2020 年春四川省叙州区第二中学高一第二学月考试
数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题(60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.若 ,则 的模不可能是
A.0 B. C.2 D.3
3.设角 的终边经过点 ,则 的值等于
A. B. C. D.
4.下列命题正确的是
A.若 与 共线, 与 共线,则 与 共线
B.向量 共面,即它们所在的直线共面
C.若 ,则存在唯一的实数 使
D.零向量是模为 ,方向任意的向量
5.已知 M 是△ABC 的 BC 边上的中点,若向量 =a, = b,则向量 等于
cos31 cos1 sin149 sin1° ° + ° ° =
3
2
− 3
2
1
2
− 1
2
1, 2a b= =
a b⋅
1
2
θ ( )3,4− cos( )4
πθ −
2
10
− 2
10
7 2
10
7 2
10
−
a b b c a c
, ,a b c
/ /a b λ a b= λ
0
AB AC AMA. (a-b) B. (b-a) C. ( a+b) D. (a+b)
6.已知向量 ,若 ,则
A.1 B. C. D.
7.已知集合 , ,若 ,则实数 的值可以是
A. B. C.1 D.2
8.已知向量 满足 ,则 与 的夹角
A.150° B.120° C.60° D.30°
9.已知 , ,则 等于
A. B. C. D.
10.已知函数 在 处取得最大值,则函数
A.偶函数且它的图象关于点 对称 B.偶函数且它的图象关于点 对称
C.奇函数且它的图象关于点 对称 D.奇函数且它的图象关于点 对称
11.在 中,已知 , , 的外接圆半径为 1,则
A. B. C. D.6
12.若函数 为定义在 上的奇函数,且在 为减函数,若 ,则不等式
的解集为
A. B. C. D.
第 II 卷 非选择题(90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.函数 的定义域是________.
1
2
1
2
1
2
1
2
−
(4sin ,1 cos ), (1, 2)a bα α= − = − 2a b⋅ = − 2 2
sin cos
2sin cos
α α
α α =−
1− 2
7
− 1
2
−
{ }2| 2 0A x x x= − − ≤ { }|B x x m= ≤ A B A= m
2− 1−
,a b 5, 4, 61a b b a= = − = a b θ =
π 02x ∈ − , 4cos 5x = tan 2x
7
24
7
24
− 24
7
24
7
−
ABC∆
3A
π= 1b = ABC∆ ABCS∆ =
3
3
3
4
3
2
( )f x R ( )0, ∞+ ( )2 0f =
( ) ( )1 1 0x f x− − >
( )3, 1− − ( ) ( )1,1 1,3− ( ) ( )3,0 1,3− ( ) ( )3, 1 2,− − +∞
tan
1 sin
xy x
= +14.已知 、 、 分别是 的三个内角 、 、 所对的边,若 ,则
__.
15.已知 中, , , 为 中点,当 取最小值时,
面积为_____.
16.已知函数 ,若关于 x 的方程 有六个不同的
实根,则 a 的取值范围是_______.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)已知 , ,且 ,
,求角 的值.
18.(12 分)已知向量 , , .
(1) 若 ,求 ;
(2) 求 的最大值.
19.(12 分)在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,已知 ,
, .
(1)求 ;
(2)求 的值.
a b c ABC∆ A B C cos
cos 2
B b
C a c
= − +
B =
ABC∆ 2 3AB = 3 6AC BC+ = D AB CD
ABC∆
( )
3
1 , 0
9, 0
x xf x x
x x
+ >=
+ ≤
( ) ( )2 2f x x a a R+ = ∈
( ) 3cos 5
α β− = − ( ) 3cos 5
α β+ = ,2
πα β π − ∈
3 ,22
πα β π + ∈
β
(sin ,1)a θ= (1,cos )b θ=
2 2
π πθ− < <
a b⊥ θ
| |a b+
ABC∆ A B C a b c 10cos 10A = −
2b = 5c =
a
cos( )B A−20.(12 分)如图,在平面直角坐标系 中,点 ,点 在单位圆上,
.
(1)若点 ,求 的值;
(2)若 ,求 .
21.(12 分)在 中,角 的对边分别为 ,向量 ,
向量 ,且 ;
(1)求角 的大小;
(2)设 中点为 ,且 ;求 的最大值及此时 的面积.
22.(12 分)如图,要在河岸 的一侧修建一条休闲式人行道,进行图纸设计时,建立了
图中所示坐标系,其中 , 在 轴上,且 ,道路的前一部分为曲线段 ,该
曲线段为二次函数 在 时的图像,最高点为 ,道路中间部分
为直线段 , ,且 ,道路的后一段是以 为圆心的一段圆弧 .
xOy ( )1,0A B
( )0AOB θ θ π∠ = < <
3 4,5 5B − tan 4
πθ +
( ) 9
5OA OB OB+ ⋅ = 2cos 23
π θ −
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ,sin sin )m a b A C= + −
( ,sin sin )n c A B= − / /m n
B
BC D 3AD = 2a c+ ABC∆
EF
E F x ( )3,0F − FBC
( ) ( )21 4f x a x= + + [ ]3,0x ∈ − B
CD //CD EF 3CD = O DE(1)求 的值;
(2)求 的大小;
(3)若要在扇形区域 内建一个“矩形草坪” , 在圆弧 上运动, 、 在
上,记 ,则当 为何值时,“矩形草坪”面积最大.
a
DOE∠
ODE MNPQ P DE M N
OE POE α∠ = α2020 年春四川省叙州区第二中学高一第二学月考试
数学试题参考答案
1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.A 7.D 8.B 9.D 10.B
11.C 12.B
13. 14. 15. 16.(8,9]
17.解:由 , ,可知 .
