江西2019-2020高二数学（理）4月线上测试试题（带答案word版）

莲塘一中 2019-2020 学年高二年级 4 月网络考试 理科数学试卷 一、单选题（15 小题，每题 5 分，共 75 分） 1．若命题 ；命题 ，则下列命题为真命 题的是（ ） A． B． C． D． 2．在 中，“ ”是“ ”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知条件 p： ；条件 q： ，若 q 是 p 的充分 不必要条件，则实数 m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（ ） A．命题“ ”的否定是“ ” B．命题“已知 ，若 则 或 ”是真命题 C．命题“若 则函数 只有一个零点”的逆命题为真命题 D．“ 在 上恒成立” 在 上恒成立 5．椭圆以双曲线 的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方 程为（ ） A． B． C． D． 6．设 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上的一点且满足三 角形 的面积是 12，则 （ ） A． B． C． D． 2: , 1 0p x R x x∀ ∈ + + ≥ [ ] 2 0 0: 1,2 , 1 0q x x∃ ∈ − < ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q¬ ∨ ( )p q∧ ¬ p q∧ ABC∆ 2C π= sin cosA B= ( )( )3 0x m x m− − − > 2 3 4 0x x+ − < ( ], 7 [1, )−∞ − +∞ ( , 7) (1, )−∞ − +∞ ( )7,1− [ ]7,1− , 0xx R e∀ ∈ > , 0xx R e∃ ∈ > ,x y R∈ 3,x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠ 1,a = − 2( ) 2 1f x ax x= + − 2 2x x ax+ ≥ [ ]1,2x∈ 2 min min( 2 ) ( )x x ax⇔ + ≥ [ ]1,2x∈ 2 2 116 9 x y− = 2 2 125 9 x y+ = 2 2 125 9 y x+ = 2 2 125 16 x y+ = 2 2 125 16 y x+ = 1 2,F F 2 2 2: 1( 6)16 x yC aa + = > P 1 2PF F 1 2tan F PF∠ = 3 4 3 2 4 3 24 77．已知 ， 为双曲线 C： （ ）的左、右焦点，P 为双曲线 C 左 支上一点，直线 与双曲线 C 的一条渐近线平行， ，则 （ ） A． B．2 C．1 D．5 8．已知椭圆 的上焦点为 ， 是椭圆上一点，点 ，当点 在椭圆上运动时， 的最大值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 9．已知双曲线 的左焦点为 ， 是双曲线右支上的一点，点 关于原点的对称点为 ，若 在以 为直径的圆上，且 ， 则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．下列函数求导运算正确的个数为（ ） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数 ， ，直线 l 分别与曲线 ， 相切 于点 ， ，则 （ ） A．0 B．1 C．2 D．e 12．已知三次函数 的导函数为 ，则函数 与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 13．给出定义：如果函数 在 上存在 ， ，满足 ， ，则称实数 ， 为 上的“对 1F 2F 2 2 2 14 x y a − = 0a > 1PF 1 2PF PF⊥ a = 5 2 2 19 5 y x+ = F M ( )2 3,0A M MA MF+ 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F M M N F MN 5,3 12FNM π π ∠ ∈   (1, 2] [ 2, 3 1]+ (1, 3 1]+ [ 2, )+∞ 3(3 )' 3 logx x e= 2 1(log )' ln 2x x = ( )'x xe e= 1( )'ln xx = ( )' 1x xxe e= + ( ) xf x e= ( )g x x= ( )y f x= ( )y g x= ( )( )1 1,x f x ( )( )2 2,x g x 1 2x x+ = ( ) 3 22 6f x ax ax bx= + + ( )f x′ ( )f x ( )f x′ ( )f x [ ],a b 1x ( )2 1 2x a x x b< < < ( ) ( ) ( ) 1 f b f af x b a −′ = − ( ) ( ) ( ) 2 f b f af x b a −′ = − 1x 2x [ ],a b望数”，函数 为在 上的“对望函数”.