北京市平谷区 2019-2020 学年度第二学期第五中学 4 月月考试题
高一数学
一、单选题
1．下列函数中最小正周期为 且在 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 在区间 内没有极值点，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 ， 的部分图像如图所示，则为了得到函数 的
图像，只需将函数 的图像（ ）.
A．先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位；
B．先将纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位；
C．先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位；
π 0, 2
π
( ) sin 2f x x= ( ) tanf x x=
( ) cos2f x x= − ( ) cos 2f x x=
2( ) 3 2sin cos 2 3 cos ( 0)f x x x xω ω ω ω= + − > ( ),2π π ω
5 11,12 24
10, 2
5 5 110, ,24 12 24
5 11 10, ,12 24 2
( ) sin( )f x xω ϕ= + 0,| | 2
> −
3b = ( ) 0
1
f x
x
>
>17．以 、 为顶点的正三角形 位于正方形区域
内，试求 面积 的最大值.
( ),0A a ( )0,B b ABC ( ){ }, 0 1,0 1D x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤
ABC∆ S18．设命題 方程 有两个不相等的负根，命题
恒成立.
（1）若命题 均为真命题，求 的取值范围；
（2）若命题 为假，命题 为真，求 的取值范围.19．已知集合 ， .
(1)当 时，求 ;
(2)若 ，求实数 的取值范围.
20．已知函数 ．
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）当 x∈[﹣ ， ]时，求函数 f（x）的最小值和最大值．
{ | 1 2 1}A x a x a= − < < + { | 0 1}B x x= < <
1a = ( )RC A B∪
A B = ∅ a
( ) 23 1sin 2 cos2 2f x x x= − −
12
π 5
12
π21．已知集合 ， ，其中 ，全集
R．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
{ }2 ( 1) 0A x x a x a= + − − > { }( )( ) 0B x x a x b= + + > a b¹ U =
1a b> > − A B
2 1
4a + ∈ U A a 北京市平谷区 2019-2020 学年度第二学期第五中学 4 月月考试题
高一数学
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据条件逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】
最小正周期为 的有 ， ，在 内单调递增的为 ，故选 C.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质，和绝对值函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数的性质.
2．C
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可得
或
，由此求得 的取值范围.
【详解】
因为函数
在区间 内没有极值点，
所以 ，
或 ，
解得 或 ，
令 ，可得 ，
π C D 0, 2
π
C
2 2 4 22 3 3 2k k
π π π ππ ωπ ωπ π− ≤ − < − ≤ +
32 2 4 2 ,2 3 3 2k k k Z
π π π ππ ωπ ωπ π+ ≤ − < − ≤ + ∈ ω
2( ) 3 2sin cos 2 3 cosf x x x xω ω ω= + −
sin 2 3(1 cos2 ) 3 2sin(2 )+3 33x x x
πω ω ω= − + + = − −
( ,2 )π π
2 2 4 22 3 3 2k k
π π π ππ ωπ ωπ π− ≤ − < − ≤ +
32 2 4 2 ,2 3 3 2k k k Z
π π π ππ ωπ ωπ π+ ≤ − < − ≤ + ∈
1 5
2 2 24
kk ω− ≤ ≤ + 5 11
12 2 24
kk ω+ ≤ ≤ +
0k = 5 5 11(0, ] [ , ]24 12 24
ω ∈ 故选 C.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有倍角公式和辅助角公式的应用，有关
函数的极值点的位置，从而得到相应的范围，求得结果，属于中档题目.
3．D
【解析】
【分析】
根据函数图像，先求得函数解析式，再根据函数图像的变换，求得变换过程.
【详解】
由图可知 ，故可得 ；
根据五点作图法可得 ，解得 ；
故 ，又
故只需将 函数纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
得到 ，再向右平移 即可得到 .
故选：D.
【点睛】
本题考查由三角函数的图像求解解析式，以及函数图像的变换，属综合性中档题.