又 , , ,
.
, ,
, ,故 .
18.解:(1) , ,整理得 ,又
, .
(2) ,
,故当 时, 取到最大值 .
19.解:(1)在 中,由余弦定理得
,∴ .
,2x x k k
ππ ≠ + ∈
Z 2
3
π 3 23
8
,2
πα β π − ∈
( ) 3cos 5
α β− = − ( ) 4sin 5
α β− =
3 ,22
πα β π + ∈ ( ) 3cos 5
α β+ = ( ) 4sin 5
α β∴ + = −
( ) ( )cos2 cosβ α β α β∴ = + − −
( ) ( ) ( ) ( )cos cos sin sinα β α β α β α β= + − + + −
3 3 4 4 15 5 5 5
= × − + − × = −
,2
πα β π − ∈
3 ,22
πα β π + ∈
32 ,2 2
π πβ ∴ ∈ 2β π∴ =
2
πβ =
a b⊥ ∴ sin cos 0θ θ+ = 2 sin( ) 04
πθ + =
( , )2 2
π πθ ∈ −
4
πθ∴ = −
2 2| | (1 sin ) (1 cos ) 3 2(sin cos ) 3 2 2 sin( )4a b
πθ θ θ θ θ+ = + + + = + + = + +
( , )2 2
π πθ ∈ −
4
πθ = | |a b+ 1 2+
ABC∆
2 2 2 102 2 5 2 2 5 910a b c bccosA
= + − = + − × × × − =
3a =(2)在 中,由 得 ,
∴ ,
在 中,由正弦定理得 ,即 ,∴ ,
又 ,故 ,
∴ ,
∴ .
20.解:(1)由三角函数定义,得 ,
∴ .
(2)∵ ,∴ ,即 ,
∴ ,∴ , ,
∴ .
21.解:(1)因为 ,故有 ,由正弦定理可
得 ,即 .由余弦定理可知
,因为 ,所以 .
ABC∆ 10
10cosA = − ,2A
π π ∈
2
2 10 3 101 1 10 10sinA cos A
= − = − − =
ABC∆ a b
sinA sinB
=
3 2
3 10
10
sinB
= 5
5sinB =
,2A
π π ∈ 0, 2B
π ∈
2
2 5 2 51 1 5 5cosB sin B
= − = − =
( ) 2 5 10 5 3 10 2cos B A cosBcosA sinBsinA 5 10 5 10 10
− = + = × − + × =
4
45tan 3 3
5
θ = = −
−
4 1tan tan 134tan 44 71 tan tan 14 3
πθπθ πθ
− ++ + = = = − − − −
( ) 9
5OA OB OB+ ⋅ = 2 9
5OA OB OB⋅ + = 4cos 5
θ =
2 3sin 1 cos 5
θ θ= − = 24sin 2 2sin cos 25
θ θ θ= = 2 7cos2 2cos 1 25θ θ= − =
2 1 3 24 3 7cos 2 cos2 sin 23 2 2 50
π θ θ θ − − = − + =
/ /m n ( )(sin sin ) (sin sin ) 0a b A B c A C+ − − − =
( )( ) ( ) 0a b a b c a c+ − − − = 2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2 1cos 2 2 2
a c b acB ac ac
+ −= = = (0, )B π∈
3B
π=(2)设 ,则在 中,由 可知 ,由正弦定理及
有 ; 所以
,所以
,从而
.由 可知 ,所以当
,即 时, 的最大值为 ;此时 ,所以
.
22.解:(1)由图可知函数 的图象过点 ,
;
(2)由(1)知 ,当 时, , ,
又 在 中, , ;
(3)由(2)可知 易知矩形草坪面积最大时,Q 在 OD 上.
如图: , , ,
又 ,
矩形草坪的面积为:
,
又 ,故当 即 时,有 .
综上所述,当 时,矩形草坪面积最大.
BAD θ∠ = BAD∆
3B
π= 2(0, )3
πθ ∈ 3AD =
22sin sin( ) sin3 3
BD AB AD
π πθ θ
= = =
−
22sin , 2sin( ) 3 cos sin3BD AB
πθ θ θ θ= = − = +
2 4sin , 3 cos sina BD c ABθ θ θ= = = = +
2 2 3 cos 6sin 4 3sin( )6a c
πθ θ θ+ = + = + 2(0, )3
πθ ∈ 5( , )6 6 6
π π πθ + ∈
6 2
π πθ + =
3
πθ = 2a c+ 4 3 2 3, 3a c= =
1 3 3sin2 2S ac B= =
( ) ( )21 4f x a x= + + ( )3,0F −
( )3 4 4 0 1f a a∴ − = + = ⇒ = −
( ) ( )21 4f x x= − + + 0x = ( )0 3f = 3OC∴ =
3CD = Rt OCD∆
6COD
π∠ =
3DOE
π∴∠ =
2 2 2 3OD OC CD= + =
0 3POE
πα α ∠ = <