已知函数 是 上的“对望函数”，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．若定义在 R 上的函数 满足 其中 是 的导数，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 15．函数 ，关于 的方程 恰有四个不同实数 根，则正数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 二．填空题（5 题，每题 5 分，共 25 分） 16．为迎接 年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等 名队员参加选拔 赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为 ，“乙得第一名”为 ，“丙得 第一名”为 ，若 是真命题， 是真命题，则得第一名的是 __________. 17．已知 、 是椭圆 的左，右焦点，点 为 上一点， 为坐标原点， 为正三角形，则 的离心率为__________． 18．已知抛物线 的焦点为 F，准线为 ，经过 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，A 在第一象限， ， ，垂足分别为 M，N，且 的面积是 的面积的 3 倍，则直线 的斜率为________. 19．已知函数 有两个极值点，则实数 m 的取值范围 为________. 20．已知函数 ， ，若任意 ，存在 ，使 ，则实数 的取值范围是__________． ( )f x [ ],a b ( ) 3 21 3f x x x m= − + [ ]0,m m 3 ,32      ( )2,3 3 ,2 32     ( )2,2 3 ( )f x ( ) ( ) 1f x f x′ > + ( )f x′ ( )f x ( )0 3f = ( ) 1 4 xf x e+ < ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( ) ( )2 3 xf x x e= − x ( ) ( )2 1 0f x mf x− + = m ( )0,2 ( )2,+∞ 3 3 60, 6 e e  +   3 3 6 ,6 e e  + +∞   2022 6 p q r p q∨ ( )p r¬ ∨ 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > P C O 2POF∆ C 2 4y x= l AM l⊥ BN l⊥ MAB△ NAB△ l 2 ( ) ( 1) 2( )2 xxf x m e m= + + + ∈R 1( ) 1f x x x = − + 2( ) 2 4g x x ax= − + [ ]1 0,1x ∈ [ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ a三、解答题（21 题 12 分，22 题 12 分，23 题 13 分，24 题 13 分，共 50 分） 21．设 ， ：函数 的定义域为 R，q：函数 在区间 上有零点. （1）若 q 是真命题，求 a 的取值范围； （2）若 是真命题，求 a 的取值范围. 22．已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆 的左， 右焦点，直线 过点 与椭圆 交于 两点，当直线 的斜率为 时，线段 的 长为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆 交于 两点，求四边形 面 积的最小值. 23．已知 为常数，函数 （1）过坐标原点作曲线 的切线，设切点为 ，求 ； （2）令 ，若函数 在区间 上是单调减函数，求 的取值范围. 24．已知函数 ，其中 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ，若对于任意的 ， ，有 ，求实 数 的取值范围． a R∈ p ( )2ln 4 1y x ax= + + 2( ) 4f x x x a= − − [ ]0,3 ( )p q∨ ¬ ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 1 2,F F C l 1F C ,A B l 1 AB 8 3 C 1F l l′ C ,D E ADBE a 2( ) ln .f x x ax x= + − ( )y f x= 0 0( , )P x y 0x ( )( ) x f xF x e = ( )F x (0,1] a 21( ) ( 1)ln2f x x a x ax= + − − a∈R ( )f x 1a > 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 1f x f x x x − > −− a莲塘一中 2019-2020 学年高二年级 4 月网络考试 理科数学试卷参考答案 1．