高一年级 3 月月考卷
一、单选题（每题 5 分）
1．已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知非零向量 ， 满足： ， ， ，则向量 ， 的夹角大小为（ ）
A． B．
C． D．
4．在 中， ，那么这样的三角形有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
( )2,1a = − ( )2,4b = ( )4,2c = −
//a b //a c //a b a c⊥
//a b //b c a b⊥ //a c
,a b
a b a b⋅ ≤
||a b a b− ≤ −
2 2( ) | |a b a b+ = +
2 2( )( )a b a b a b+ − = −
a b ( )1,1a = 1b = ( )a b b− ⊥ a b
6
π
4
π
3
π
2
π
ABC∆ 19, 20, 60ob c B= = =5．已知向量 （2，1），点 C（﹣1，0），D（3，2），则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B．﹣2 C． D．2
6．已知 ， 是非零向量，且向量 ， 的夹角为 ，若向量 ，则
A． B． C． D．
7．如图，两个全等的直角边长分别为 的直角三角形拼在一起，若 ，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
8．在 中， （ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
9．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 ，a=2，
c= ，则 C=
A． B． C． D．
AB = AB CD
5 5 5− 5
a b a b
3
π a bp a b
= +
p =
2 3+ 2 3+ 3 3
1, 3 AD AB ACλ µ= + λ µ+
3 2 3
3
− + 3 2 3
3
+
3 1− 3 1+
ABC∆ 5, 15, 30 ,a b A c= = = 则 等于
2 5 5 2 5 5
sin sin (sin cos ) 0B A C C+ − =
2
π
12
π
6
π
4
π
310．在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，
，则 的值为
A． B． C． D．
11．在 中， 为 所在平面内一点，且 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 的三个内角 所对的边分别为 ，满足
，且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．顶角为 的等腰三角形
二、填空题（每题 5 分）
13．若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角为_____．
14．数列 , , , ， ,…的一个通项公式为 _______．
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北
的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度
________ m.
ABC△ , ,A B C a b c， ， 2 2sin 3A = 2a =
2ABCS =
b
3 3 2
2 2 2 2 3
ABC∆ 1, 3, 2,AB AC BC D= = = ABC∆ 2BD AB AC= +
BCD∆
2 3 3 3
2
3 3
2
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 2cos cos cosA B C− +
1 sin sinA C= + sin sin 1A C+ = ABC∆
150 120
a b、 2a b a b a+ = − = a a b+
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 na =16．在 中，角 所对的边分别为 ，若 的面积为 ，则 的最大值
为________.
三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分）
17．已知向量 ；
（1）若 3 与 共线，求 m；
（2）若 ，求| |.
18．如图所示，在 中， 是以 为中点的点 的对称点， ， 和 交于点 ，
设 ， .
（1）用 和 表示向量 、 ；
（2）若 ，求实数 的值.
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 21
8 c
2 2a b
ab
+
( ) ( ) ( )2 3 2 1 2a b m c= = = − ， ， ， ， ，
2a b+ 3a b−
b c ⊥ 2a b c− +
BOC∆ C A B 2OD DB= DC OA E
OA a= OB b=
a b OC DC
OE OAλ= λ19．已知 分别为 三个内角 的对边， .
（1）求 ；
（2）若 是上 一点，且 ， ， ，求 的值.
20． 中，三个内角 的对边分别为 ，若 ， ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
21．已知 a，b，c 分别为 三个内角 A，B，C 的对边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 a 的值.
, ,a b c ABC , ,A B C 3 sin cosc a C c A= −
A
M BC 2BC MC= 3b = 3 3
2AM = a
ABC∆ , ,A B C , ,a b c (cos ,cos )m B C= (2 , )n a c b= +
m n⊥
B
7b = 8a c+ = ABC∆
ABC△ 3 cos 2
sin
a A
c C
+=
A
5b c+ = ABC△ 322．已知△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， ，
.
（1）求 的值；
（2）若 C 为钝角且 c ，求△ABC 的周长的取值范围.
cos 3 3 cos 0c A a C+ =
3tan(2019 2 ) 4Aπ + =
tanC
3=参考答案
1．D
， ， ，则 ， ， ，
因此， ， ， .
故选：D.
2．B
因为 ，所以选项 A 正确；当 与 方向相反时， 不
成立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 C 正确；
，所以选项 D 正确．故选 B．
3．B
由 ，有 ，则 ，
有 .
