高二数学第二学期第一次测试试卷
第 I 卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 i 是虚数单位，若 ， ，则复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列 的前 n 项和是 ，且 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 是常数 B． 是常数 C． 是常数 D． 是常数
4．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角
形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼
成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点 F 为双曲线 C： 的右焦点，点 F 到渐近线的距离是点 F 到左顶点的距
离的一半，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 或 B． C．2 D．
7．设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
{ } { } { }2 2 0 , 1 3 81 , 2 ,xA x x x B x C x x n n N= − ≤ = < < = = ∈ ( )A B C =
{ }2 { }0, 2 { }0, 2, 4 { }2, 4
( ) 5
2
ii x yi i
+ = − ( ) 5
2
ii x yi i
+ = − x yi+
2 i− 2 i− − 2 i+ 2 i− +
{ }na nS 4 5 6 7 18a a a a+ + + =
5a 5S 10a 10S
( )1, 3
( )22 2 1x y+ − = ( )22 2 1x y+ + =
( )22 3 1x y+ − = ( )22 3 1x y+ + =
3
16
3
8
1
4
1
8
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
2 5
3
5
3 2A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ，且 ，点 ，直线 ，则
8．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A． В． C． D．
9．已知函数 的相邻两个零点差的绝对值为 ，则函数
的图象（ ）
A．可由函数 的图象向左平移 个单位而得
B．可由函数 的图象向右平移 个单位而得
C．可由函数 的图象向右平移 个单位而得
D．可由函数 的图象向右平移 个单位而得
10． 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．设 O 为坐标原点，点 P 为抛物线 C： 上异于原点的任意一点，过点 P 作斜率为 0 的
直线交 y 轴于点 M，点 P 是线段 MN 的中点，连接 ON 并延长交抛物线于点 H，则 的值为（ ）
α β⊥ m α⊥ / /m β
/ /m α n α⊂ / /m n
mα β = / /n α / /n β / /m n
α β⊥ mα β = A α∈ AB m⊥ AB β⊥
3 6 2 3 2 6
( ) ( )2 3sin cos 3 cos 02f x x x xω ω ω ω= − + >
4
π
( )f x
( ) cos4g x x= 5
24
π
( ) cos4g x x= 5
24
π
( ) cos2g x x= 7
24
π
( ) cos2g x x= 5
6
π
( )f x 0x < ( ) ( )' 0f x x f x+ ⋅ < ( )4 0f − = ( ) 0f x >
( ) ( )4, 0 4,− + ∞ ( ) ( )4, 0 0, 4−
( ) ( ), 4 4,−∞ − + ∞ ( ) ( ), 4 0, 4−∞ −
( )2 2 0y px p= >
OH
ONA．p В． C．2 D．
12 ． 已 知 函 数 是 R 上 的 偶 函 数 ， 对 于 任 意 都 有 成 立 ， 当
，且 时，都有 ，给出以下三个命题：
①直线 是函数 图像的一条对称轴；
②函数 在区间 上为增函数；
③函数 在区间 上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
第 II 卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量 ， ，且 ，则 ____________．
14．已知 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为____________．
15．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则实数 m 的取
值范围为____________．
16．在菱形 ABCD 中， ， ，将 沿 BD 折起到 的位置，若二面角 P-BD-C 的
大小为 ，三棱锥 P-BCD 的外接球心为 O，则三棱锥 P-BCD 的外接球的表面积为_____________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17 ．（本 小 题 满 分 10 分 ） 已 知 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 a ， b ， c 分 别 满 足 ，
，又点 D 满足 ．
（1）求 a 及角 A 的大小；
1
2
3
2
( )f x x R∈ ( ) ( ) ( )6 3f x f x f+ = +
[ ]1 2, 0, 3x x ∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− >−
6x = − ( )f x
( )f x [ ]9, 6− −
( )f x [ ]9, 9−
( )2sin , cosa α α= ( )1, 1b = − a b⊥ ( )2
a b− =
2 0
2 0
4 18 0
x y
x y
x y
− ≤
− ≥
+ − ≤
5 3z x y= −
( ) 3 3f x x x= − ( )( )1, 2A m m ≠ − ( )y f x=
3A
π= 4 3AB = ABD PBD
2
3
π
ABC 2 2c b= =