C【详解】对命题 ， ，所以命题 是真命题； 对命题 ， 时， ，所以命题 为假命题； 所以 、 、 为假命题， 为真命题.故选：C 2．B【解析】当 时， ，所以 ，成立；当 时，如取 时， 成立，此时 ，所以不成 立；综上知“ ”是“ ”的”的充分不必要条件， 3．A【详解】对于条件 ， ，解得 . 对于条件 ，由 ，解得 或 . 由于 q 是 p 的充分不必要条件，所以 或 ，解得 . 4．B【详解】A．“ ”的否定为“ ”，故错误； B．原命题的逆否命题为“若 且 ，则 ”，是真命题，所以原命题是真命题， 故正确； C．原命题的逆命题为“若函数 只有一个零点，则 ”， 因为 时， ，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误； p 2 2 31 04 1 2x x x + +   + = + > p q [ ]0 1,2x ∈ 2 0 1 0x − ≥ q ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q¬ ∨ p q∧ ( )p q∧ ¬ 2C π= 2A B π= − sin sin( ) cos2A B B π= − = sin cosA B= 120 , 30A B= ° = ° sin cosA B= 30C = ° 2C π= sin cosA B= q ( )( )2 3 4 4 1 0x x x x+ − = + − < 4 1x− < < p ( )( )3 0x m x m− − − > x m< 3x m> + 3 4m + ≤ − m 1≥ ( ], 7 [1, )m∈ −∞ − +∞ , 0xx R e∀ ∈ > , 0xx R e∃ ∈ ≤ 2x = 1y = 3x y+ = 2( ) 2 1f x ax x= + − 1a = − 0a = ( ) 2 1f x x= −D．“ 在 上恒成立” “ 在 上恒成立”，故错 误.故选：B. 5．A【详解】双曲线 的一个焦点 ，则 是椭圆的一个顶点，则所求椭圆 方程中的长半轴 ． 双曲线 的一个顶点为 ，则 是椭圆的一个焦点，则椭圆的半焦距 ， 则 ． 椭圆的标准方程为 故选：A． 6．D【详解】解：设 ， ，则 ，即 ， ， ， ， ，得 ， .故选：D. 7．C【详解】可设 ，由斜率定义和三角函数可得： ， 由双曲线第一定义可得; ，又 ， 2 2x x ax+ ≥ [ ]1,2x∈ ⇔ min 2x ax  + ≥   [ ]1,2x∈ 2 2 116 9 x y− = (5 )0， (5 )0， 5a = 2 2 116 9 x y− = 4 0（ ，） (4 0)， 4c＝ 3b = 2 2 125 9 x y+ = 1 2F PF α∠ = 1 2,PF m PF n= = 1 sin 122 mn α⋅ = 24sin mn α = 2 2 2 2 2 2 24 ( ) 2 4 4 4 2 64 2 32cos 12 2 2 2 m n c m n mn c a c mn mn mn mn mn mn mn α + − + − − − − −= = = = = − 32cos 1 mn α∴ + = sin 24 3 cos 1 32 4 α α∴ = =+ 2 2sin cos 32 2 42cos 2 α α α∴ = 3tan 2 4 α = 1 2 2 2 32tan 2 242 4tan 731 tan 12 4 F PF α α × ∠ = = =  − −   1 2,PF m PF n= = 2 1 2 1 2tan PF n bPF F PF m a a ∠ = = = = 2 1 2PF PF n m a− = − = 1 2PF PF⊥故 ，由以上三式解得 故选：C 8．D【详解】如图所示,设椭圆的下焦点为 ,则 ， ∵ , 当且仅当 A,F′,M 共线且 F′在线段 上时等号成立, ∴ 的周长为 ， 所以 的周长的最大值为 ， 此时 ，故选：D. 9．B【详解】由题意，得点 也在双曲线上，且 ，设双曲线的右焦点为 根据双曲线的定义： 又因为 ，所以 因为 是 斜边上的中点，所以 设 ，则 ，所以 所以 因为 ，所以 所以 所以 故选：B． 10．B 详解：对于① ,所以错误；对于② ，所以正确； 对于③ ，所以正确；对于④ ，所以错误； 对于⑤ ,所以错误.故答案为：B 11．