4．B
【解析】
根据向量夹角公式可得： ，
因为 ，故 ，故选 B.
5．B
【解析】
74 12 3T
π π π = × − =
2 2T
πω = =
2 3 2
π πϕ× + =
6
πϕ = −
( ) sin 2 6f x x
π = − cos 6
= + y x
π 2sin sin6 2 3x x
π π π = + + = +
2sin 3y x
π = +
1
2
2sin 2 sin23 3y x x
π π = + = +
5
12
π ( )f x
( )
1 3 1 3
32 2 2 2cos 1 1 2
AB ACABC
AB AC
π
− ⋅ − ⋅⋅− ∠ = = = −⋅⋅
0 ABC π< ∠ < 060ABC∠ =【分析】
由条件求得 的值，再根据 ，求得 的值，从而求得 的
值，再根据诱导公式即可求得答案.
【详解】
sin(π－α)＝sin α＝log4 ＝－ ，
又α∈ ，得 cos α＝ ＝ ，
tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－ ＝ .
故选 B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系和三角
函数的诱导公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
试题分析：因为 ，则 ，即 ，所以 ，
所以选 C．
考点：1.向量的数量积；2.两角差的余弦．
7．A
【解析】
【分析】
首先根据已知可得 ，然后根据正弦函数的图像与性质得到
，再化简函数 ，从而求解问题.
【详解】
，在 处取得最大值，
，
sinα ,02
πα ∈ − cosα sintan cos
αα α=
( ) ( )2 2 sin 2f x a b x θ= + −
2 3k
πθ π= − −
3y f x
π = +
( ) ( )2 2sin 2 cos2 sin 2f x a x b x a b x θ= − = + −
12x
π=
( )2 212 2k k Z
π πθ π∴ × − = + ∈则 ， ，
，
奇函数且它的图象关于点 对称.
故选：A
【点睛】
本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
以 分别为 轴正方向建立平面直角坐标系，设出 的坐标，代入 ，
利用模的坐标表示出 ，进而求得 的最大值.
【详解】
以 分别为 轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示， ，设
，则有 得 ，化简得
，故 向量对应的点在以 为圆心，半径为 的圆上.由于圆过
原点，故圆上的点到原点的距离的最大值为直径 ，也即 的最大值为 .故选 A.
2 3k
πθ π= − − ( ) 2 2 sin 2 3f x a b x
π ∴ = + +
( )2 2 2 2sin 23 sin 2a b x a b xy f x
π π∴ + + = = ++ −=
∴
3y f x
π = + ,02
π
,a b ,x y c ( ) ( ) 0a c b c− ⋅ − =
c c
,a b ,x y ( ) ( )1,0 , 0,1a b= =
( ),c x y= ( ) ( ) 0a c b c− ⋅ − = ( ) ( )1 , ,1 0x y x y− − ⋅ − − =
2 21 1 1
2 2 2x y − + − = c 1 1,2 2
2
2
2 c
2【点睛】
本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力以
及化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
9．A
【解析】
分析：利用交集的运算直接求解即可
详解：∵集合 ， ，
∴ ，
故选： ．
点睛：本题考查交集的运算，属基础题.
10．B
【解析】
试题分析：由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得所给式子的值．
解：sin347°cos148°+sin77°cos58°=﹣sin13°•（﹣cos32°）+cos13°sin32°
=sin（13°+32°）=sin45°= ，
故选：B．
考点：三角函数的化简求值．
11．
【解析】
【分析】
利用诱导公式、分类讨论 k，求得要求式子的值．
【详解】
当 k=2n，n∈Z 时， = =﹣1；
当 k=2n+1，n∈Z 时， = =﹣1，
综上可得，： =﹣1．
故答案为：-1.