2 cos cos cos 0b A a C c A+ + = 1 2
3 3AD AB AC= + （2）求 的值．
18．（本题满分 12 分）在数列 中， ， ．
（1）证明 是等差数列；
（2）求数列 的前 n 项和 ．
19．（本题满分 12 分）经调查，3 个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经
国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：
年龄 x 28 32 38 42 48 52 58 62
收缩压 y
（单位 mm Hg）
114 118 122 127 129 135 140 147
其中：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ；（ 的值精确到
0．01）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的 0．9 到 1．06 倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的 1．06
到 1．12 倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的 1．12 到 1．20 倍，则为中度高血压人群；收缩压
为标准值的 1．20 倍及以上，则为高度高血压人群，一位收缩压为 180mmHg 的 70 岁的老人，属于哪类人
AD
{ }na 1 1a = ( )1 *
1 2 2n
n na a n N+
+ − = ∈
2
n
n
a
2 1
na
n
− nS
8 8
21
2 2 1 1
1
ˆ ˆˆ, , 17232, 47384
n
i i
i
i i in
i i
i
i
x y n x y
b a y bx x x y
x n x
=
= =
=
− ⋅ ⋅
= = − = =
− ⋅
∑
∑ ∑
∑
y bx a= + ,a b群？
20．（本题满分 12 分）如图，四棱柱 的底面为菱形， ， ，E，F
为 CD， 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 底面 ABCD，且直线 与平面 所成线面角的正弦值为 ，求 的长．
21．（本题满分 12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的内
接正方形面积为 2．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 l： 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 D 的坐标为 ，问直线 AD 与 BD 的斜率
之和 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由．
22．（本题满分 12 分）已知函数 ，其中 e 为自然对数的底数．
（1）若函数 在区间 上是单调函数，试求实数 a 的取值范围;
（2）已知函数 ，且 ，若函数 在区间 上恰有 3 个零点，
求实数 a 的取值范围．
2019-2020 学年度寒假网课高二数学测试卷
参考答案
一、选择题
1-5：BADCA 6-10：BCBBA 11-12 CB
二、填空题
1 1 1 1ABCD A B C D− 120BAD∠ = ° 2AB =
1AA
/ /DF 1B AE
1AA ⊥ 1AD 1B AE 3
4 1AA
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2
2
2y kx= + 10, 2
AD BDk k+
( ) ( )2 1xf x e a x b= − − −
( )f x [ ]0,1
( ) ( ) 21 1xg x e a x bx= − − − − ( )1 0g = ( )g x [ ]0,113． 14．-2 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）由 及正弦定理得
，
即 ， 1 分
在 中， ，
所以 ， 2 分
又 ，所以 ． 3 分
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ． 5 分
（2）由 ，得 7 分
， 9 分
所以 ． 10 分
18．解：（I）因为 ， 5 分
所以数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列； 6 分
（II）由（I）知数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列， 7 分
所以 ，即 ， 9 分
所以 ，易知数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 11 分
所以 ． 12 分
19．解：（1）
18
5
( )3, 2− − 112π
2 cos cos cos 0b A a C c A+ + =
2sin cos sin cos cos sinB A A C A C− = +
( )2sin cos sin sinB A A C B− = + =
ABC sin 0B >
1cos 2A = −
( )0,A π∈ 2
3A
π=
ABC 2 2 2 2 22 cos 7a b c bc A b c bc= + − = + + =
7a =
1 2
3 3AD AB AC= + 2
2 1 2
3 3AD AB AC = +
4 4 4 1 42 19 9 9 2 9
= + + × × × − =
2
3AD =
1 1 1
1
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2
n n n
n n n n n n
n n n n n n
a a a a a a+ + +
+
+ + + +
+ + −− = − = = =
2
n
n
a
1
2
2
n
n
a
1
2
1 2 1( 1) 12 2 2
n
n
a nn
−= + − × = ( ) 12 1 2n
na n −= − ⋅
( ) 1
12 1 2 22 1 2 1
n
nn na
n n
−
−− ⋅= =− − 2 1
na
n
−
1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −− 4 分
（2） 5 分
6 分
7 分
8 分
∴回归直线方程为 ． 9 分