B【详解】由己知得直线 l 的方程为： ， ， ( )2 2 2 2 1 4 4PF PF a+ = + 1a = F ′ | | 4AF AF ′= = | | 2 6MF MF a′+ = = | |MA MF AF′ ′− ≤ AM AMF | | | | | | | | | | 6AF MA MF AF MA MF ′+ + = + + − 4 6 4 14≤ + + = AMF 14 | | 14 4 114 0AMA MF F= = −− =+ N FM FN⊥ 2F 2| | 2MF MF a− = 2 | |MF NF= | | | | 2MF NF a− = O Rt MFN | | 2 2MN OF c= = FNM θ∠ = | | 2 sin ,| | 2 cosMF c NF cθ θ= = 2 sin 2 cos 2c c aθ θ− = 1 1 sin cos 2 sin 4 c a πθ θ θ = =−  −   5,3 12 π πθ  ∈   ,4 12 6 π π πθ  − ∈   sin ,4 6 2 1 4 2 πθ   − ∈      − [ 2, 3 1]c a ∈ + ( )3 ' 3 ln3x x= ( )2 1log ' ln2x x = ( )'x xe e= 1 'lnx   =   2 1 lnx x ( )'x x xxe e xe= + ( )1 1 1e ex xy x x− = − ( )2 2 2 1 2 y x x x x − = −∴ ，∴消去 整理得 . 故选：B. 12．D【详解】已知 是三次函数，故 ， ，二次函数的对称轴为 ，且 ，因此可以排除 A，B 两个选项. 对于选项 D：二次函数 过 ，因此 ，且 ， 因此 ，当 时， ，所以 单调 递增；当 时， ，所以 单调递增；当 时， ，所以 单调递减，此时图象 D 符合； 对于选项 C：二次函数 过原点，因此 ，所以 且 ，当 时， ，所以 单调递增；当 时， ，所以 单调递增；当 时， ，所以 单调递减，因此 是三次函数的极 小值点，图象 C 不符合. 故选：D 13．A【详解】由题： ， ， 根据题意函数 是 上的“对望函数”，即 在区间 上有两个解， 令 ， ， ，解得 故选：A ( ) 1 1 2 2 1 1e 2 e 1 2 x x x xx  =  − = 1ex 1 2 1x x =+ ( )f x 0a ≠ ( ) ( )3 2 ' 22 6 6 12f x ax ax bx f x ax ax b= + + ⇒ = + + 1x = − (0) 0f = ( )f x′ ( 4,0),(2,0)- 4 2 486 b b aa- ´ = Þ = - 0a > ( )' 26 12 6 ( 2)( 4)f x ax ax b a x x= + + = − + 2x > ( )' 0f x > ( )f x 4x < − ( )' 0f x > ( )f x 4 2x− < < ( )' 0f x < ( )f x ( )f x′ 0b = ( )' 26 12 6 ( 2)f x ax ax ax x= + = + 0a > 0x > ( )' 0f x > ( )f x 2x < − ( )' 0f x > ( )f x 2 0x− < < ( )' 0f x < ( )f x 0x = ( ) ( ) 20 1 3 f m f m mm − = − ( ) 2 2f x x x′ = − ( ) 3 21 3f x x x m= − + [ ]0,m 2 212 3x x m m− = − ( )0,m ( ) 2 212 3g x x x m m= − − + ( )0,x m∈ ( ) ( ) 2 2 2 44 4 03 1 (0, ) 10 03 2 03 m m m g m m g m m m ∆ = + − >  ∈ = − + >   = − > 3 32 m< ( )g x ( ) ( )0 0 1 4g f= + = ( ) 1 4 xf x e+ < ( ) 1 4x f x e + < ( ) ( )0g x g< ( ) 1 4 xf x e+ < ( ),0−∞ ( ) ( ) ( )( )2 2 3 3 1x xx x e xf ex x= + − = + −′ ( ) 0f x′ = 3x = − 1x = 3x < − ( ) 0f x′ > ( )f x ( ), 3−∞ − ( ) 0f x > 3 1x− < < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )3,1− 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,+∞ ( ) 3 63f e − = ( )1 2f e= − ( )f x t= 2 1 0t mt− + = 3 60, e      3 6 ,e  +∞   ( )2 ,0e− m ( )2 ,0e− ( ) 2 1g x x mx= − + ( )0 1 0g = > 3 6 0g e   + m 3 3 6 ,6 e e  + +∞   p q∨ p q r ( )p r¬ ∨ p¬ p q 3 1− 2POF， 所以 是直角三角形.因为 ， ，所以 , .因 为 ，所以 即 ，所以 . 18． 【详解】如图所示:过 作 于点 ,则 , 根据抛物线的定义可知: ,又 的面积是 的面 积的 3 倍, 则有 ,所以 , 所以 ,所以直线 的斜率为 , 19． 【详解】由题意得： . 