4．C
解： 在 中， ， ， ，
由余弦定理 ，得： ，
得： …
，且两根之和、两根之积都为正数，
方程 有两个不相等的正实数根，即有两个边 满足题中的条件．
( )2,1a = −
( )2,4b = ( )4,2c = − 2c a= 2 2 1 4 0a b⋅ = − × + × = 2 0b c b a⋅ = ⋅ =
//a c a b⊥ b c⊥
cos ,a b a b a b a b⋅ = 〈 〉 ≤ a b a b a b− ≤ −
( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −
( )a b b− ⊥ 2
0a b b⋅ − = 2
cosa b bθ =
2
1 2cos ,0 ,2 42
b
a b
πθ θ π θ= = = ≤ ≤ =
ABC△ 19b = 20c = 60B =
∴ 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2361 400 2 20 cos60a a= + − × × ×
2 20 39 0aa − + = ( )*
220 4 1 39 244 0= − × × = >
∴ ( )* a由此可得满足条件的 有两个解．
故选：C．
5．A
向量 ，点 ， ，可得 ，
所以 ， ，
所以向量 在 方向上的投影为 ．
故选： ．
6．D
,选 D.
7．B
解： ， ， ， ，
以 ， 为坐标轴建立坐标系，则 ．
， ，
．
，
ABC△
(2,1)AB = ( 1,0)C − (3,2)D (4,2)CD =
2 4 1 2 10AB CD = × + × =
| | 2 5CD =
AB CD 10 5
| | 2 5
AB CD
CD
= =
A
2
11 1 2 1 1 32
a bp a b
= + = + + × × × =
1AC = 3AB = 30ABC∴∠ = ° 60ACB∠ = °
AB AC 1 3,12 2D
+
( )3,0AB = ( )0,1AC =
∴ 1 3,12 2AD
= +
AD AB ACλ µ= + ， ，
．
故选： ．
8．C
在三角形中，由正弦定理 知 ， ，所以由内角和定理知
，由正弦定理 知， ，故选 C.
9．B
详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∴
13 2
31 2
λ
µ
=
= +
∴
3
6
31 2
λ
µ
=
= +
2 31 3
λ µ∴ + = +
B
sin sin
a b
A B
= 3sin 2B = 2
3 3B
π π= 或
2 6C
π π= 或
sin sin
a c
A C
= 2 5 5c = 或∵ ＜A＜π，
∴A= ，
由正弦定理可得 ，
∵a=2，c= ，
∴sinC= = ，
∵a＞c，
∴C= ，
故选 B．
10．A
∵在锐角 中， ， ，
∴ ，
∴ ，①
又 ， 是锐角，∴ ，
∴由余弦定理得： ，
即 ，
∴ ②
π
2
3π
4
c
sin sin
a
C A
=
2
sinc A
a
22 12 =2 2
×
π
6
ABC△ 2 2sin 3A = 2ABCS =
1 1 2 2 22 2 3bcsinA bc= =
3bc =
2a = A 2 1cos 1 sin 3A A= − =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
( ) ( )2 2 12 1 cos 4 6 1 123b c a bc A + = + + = + + =
2 3b c+ =由①②得： ，解得 ．
故选 A．
11．D
由题可作如图所示的矩形，则易知 ，则 ，则 ，所以
故选 D.
12．D
由题
即 ，由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ，故
故 为顶角为 的等腰三角形
故选 D
2 3
3
b c
bc
+ = = 3b c= =
6BCA
π∠ =
3BCD
π∠ = 3sin 2BCD∠ =
1 1 3sin 2 32 2 2BCDS BC DC BCD∆ = × × × ∠ = × × × 3 3
2
=
( )2 2 21 sin 1 sin 1 sin 1 sin sinA B C A C− − − + − = +
2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C+ − = −
2 2 2 1
2 2
a c b
ac
+ − = −
( )1 2cos , 0,2 3B B Bπ π= − ∈ ∴ =
sin sin 13A A
π + − = sin 13A
π + = ,6 6A B
π π= ∴ =
ABC∆ 120二、填空题 13．60°．
解：∵ ，
∴ ，
如图， ， ，
，
由题意，|OC|＝2|OA|，
∴∠AOC＝60°，
即向量 与向量 的夹角为 60°，
故答案为 60°．
14．
15．
试题分析:由题设可知在 中, ,由此可得 ,由正弦定
理可得 ,解之得 ,又因为 ,所以
,应填
a b a b+ = −
a b⊥
OA a= OB b=
OC a b= +
a a b+
1
n
n +16．
由面积公式得， ，
即 ,
由余弦定理得 ，所以
则
其中， ，
故当 时， 取得最大值 .
