高二理科数学线上考试答案.pdf

第 1 页，共 9 页 长春二中 2019-2020 学年度下学期高二年级线上考试试题 理科数学 答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】 ​ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． ​ 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题 p： ∃ n＞1，n2＞2n，则¬p 为： ∀ n＞1，n2≤2n． 故选 C. 2.【答案】C 【解析】解：由 a＞0，b＜0 知，ab＜0，ab2＞0， 又由-1＜b＜0 知 0＜b2＜1， 所以 ab2＜a， 故选：C． 根据 a，b 的范围以及不等式的性质，判断即可． 本题考查了不等式的性质，是一道基础题． 3.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查曲线的参数方程， 属于基础题型，直接求解即可. 【解答】 解： 方程 ( 为参数)， ( 为参数)， 消去参数得 , 由四个选项可得，B 点在曲线上， 故选 B. 4.【答案】A 【解析】解： ∵ 伸缩变换 ​ ， ∴ x= x′，y= y′， 代入曲线 y=sin2x 可得 y′=3sin x′，即 y=3sin x． 故选 A． 利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程． 本题考查代入法求曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础． 5.【答案】D第 2 页，共 9 页 【解析】【分析】 ​ 解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面 所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一 一否定，只需否定其一即可． 反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”． 【解答】 解： ∵ “最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确， ∴ 应假设：至少有两个角是钝角． 故选：D． 6.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查古典概型的计算问题，属于基础题. 这个题目的基本事件总数是 36，所以只需要从中找出符合要求的基本事件即可. 【解答】 解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数， 基本事件总数 n=6×6=36， 向上的点数之差的绝对值为 2 包含的基本事件有： （1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5）， ​ （5，3），（4，6），（6，4），共有 8 个， ∴ 向上的点数之差的绝对值为 2 的概率为 P= = ． 故选 B. 7.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查极坐标化为直角坐标，两点间的距离公式的应用，属于基础题. 求出点的直角坐标和圆的直角坐标方程及圆心坐标，利用两点间的距离公式求出所求的 距离. 【解答】 解：点 的直角坐标为（1， ）， 圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为 x2+y2=2x，即 （x-1）2+y2=1， 故圆心为（1，0）， 故点（2， ）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为 = ， 故选 D． 8.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在第 3 页，共 9 页 平面上的射影，属于基础题. 要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可 得 C1O ⊥ 平面 DBB1D1​ ． 【解答】 解：由题意，连接 A1C1，交 B1D1 于点 O， ∵ 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=4， ∴ C1O ⊥ B1D1, 又 平面 , 平面 , , , 平面 DBB1D1， 平面 DBB1D1, ∴ C1O ⊥ 平面 DBB1D1​ , ∴ 直线 BC1 和平面 DBB1D1 所成角为 ， 在 Rt △ BOC1 中，C1O=2 ，BC1=2 ， . 即直线 和平面 所成角的正弦值等于 . 故选 C． 9.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，属基础题. 利用绝对值三角不等式求得|x-a|+|x-1|的最小值为|a-1|，可得|a-1|≤3，由此求得实数 a 的 取值范围． 【解答】 解：由|x-a|+|x-1|≥|（x-a）-（x-1）|=|a-1|， ​ 不等式|x-a|+|x-1|≤3 有解，可得|a-1|≤3， 即-3≤a-1≤3，求得-2≤a≤4. 故选 D. 10.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查充分条件、必要条件的判断，解绝对值不等式，属于基础题. ​ ​ 因为“若￢p，则￢q”的等价命题是“若 q，则 p”，所以 q 是 p 的充分不必要条 件，即命题 q 的解集是命题 p 的解集的真子集，利用数轴求解即可． 【解答】 解：由|x+1|＞2，可得 x＜-3 或 x＞1， 所以 p：x＜-3 或 x＞1； q：x＞a， ∵ 是 的充分不必要条件， ∴ q 是 p 的充分不必要条件， 根据数轴有：第 4 页，共 9 页 ∴ a≥1， 故选 D． 11.【答案】D 【解析】解：观察已知的等式：f（2）= ， f（4）＞2，即 f（22）＞ f（8）＞ ，即 f（23）＞ ， f（16）＞3，即 f（24）＞ ， …， 归纳可得： f（2n）＞ ，n ∈ N*） 故选：D． 根据已知中的等式 f（2）= ，f（4）＞2，f（8）＞ ，f（16）＞3，f（32）＞ ，…，我 们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案． 