有两个极值点， 有两个不等实根， 即 有两个不等实根，可等价为 与 有两个 不同交点， ， 当 时， ；当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， ；当 时， ；当 时， ， 可得 图象如图所示：由图象可知，若 与 有两个不同交点，则 ， 1 2| | | | | |OF OP OF= = 1 2F PF∆ 2 1 60PF F∠ =  2 1| | 2F F c= 2| |PF c= 1| | 3PF c= 2 1| | | | 2PF PF a+ = 3 2c c a+ = 2 3 1 3 1 c a = = - + 3 1e = − 3 B BD AM⊥ D BN MD= ,AM AF BN BF= = MAB△ NAB△ 3 , 2AM BN AD BN= = 4AB AF BF AM BN BN= + = + = 2 2 tan 3BD AB ADDAB AD AD −∠ = = = l 3 11 , 1e  − − −   ( ) ( )1 xf x x m e′ = + + ( )f x ( ) 0f x′∴ = 1 x xm e + = − 1y m= + ( ) x xg x e = − ( ) 2 1x x x x e xe xg x e e − −′ = − = ∴ ( ),1x∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x∴ ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ) ( )min 11g x g e ∴ = = − x → −∞ ( )g x → +∞ x → +∞ ( ) 0g x → ( )g x 1y m= + ( ) x xg x e = − 1 1 0me − < + + ( )f x [ ]0,1 min( ) (0) 1f x f∴ = = − [ ]1,2x∈ 2( ) 2 4 1g x x ax= − + ≤ − 5 2 2 xa x ≥ + 5( ) 2 2 xh x x = + ( )a h x≥ [ ]1,2x∈ min( )a h x≥ 2 ' 2 2 5 5( ) 02 2 2 1 xh x x x −= − = < [ ]1,2x∈ 5( ) 2 2 xh x x = + [ ]1,2x∈ min 9( ) (2) 4h x h∴ = = 9 4a∴ ≥ a 9 ,4  +∞  [ ]4,0− { 4a a < − 1}2a > − 2 4a x x= − [ ]0,3x∈ y a= [ ]2 4 , 0,3y x x x= − ∈ [ ]2 4 , 0,3y x x x= − ∈ [ ]4,0− [ ]4,0− 2 4 1 0x ax+ + > x∈R 2(4 ) 4 0a − < 1 1 2 2a− < < 1 1 2 2A a a  = − < ( )p q∨ ¬ A B = { 4a a < − 1}2a > −22．（1） （2） （1）由题意得： ， ， . 当直线 斜率为 时， 与上顶点重合， ， ， 设 ，则 ， ，即 ，解 得： ， ，解得： ， ， 椭圆 的方程为 . （2）由（1）知： .当直线 斜率不存在或斜率为 时，四边形 面积为 ； 当直线 斜率为 时，设直线 的方程为： ， ， ， 则直线 的方程为： ，将直线 代入椭圆 的方程得： ， ， ， 将 换作 可得： . 四边形 面积 （当且仅当 ，即 时取等号）， 2 2 14 2 x y+ = 32 9 2 2 ce a = = 2a c∴ = 2 2b a c c∴ = − = ∴ l 1 A 1 2AF AF a∴ = = 2 90BAF∠ =  1BF x= 2 2BF a x= − 2 2 2 2 2AB AF BF+ =∴ ( ) ( )2 22 2a x a a x+ + = − 3 ax = 4 8 3 3AB a∴ = = 2a = 2b∴ = ∴ C 2 2 14 2 x y+ = ( )1 2,0F − l 0 ADBE 4 l ( )0k k ≠ l ( )2y k x= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l′ ( )1 2y xk = +- l C ( ) ( )2 2 2 21 2 4 2 4 1 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 2 4 2 1 2 kx x k ∴ + = − + ( )2 1 2 2 4 1 1 2 k x x k − = + ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 1 2 1 2 2 2 4 14 21 4 1 41 2 1 2 kkAB k x x x x k k k  −  ∴ = + + − = + − − ×      + +    ( )2 2 4 1 1 2 k k + = + k 1 k − ( )2 2 4 1 2 k DE k + = + ∴ ADBE ( ) ( )2 2 2 2 1 2 4 1 4 11 2 1 2 2 k k S AB DE k k + + = ⋅ ⋅ = ⋅× ≥+ + ( ) ( )2 2 22 2 4 1 4 11 32 2 91 2 2 2 k k k k + ⋅ + × =  + + +    2 21 2 2k k+ = + 1k = ±， 四边形 面积最小值为 . 