{ }1,2,3,4A = { }1,3,5B =
{ }1,3A B =
A
1−
( ) ( )
( ) ( )
1
1
sin k cos k
sin k cos k
π α π α
π α π α
− − −
+ + +
( )sin cos
sin cos
α α
α α
− ⋅ −
− ⋅
( ) ( )
( ) ( )
1
1
sin k cos k
sin k cos k
π α π α
π α π α
− − −
+ + + ( )
sin cos
sin cos
α α
α α
⋅
⋅ −
( ) ( )
( ) ( )
1
1
sin k cos k
sin k cos k
π α π α
π α π α
− − −
+ + + 【点睛】
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
12． 或
【解析】
由正弦定理知， ，即 ， 由正弦
定理可得，
，由 ，可得
或 ，若 ，则 ，若 ，则
为等腰三角形，可得 或 ，故答案为 或 .
13．
【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离为 ，所以
，设 ，则 ，由直
线方程 圆 联立，可得 ，同理可得
，又 ，可得 ，即 ．
考点：直线与圆的位置关系的应用；向量的数量积的坐标运算．
14．
【解析】
【分析】
首先解绝对值不等式求得集合 A，根据偶次根式的条件求得集合 B，之后求得两集合的交集，
得到结果.
【详解】
解不等式 得 ，
1 2
2sin
b RB
= 12 sinR B
= 1sin cos sin cos ,2a B C c B A∴ + = ∴
2 sin sin cos 2 sin sin cosR A B C R B C A+
( )2 sin sin cos cos sinR B A C A C= +
( ) 2 12 sin sin 2 sin sin ,2 6R A C B R B B B
π= + = = = ∴ =
sin sin
b c
B C
=
3sin ,2 3C C
π= ∴ = 2
3
π
3C
π= , 22A a
π= = 2
3C π= ,6A ABC
π= ∆
1, 1a a= ∴ = 2a = 1 2根据 ，解得 ，所以 ，
故答案是： .
【点睛】
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，函数的定义
域，两集合的交集的求解，属于简单题目.
15．②③
【解析】
试题分析：对于①把函数 的图象向右平移 个单位，得到
的图象;因此错误
②函数 的图象在 x=1 处的切线平行于直线 y=x，则可知
，因此可知 ，
可知导函数大于零的解为 x> ，因此成立。
③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为 1∶3;根据内切球的半径为棱长的一半 ，而外
接球的半径是 ，代入公式可知满足题意，因此成立。
④“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的充要条件。因此错误。故填写②③
考点：导数以及球的知识综合运用。
点评：本题综合了导数的几何意义、运用导数判断函数的单调性和球的内接外切等知识点，
考查了命题真假的判断，属于中档题
16．（1）
（2）当 时,不等式组的解集为 ,
当 时,不等式组的解集为 .
【解析】
y=3sin(2x )3
π+
3
π
sin[2( ) ] sin(2 )3 3 3y x x
π π π= − + = −
2( ) lnf x ax x= −
1'( ) 2 '(1) 1 2 2 1f x ax f a ax
= − ∴ = ∴ = = 1 ( 2 1)( 2 1)'( ) 2 x xf x x x x
+ −= − =
2
2
2
a
3
2 a
(0,4)
6a ≤ − 2 24 12 4 12(1, ) ( , )2 2
a a a a a a− − + − − + + − +∞
6a > − (1, )+∞【分析】
(1)由当 时, 恒成立,即 恒成立，
即 ，可得 ，再求解即可；
(2)当 时, , 的图象的对称轴为 ，再分
三种情况讨论即可得解.