故答案为：
三解答题
17．（1） ；（2）
解：（1） ， ，
∵ 与 共线，
∴﹣3（2m+6）﹣13（2﹣3m）＝0，解得 ；
（2）∵
2 5
21 1sin2 8ab C c=
2 4 sinc ab C=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
2 2 2 2 cos 4 sin 2 cosa b c ab C ab C ab C
ab ab ab
+ + += =
2 2
4sin 2cos 2 5 sin( )a b C C Cab
ϕ+ = + = +
1tan 2
ϕ =
2C
πϕ+ = 2 2a b
ab
+
2 5
2 5
4
3 37
( )3 2 2 613a b m+ = + ， ( )3 2 3 3a b m− = − − ，
3 2a b+ 3a b−
4
3m =
b c ⊥∴ ，解得 m＝4，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．（1） ， ；（2） .
（1）由题意知， 是线段 中点，且 .
，
；
（2） ，
由题可得 ，且 ，
设 ，即 ，则有 ，解得 .
因此， .
19．（1） ；（2）3
（1）在 中由正弦定理 ，
∴ ，
4 0b c m⋅ = − + =
( )4 2b = ，
( )2 1 6a b c− + = − ，
2 37a b c− + =
2OC a b= − 52 3DC a b= − 4
5
λ =
A BC 2 2
3 3OD OB b= =
2OC OA AC OA BA OA OA OB a b= + = + = + − = −
( ) 2 52 23 3DC OC OD a b b a b= − = − − = −
( ) ( )2 2EC OC OE a b a a bλ λ= − = − − = − −
//EC DC 52 3DC a b= −
EC kDC= ( ) 52 2 3a b k a bλ − − = −
2 2
51 3
k
k
λ− =− = −
4
5
3
5k
λ =
=
4
5
λ =
3
π
ABC 2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
sin 3sin sin sin cosC A C C A= −∵ ，得： ，即
∵ ，∴ ，∴ .
（2）∵ ，∴ 是 中点， .
则 ，
∴代入得： ，
即 ，∴ 或 （舍）.
在 中，
∴
20．（1） ；（2） .
（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ .
（2）根据余弦定理可知 ，∴ ，
又因为 ，∴ ，∴ ，∴ ，
则 .
sin 0C > 1 3 sin cosA A= ⋅ − 1sin( )6 2A
π− =
5( , )6 6 6A
π π π− ∈ −
6 6A
π π− =
3A
π=
2BC MC= M BC 1 ( )2AM AC AB= +
2 2 21 ( 2 )4AM AC AB AB AC= + +
2 2 23 3 1 1( ) (3 2 3 )2 4 2c c= + + × × ×
2 3 18 0c c+ − = 3c = 6c = −
ABC
2 2 2 2 cos 9 9 2 3 3cos 93a b c bc A
π= + − = + − × × =
3a =
2
3
π 15 3
4
m n⊥ ( )cos 2 cos 0B a c C b⋅ + + ⋅ =
( )cos 2sin sin cos sin 0B A C C B⋅ + + ⋅ =
( )2cos sin sin cos cos sinB A C B C B= − ⋅ + ⋅ ( )sin sinB C A= − + = −
1cos 2B = − 2
3B
π=
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 249 a c ac= + +
8a c+ = ( )2 64a c+ = 2 2 2 64a c ac+ + = 15ac =
1 15 3sin2 4S ac B= ⋅ =21．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
（Ⅰ）由正弦定理得， ，
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ∴ ，
∴ ∴ ．
（Ⅱ）由： 可得 ．
∴ ，
∵ ，
∴由余弦定理得： ，
∴ .
22．（1） 或 9 （2）（2 ，2 ]
（1）因为 ，
所以 .A∈（0，π）.
解得 或 .
因为 ，所以 ，
2
3
π 21
3− 3 3 3+
3tan(2019 2 ) 4Aπ + =
2
2tan 3tan 2 1 tan 4
AA A
= =−
1tan 3A = tan 3A = −
cos 3 3 cos 0c A a C+ = sin cos 3 3sin cos 0C A A C+ =所以 或 9 .
（2）若 C 为钝角，所以 ，C∈（0，π）.
所以 .
又 ，所以 A+B ， .
所以 .
△ABC 的周长＝
A∈（0， ），A ∈（ ， ），
所以 .
所以△ABC 的周长的范围为 .
tan 3 3 tan 3C A= − = − 3
tan 3C = −
2
3C
π=
3c =
3
π=
3 22sin sin sin 3
a b
A B π= = =
2sin , 2sina A b B= =
2sin 2sin 3A B+ +
2sin 2sin( ) 33A A
π= + − +
2sin( ) 33 A
π= + +
3
π
3
π+
3
π 2
3
π
3sin( ) ( ,1]3 2A
π + ∈
(2 3,2 3]+
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