23．（1） ；（2） . 【详解】（1） ，所以切线的斜率为 ，切线方程为 。 将 代入得 ，即 ，显然 是方程的解， 又 在 上是增函数， 方程 只有唯一解，故 ； （2） 设 ， 在 上是减函数， ， 当 时，即 时， ， 在 是增函数，又 ， 在 恒成立，即 在 恒成立， 在 上单调递减函数，所 以 ，满足题意， 当 时，即 ， ，函数 有唯一的零点，设为 ，则 在 上单调递增， 在 单调递减，又 ，又 在 内唯一零点 ， 当 时， ，当 时， ， 从而 在 单调递减，在 单调递增，不合题意，所以 的取值范围是 . 24．（1）见解析（2） （1）函数 的定义域为 ， ． ①若 ，则当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减； 32 49 0, ( )x h x′→ → +∞ ( )h x′ 0x ( )h x 0(0, )x 0( ),1x 0(1) 0, ( ) 0h h x= ∴ > ( ) 0, ( )ah e h x− < ∴ (0,1) m (0, )x m∈ ( ) 0, ( ) 0h x F x′< < ( ,1)x m∈ ( ) 0, ( ) 0h x F x′> > ( )F x (0, )m ( ,1)m a 2a ≤ (1,5] ( )f x (0, )+∞ 1 ( 1)( 1)( ) a x x af x x ax x − − − +′ = + − = 1a ≤ (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (0,1)当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增． ②若 ，则当 或 时， ， 所以函数 在区间 ， 上均单调递增； 当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减． ③若 ，则当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增． ④若 ，则当 或 时， ， 所以函数 在区间 ， 上均单调递增； 当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减． 综上所述，当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 当 时，函数 在区间 ， 上均单调递增，在区间 上单调递 减； 当 时，函数 在区间 上单调递增； 当 时，函数 在区间 ， 上均单调递增，在区间 上单调递 减． （2）不妨设 ，则 可化为 ． 令 ，则函数 在区间 上单调递增． 所以 在区间 上恒成立． 即 在区间 上恒成立．（*） 因为 ，所以 ，所以，要使（*）成立，只需 ， 解得 ．故所求实数 的取值范围为 ． (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞ 1 2a< < (0, 1)x a∈ − (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, 1)a − (1, )+∞ ( 1,1)x a∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1,1)a − 2a = (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x (0, )+∞ 2a > (0,1)x∈ ( 1, )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1) ( 1, )a − +∞ (1, 1)x a∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x (1, 1)a − 1a ≤ ( )f x (0,1) (1, )+∞ 1 2a< < ( )f x (0, 1)a − (1, )+∞ ( 1,1)a − 2a = ( )f x (0, )+∞ 2a > ( )f x (0,1) ( 1, )a − +∞ (1, 1)a − 1 2x x< ( ) ( )1 2 1 2 1f x f x x x − > −− ( ) ( )1 1 2 2f x x f x x+ < + 21( ) ( ) ( 1)ln2F x f x x x a x ax x= + = + − − + ( )F x (0, )+∞ 21 ( 1) 1( ) ( 1) 0a x a x aF x x a x x − − − + −′ = − − + = ≥ (0, )+∞ 2 ( 1) 1 0x a x a− − + − ≥ (0, )+∞ 1a > 1 02 a − > 2( 1) 4( 1) 0a a∆ = − − − ≤ 1 5a< ≤ a (1,5]