本题主要考查了归纳推理的问题，其一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相 同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 12.【答案】B 【解析】【分析】 此题主要考查柯西不等式的应用问题，属于基础题． 首先构造出柯西不等式求出（3a+2b）2 的最大值，即可得到答案． 【解答】 解：由柯西不等式得（3a+2b）2≤（a2+b2）（32+22）=52， 当且仅当 2a=3b 时取等号. 则-2 ≤3a+2b≤ 故选：B． 13.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查直线的几何意义，难度一般.求得过 M 的直线的参数方程，代入抛物线方程， 由韦达定理和参数的几何意义，可得|MA||MB|的值． 【解答】 解：由 M（-1，2）满足直线 x+y-1=0， 可设直线的参数方程为 （t 为参数）， 代入抛物线方程 y=x2 可得 ，第 5 页，共 9 页 则 t1t2=-2， 即有|MA||MB|=|t1t2|=2． 故选 A． 14.【答案】B 【解析】解：由 得，f′（x）=x-asinx，令 y1=x， y2=asinx， 在同一坐标系中作出 y1=x，y2=asinx 的图象，如图， 当 0＜x＜x0 时，y1＜y2，即 f′（x） =x-asinx＜0，故 f（x）单调递减； 当 x=x0 时，y1=y2，即 f′（x） =x-asinx=0，故 f（x）取最小值； 当 x0＜x＜π时，y1＞y2，即 f′（x） =x-asinx＞0，故 f（x）单调递增， ∴ f（x）有最小值无最大值． 故选：B． 由 得，f′（x） =x-asinx，令 y1=x，y2=asinx，作出图象，得到函数 f（x）的单调性情况，进而得出结论． 本题考查了根据导数判断函数是否存在最值，掌握根据导数的正负号，来判断原函数的 增减性是解题关键，考查了分析能力和计算能力，属于中挡题． 15.【答案】11 【解析】解： ∵ 数据 x1，x2，…，xn 的平均数为均值 =5， 则样本数据 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为： =5×2+1=11； 故答案为：11． 利用平均数计算公式求解 本题考查数据的平均数的求法，是基础题． 16.【答案】2 【解析】【分析】 本题主要考查极坐标的几何意义及其应用，由题意结合所给方程可得直线与圆的交点 为： ，结合题中所给的弦长确定 的值即可. 【解答】 解：很明显，直线与圆均经过极点，将 代入圆的方程可得： ， 据此可得直线与圆的交点为： ， 结合题中所给的弦长可得： .第 6 页，共 9 页 故答案为 2. 17.【答案】  3 4 【解析】解：由图形的对称性知，阴影部分的面积为 S 阴影=2 sindx=2（-cosx） =2×[-（cosπ-cos0）]=4， 圆 O：x2+y2=π2 的面积为 3 ， 则所求的概率值是 P=  3 4 ． 故答案为：  3 4 ． 由图形的对称性，利用定积分求出阴影部分的面积，再计算圆的面积和所求的概率值． 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 18.【答案】 【解析】解：设双曲线的右焦点为 F， 则 F 的坐标为（c，0）， ∵ 曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点， ∴ y2=4cx， ∵ ， ∴ = ， 则 M 为 F1N 的中点， ∵ O 为 F1F 的中点，M 为 F1N 的中点， ∴ OM 为 △ NF1F 的中位线， ∴ OM ∥ PF， ∵ |OM|=a， ∴ |NF|=2a 又 NF ⊥ NF1，|F1F|=2c， ∴ |NF1|=2b， 设 N（x，y），则由抛物线的定义可得 x+c=2a， ∴ x=2a-c 过点 F1 作 x 轴的垂线，点 N 到该垂线的距离为 2a． 由勾股定理 y2+4a2=4b2，即 4c（2a-c）+4a2=4（c2-a2）， 得 e2-e-1=0， ∴ e= ． 故答案为： ． 双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用 O 为 F1F 的中点，M 为 F1N 的中点，可得 OM 为 △ NF1F 的中位线，从而可求|NF1|，再设 N（x，y），过点 F1 作 x 轴的垂线，由勾股 定理得出关于 a，c 的关系式，最后即可求得离心率． 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义， 考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，综合性较强，运算量较大， 有一定的难度． 19.【答案】解：（1）由已知得当 时，不等式 f（x）≤6 化为-3x+3≤6，第 7 页，共 9 页 解得 x≥-1，所以取 ； 当 时，不等式 f（x）≤6 化为 x+5≤6， 解得 x≤1，所以取 ； 当 x＞4 时，不等式 f（x）≤6 化为 3x-3≤6， 解得 x≤3，不合题意，舍去； 综上知，不等式 f（x）≤6 的解集为[-1，1]． （2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9， 当且仅当- ≤x≤4 时取等号； ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 由不等式 f（x）+|x-4|＜a2-8a 有解，则 a2-8a＞9， 即（a-9）（a+1）＞0，解得 a＜-1 或 a＞9； 所以 a 的取值范围是（-∞，-1） ∪ （9，+∞）． 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式 f（x）≤6 的解集； （2）利用绝对值不等式求出 f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于 a 的不等式，求解集 即可． 本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题． 