（3）根据回归直线方程的预测，年龄为 70 岁的老人标准收缩压约为
11 分
∴收缩压为 180mmHg 的 70 岁老人为中度高血压人群． 12 分
20．（1）证明：设 G 为 的中点，连 EG，GF
因为，又，所以，
所以四边形 DEGF 是平行四边形． 2 分
所以
又 平面 ， 平面 ， 3 分
所以 平面 ． 4 分
28 32 38 42 48 52 58 62 458x
+ + + + + + += =
114 118 122 127 129 135 140 147 1298y
+ + + + + + += =
8
1
8 2
2 2
1
47384 8 45 129ˆ
17232 8 458
i i
i
i
i
x y n x y
b
x x
=
=
− ⋅ ⋅ − × ×∴ = = − ×− ⋅
∑
∑
118 0.91129
= ≈
129 0.91 45 88.05a y bx= − = − × =
0.91 88.05y x= +
( )0.91 70 88.05 151.75 mmHg× + =
180 1.19151.75
≈
1AB
/ /DF EG
DF ⊄ 1B AE EG ⊂ 1B AE
/ /DF 1B AE（2）解：因为 ABCD 是菱形，且 ，
所以 是等边三角形
取 BC 中点 G，则 ，
因为 平面 ABCD，
所以 ，
建立如图的空间直角坐标系，令 ， 6 分
则 ，
， 8 分
设平面 的一个法向量为 ，
则 且 ，
取 ， 10 分
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，解得 ，故线段 的长为 2． 12 分
60ABC∠ = °
ABC
AG AD⊥
1AA ⊥
1 1,AA AG AA AD⊥ ⊥
( )1 0AA t t= >
( ) ( ) ( )1 1
3 30, 0, 0 , , , 0 , 3, 1, , 0, 2,2 2A E B t D t
−
( ) ( )1 1
3 3, , 0 , 3, 1, , 0, 2,2 2AE AB t AD t
= = − =
1B AE ( ), ,n x y z=
( )3 3 02n AE x y⋅ = + = 1 3 0n AB x y tz⋅ = − + =
( )3 , , 4n t t= −
1AD 1B AE θ
( )
1
2
1
6 3sin 42 4
n AD t
tn AD
θ
⋅
= = =
+⋅
2t = 1AA21．解：（1）由已知可得 ， 2 分
解得 ， ， 3 分
故所求的椭圆方程为 ． 4 分
（2）由 得 ， 5 分
则 ，
解得 或 ． 6 分
设 ，
则 ， 8 分
则 ， 9 分
所以 ，
2 2 2
2
2
2 sin 24
c
a
c
a b c
π
=
=
= +
2 2a = 2 2 1b c= =
2
2 12
x y+ =
2
2 12
2
x y
y kx
+ =
= +
( )2 21 2 8 6 0k x kx+ + + =
( )2 2 264 24 1 2 16 24 0k k k∆ = − + = − >
6
2k < − 6
2k >
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2 1 22 2
8 6,1 2 1 2
kx x x xk k
+ = − =+ +
1 2
1 2
1 1
2 2,AD BD
y y
k kx x
− −
= =
( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 32 6 62 2 03AD BD
y x y x x x kx x x x k kk k x x x x
+ − + + + −+ = = = =所以 为定值，且定值为 0． 12 分
22．解：（1） ，
当函数 在区间 上单调递增时， 在区间 上恒成立，
（其中 ），
解得 ； 2 分
当函数 在区间 上单调递减时， 在区间 上恒成立，
（其中 ），
解得 ．
综上所述，实数 a 的取值范围是 ． 4 分
（2） ．
由 ，知 在区间 内恰有一个零点， 5 分
设该零点为 ，则 在区间 内不单调，
所以 在区间 内存在零点 ，
同理， 在区间 内存在零点 ，
所以 在区间 内恰有两个零点． 6 分
由（1）知，当 时， 在区间 上单调递增，
故 在区间 内至多有一个零点，不合题意． 7 分
当 时， 在区间 上单调递减，
故 在区间 内至多有一个零点，不合题意，
所以 ． 8 分
令 ，得 ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 内单调递增． 9 分
AD BDk k+
( ) ( )' 2 1xf x e a= − −
( )f x [ ]0,1 ( ) ( )' 2 1 0xf x e a= − − ≥ [ ]0,1
( ) ( )
min
2 1 1xa e∴ − ≤ = [ ]0,1x∈
3
2a ≤
( )f x [ ]0,1 ( ) ( )' 2 1 0xf x e a= − − ≤ [ ]0,1
( ) ( )
max
2 1 xa e e∴ − ≥ = [ ]0,1x∈
12
ea ≥ +
3, 1,2 2
e −∞ + + ∞
( ) ( ) ( )' 2 1xg x e a x b f x= − − − =
( ) ( )0 1 0g g= = ( )g x ( )0,1
0x ( )g x ( )00, x
( )f x ( )00, x 1x
( )f x ( )0 ,1x 2x
( )f x ( )0,1
3
2a ≤ ( )f x [ ]0,1
( )f x ( )0,1
12
ea ≥ + ( )f x [ ]0,1
( )f x ( )0,1
3 12 2
ea< < +
( )' 0f x = ( ) ( )ln 2 2 0,1x a= − ∈
( )f x ( )0, ln 2 2a − ( )(ln 2 2 ,1a − 记 的两个零点为 ，
因此 ，必有 ， ．
由 ，得 ，
所以 ， 10 分
又 ， ，
所以 ． 11 分
综上所述，实数 a 的取值范围为 ． 12 分
( )f x ( )1 2 1 2,x x x x<
( )( ( )( )1 20, ln 2 2 , ln 2 2 ,1x a x a∈ − ∈ − ( )0 1 0f b= − > ( )1 2 2 0f e a b= − + − >
( )1 0g = a b e+ =
( )1 1 1 02f e a b e e = + − + = + − ( )1 2 0f a= − >
1 2e a− < <
( )1, 2e −
微信/支付宝扫码支付