦点即为直线与 轴的交点 ，所以 ， 又离心率为 则 , ，所以椭圆方程为 ； （2）设椭圆的另一个焦点为 , 由已知得: （3）联立直线 与椭圆方程得, ， 令 ，得 设方程 的两根为 ， 则 ， ， 由弦长公式得， ，点 到直线 的距离 ， 当且仅当 ， 即 或 时取等号，而 或 满足 ， 所以三角形 面积的最大值为 1. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆的 定义，椭圆的性质，椭圆中三角形的面积最值的求解问题，属于中档题目. 的 x 3c = a 2b x ( )3,0 3c = 3 2 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = 1F =AF BF CF DF+ + + 1 12 2 4 8AF BF a CF a DF a+ + − + − = = :l y x t= + ( )2 25 8 4 4 0 *x tx t+ + − = ( ) ( )2 28 4 5 4 4 0t t∆ = − × − > 5 5t− < < ( )* 1 2,x x 1 2 8 5 tx x+ = − 2 1 2 4 4 5 tx x −= 24 2 5 5 tPQ −= O l 2 td = ( ) ( )2 2 2 2 51 2 25 12 5 5 2OPQ t t S PQ d t t − + = = − ≤ × = 2 25 t t− = 10 2t = 10 2t = − 10 2t = 10 2t = − 5 5t− < < OPQ23.已知点 为双曲线 : 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线， 在 轴上方交双曲线 C 于点 ，且 （1）求双曲线 C 的方程； （2）若直线 与双曲线 C 恒有两个不同交点 P 和 Q 且 （其中 O 为 原点），求 k 的取值范围; （3）过双曲线 C 上任意一点 R 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 M,N，求 的值. 【答案】（1） ； （2） 或 ； （3） ； 【解析】 【分析】 （1）结合双曲线的定义以及题中的直角三角形，可以得到等量关系 ，从 而求得 ，进而得到 ，求得双曲线的方程； （2）设点 ， ，将直线方程和双曲线方程联立，消元化简整理，利用判别 式大于零，结合题中的条件，求得 的取值范围； （3）先写出双曲线的渐近线方程，设双曲线 上的点 ，设两渐近线的夹角为 ，利 用题意求得 ，又因为点在双曲线上，点的坐标满足双 曲线的方程，从而求得 的值. 【详解】（1）结合双曲线的定义以及直角三角形的特征 由已知得， 1, 2F F C 2 2 2 1( 0)yx bb − = > 1F x x A 2 1 30AFF∠ =  y=kx 2+l ： 2OP OQ >   RM R N⋅  2 2 12 yx − = -2 - 2k< < 2 0∆ -2 2k< < 2k ≠ ± 1 2 1 22 2 2 2 4,2 2 kx x x xk k + = ⋅ = −− − 2OP OQ⋅ >  1 2 1 2+ 2x x y y⋅ ⋅ > ( )2 1 2 1 2(1 ) 2 0k x x k x x+ ⋅ + + > 2 2 2 4 2 2(1 ) 2 02 2 kk kk k −+ + >− − 2k > 2k < − 2 2k− < < − 2 2k< < 1 2: 2 0; : 2 0l x y l x y− = + = C 0 0( , )R x y θ 1 2,RM l RN l⊥ ⊥ ,MRN RM RN θ∠ =< >= 1cos 3 θ = 0 0 0 02 2 , 3 3 x y x y R M R N − + = =  2 2 0 02 2x y− = RM RN⋅  2 2 0 0 0 0 0 02 2 2 1 2cos 3 3 93 3 x y x y x yθ − + − = ⋅ = ⋅ =