【详解】
解：(1)当 时, 恒成立,即 恒成立，
因为 ,
所以 ,解之得 ,
所以实数 的取值范 ；
(2)当 时, , 的图象的对称轴为 ，
(ⅰ)当 ,即 时,由 ,得 ,
(ⅱ)当 ,即 或 时
①当 时,由 ,得 ,所以 ,
②当 时,由 ,得 ,所以 或 ,
(ⅲ)当 ,即 或 时,方程 的两个根为 ,
,
①当 时,由 知 ,所以 的解为 或 ,
②当 时,由 知 ,所以 的解为 ,
4a = − 2 24 4 3x x b b b− + + > − 2 24 4 4x x b b− + > −
2 2
min( 4 4) 4x x b b− + > − 2 4 0b b− <
3b = 2( ) 3f x x ax a= + + − ( )f x
2
ax = −
0, 0, 0∆ < ∆ = ∆ >
4a = − 2 24 4 3x x b b b− + + > − 2 24 4 4x x b b− + > −
( )22 4 4 2x x x− + = − ≥0
2 4 0b b− < 0 4b< <
b (0,4)
3b = 2( ) 3f x x ax a= + + − ( )f x
2
ax = −
∆ < 0 6 2a− < < ( ) 0
1
f x
x
>
> 1x >
0∆ = 2a = 6−
2a = ( ) 0
1
f x
x
>
>
2 2 1 0
1
x x
x
+ + >
> 1x >
6a = − ( ) 0
1
f x
x
>
>
2 6 9 0
1
x x
x
− + >
> 1 3x< < 3x >
> 0∆ 6a < − 2a > ( ) 0f x = 2
1
4 12
2
a a ax
− − + −=
2
2
4 12
2
a a ax
− + + −=
6a < −
(1) 0
32
f
a
>− >
1 21 x x< < ( ) 0
1
f x
x
>
> 11 x x< < 2x x>
2a >
(1) 0
12
f
a
>− < −
1 2 1x x< < ( ) 0
1
f x
x
>
> 1x >综上所述：
当 时,不等式组的解集为 ,
当 时,不等式组的解集为 .
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题及解二次不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中
档题.
17． .
【解析】
【分析】
先求出点 的坐标，结合已知条件列出变量 、 所满足的约束条件，利用
转化为可行域内的点 与原点的距离，利用数形结合思想求出 的最大值，作为
的最大值，由此利用等边三角形的面积公式可求出 面积 的最大值.
【详解】
如下图所示：
为等边三角形，则顶点 是以 、 为圆心， 为半径的两圆在第一象限的交点，
由圆 ，圆 ，
解得 ， ，得点 .
位于正方形区域 内，即 、 、 三点都在区域 内，
6a ≤ − 2 24 12 4 12(1, ) ( , )2 2
a a a a a a− − + − − + + − +∞
6a > − (1, )+∞
2 3 3−
C a b 2 2AB a b= +
( ),M a b OM
AB ABC∆ S
ABC∆ C A B AB
( )2 2 2 2:A x a y a b− + = + ( )22 2 2:B x y b a b+ − = +
3
2
a bx
+= 3
2
a by
+= 3 3,2 2
a b a bC
+ +
ABC∆ D A B C D则 ，即 ，作出该不等式组所表示的可行域如下图所示：
是边长为 的正三角形， ，
当 取最大值时， 取得最大值，
的几何意义为可行域内的点 与原点的距离，
由六边形中 、 、 的计算， ，
，所以，当点 与点 、 、 某点重合时， 取得最大
值，此时 也取得最大值时，则 取得最大值，
因此， .
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划的应用，解题的关键就是要确定 、 所满足的约束条件，并利
用非线性目标函数的几何意义求出相应的最值，同时也考查了三角形的面积，综合性较强，
属于难题.
18．(1) (2)
【解析】
【分析】
0 1
0 1
30 12
30 12
a
b
a b
a b
≤ ≤
≤ ≤
+ ≤ ≤
+ ≤ ≤
0 1
0 1
0 3 2
0 3 2
a
b
a b
a b
≤ ≤
≤ ≤ ≤ + ≤
≤ + ≤
ABC∆ 2 2AB a b= + ( )2 23
4S a b= +
AB S
2 2AB a b= + ( ),M a b
OP OQ OR ( )22 2 1 2 3 8 4 3OP OR= = + − = −
( )22 2 3 1 8 4 3OQ = − = − M P Q R OM
AB S
( )2
max
3 3 8 4 3 2 3 34 4S OP= = × − = −
a b【详解】
试题分析：（1）首先分析命题 ：根据方程有两个不相等的负根，可根据判别式和根与系数
的关系列式，命题 ，当 均为真命题时，即求两个命题 取值范围的交集；（2）若
满足条件，根据真值表可知 一真一假，分 真 假，或 假 真解得 的取值范围.