20.【答案】解：（1）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． 转换为直角坐标方程为： ． 曲线 C 的极坐标方程是 ， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 即 ， 转换为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y， 整理得：（x-1）2+（y-1）2=2， （2）将直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 代入（x-1）2+（y-1）2=2． 得到： ， 化简得： ， 所以： ， ,（t1 和 t2 为 A、B 对应的参数）． 故： ． 【解析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程的应用求出结果． 21.【答案】解：（1）由 10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）=1，解得 a=0.035． （2）第 1，2 组的人数分别为 20 人，30 人，从第 1，2 组中用分层抽样的方法共抽取 5 人， 则第 1，2 组抽取的人数依次为 2 人，3 人，分别记为 a1，a2，b1，b2，b3； 设从 5 人中随机抽取 3 人，则有（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1， b1，b2）， （a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），第 8 页，共 9 页 （b1，b2，b3）共 10 个基本事件； 其中第 2 组恰好抽到 2 人包含（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2， b1，b2）， （a2，b1，b3），（a2，b2，b3）共 6 个基本事件； 所以第 2 组抽到 2 人的概率 ． 【解析】（1）由频率分布直方图能求出 a． （2）第 1，2 组抽取的人数分别为 20 人，30 人，从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽 取 5 人，第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人，3 人，分别记为 a1，a2，b1，b2，b3．从 5 人中随机抽取 3 人，利用列举法能求出第 2 组抽到 2 人的概率． 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布直方图等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 22.【答案】解：（Ⅰ）由 • =0，可得 b=c， ∵ 过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|= ， ∴ = ， 由​ ，解得 a2=2，b2=1， ∴ 椭圆 C 的方程为 +y2=1. （Ⅱ）由题意得直线 l 的斜率存在， 设经过点（2，-1）且不经过点 M 的直线 l 的方程为 y+1=k（x-2），即 y=kx-2k-1， 代入椭圆方程 +y2=1 可得（2k2+1）x2-4k（1+2k）x+（8k2+8k）=0， 则 =-16k（k+2）＞0，设 G（x1，y1），H（x2，y2）． 则 x1x2= ，x1+x2= ， ∴ k1+k2= + = + =2k- ​ =2k-（2k+1）=-1， 即 k1+k2=-1. 【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，解 题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于中档题． （Ⅰ）由 • =0，可得 b=c，列出方程组，能求出椭圆 C 的方程． （Ⅱ）经过点（2，-1）且不经过点 M 的直线 l 的方程为 y+1=k（x-2），根据韦达定理 和斜率公式出 k1+k2=-1． 23.【答案】解：（1）当 a=1 时，f（x）=（x+1）lnx-x+2（x＞0）， f′（x）=lnx+ ，第 9 页，共 9 页 因为 f′（1）=1，f（1）=1， 所以曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x． （2）f′（x）=lnx+ +1-a（x＞0）． （i）当函数 f（x）在定义域上单调递增时，f′（x）≥0， 所以 a≤lnx+ 在（0，+∞）上恒成立. 令 g（x）=lnx+ (x>0)， 则 g′（x）= ， 所以函数 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 所以 g（x）≥g（1）=2， 所以 a≤2； (ii)当函数 f（x）在定义域上单调递减时，f′（x）≤0， 所以 在（0，+∞）上恒成立， 由（i）知，g(x)在 上无最大值，故不成立. 综上， . （3）由（i）得当 a=2 时，f（x）在（1，+∞）上单调递增， 所以当 x ∈ （1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0， 即（x+1）lnx-2x+2＞0， 所以 lnx＞ 在（1，+∞）上恒成立， 令 x= ，得 ln ＞ ， 化简得 ln（n+1）-lnn＞ ， 所以 ln2-ln1＞ ， ln3-ln2＞ ，…， ln（n+1）-lnn＞ ， 累加得 ln（n+1）-ln1＞ ， 即 ln（n+1），n ∈ N*. 【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以 及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题． （1）求出函数 f(x)​ 的导数，计算 f（1），f′（1），求出切线方程即可； （2）求出函数 f(x)的导数，通过讨论函数 f(x)单调递减和单调递增的情况，从而求出 a 的取值范围； （3）令 a=2，得 lnx＞ 在（1，+∞）上恒成立，令 x= ，得 ln ＞ ，化 简得 ln（n+1）-lnn＞ ，对 n 取值，累加即可．