试题解析：（1）若命题 为真，则有
，解得
若命题 为真，则有 ，解得
若 均为真命题，则 ，即 .
即 的取值范围是 .
（2）若命题 为假，命题 为真，则 一真一假.
当 真 假，则 ，解得 ；
当 假 真，则 ，解得 ；
所以 的取值范围为 .
19．（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）求出集合 ，即可得结果；
（2） ，对集合 是否空集讨论，即可求出结果.
【详解】
（1）当 时， ，
；
（2）若 ，
( ) { 1 3}RC A B x x x∪ = < ≥或 1
2a ≤ − 2a ≥
A
A B = ∅ A
1a = { | 0 3}, { | 0 3}RA x x C A x x x= < < = ≤ ≥或
( ) { 1 3}RC A B x x x∪ = < ≥或
, 1 2 1, 2A a a a= ∅ − ≥ + ≤ −若 ， ，
解得 ，
综上，实数 的取值范围是 或 .
【点睛】
本题考查集合间的基本运算，要注意空集情况，属于基础题.
20．（Ⅰ）最小正周期为 ，单调增区间为 ；（Ⅱ）最小值和最
大值分别为 和 0
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 化为 ，
利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数
的递增区间；（Ⅱ）由 可得 ，结合正弦函数的单
调性即可得结果．
【详解】
（Ⅰ）化简可得
= sin2x﹣ （1+cos2x）﹣
= sin2x﹣ cos2x﹣1
=sin（2x﹣ ）﹣1，
∴f（x）的最小正周期 T= =π，
由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 可得 kπ﹣ ≤x≤kπ+
∴函数的单调增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]k∈Z；
,A ≠ ∅ A B = ∅
1 2 1
2 1 0, 1 1
a a
a a
− < +
+ ≤ − ≥ 或
12 , 22a a− < ≤ − ≥或
a 1
2a ≤ − 2a ≥
π , ,6 3k k k Z
π ππ π − + ∈
3 12
− −
( )f x 2 16sin x
π − −
( )f x 5,12 12x
π π ∈ −
22 ,6 3 3x
π π π − ∈ − （Ⅱ）当 x∈[﹣ ， ]时，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴sin（2x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴函数 f（x）的最小值和最大值分别为﹣ ﹣1 和 0．
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于基础题. 以三角恒等变换
为手段，对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不
大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一
定要熟练掌握并灵活应用，特别是三角函的图象与性质要熟记于心.
21．(1) （2）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）a＞b＞﹣1，则﹣a＜﹣b＜1，求出集合 A，再求 A∩B；
（2）根据 a2＋ ∈ ，说明 a2＋ 满足集合 CUB 中元素的几何性质，代入解不等式，可
得答案．
试题解析：
（1）因为 ，所以 ，故 ，
，因此 ．
（2） ＝{x (x－1)(x＋a)≤0}，由 a2＋ ∈ 得(a2－ )( a2＋ ＋a)≤0，
解得 或 ，所以 的取值范围是 ．
{ }1A B x x a x∩ = − 或 3 3
2 2a a
− ≤ ≤
1
4 U A
1
4
1a b> > − 1a b− < − < A = { }| 1x x a x− 或
{ }B x x a x b= − −或 { }1A B x x a x∩ = − 或
U A
1
4 U A
3
4
1
4
1
2a = − 3 3
2 2a− ≤ ≤ a 3 3
2 2a a
− ≤ ≤
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