本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第 1页，总 6页
天水一中 2019---2020 学年度高二级第二学期第一学段考试
数学试题（理科）参考答案
1C 2C 3C 4C 5B 6D 7A 8D 9B 10C 11B 12A
11. 【分析】
作 1MM AD 于点 1M ，作 1NN CD 于点 1N ，则 1 1 / / .M N AC 设 1 1DM DN x ，则 1MM x ，
1 1NN x ，由此能求出 MN 的最小值．
【详解】
作 1MM AD 于点 1M ，作 1NN CD 于点 1N ，
线段 MN 平行于对角面 1 1ACC A ， 1 1 / /M N AC ．
设 1 1DM DN x ，则 1 2MM x ， 1 2 2NN x ，
在直角梯形 1 1MNN M 中，
2 2 2 24 4( 2 ) (2 4 ) 18( )9 9MN x x x ，
当 4
9x 时，MN 的最小值为 2
3
．
故选 B．
12．A
【分析】
令 0f x 分离常数
2
ex
xa ，构造函数
2
ex
xg x ，利用导数研究 g x 的单调性和极值，结合 y a 与
g x 有三个交点，求得 a 的取值范围.
【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第 2页，总 6页
方程 0f x 可化为
2
ex
xa ，令
2
ex
xg x ，有 2
ex
x xg x
，
令 0g x 可知函数 g x 的增区间为 0,2 ，减区间为 ,0 、 2, ，
则 0 0f x f 极小值 ， 2
42 ef x f 大值极 ，
当 0x 时， 0g x ，则若函数 f x 有 3 个零点，实数 a 的取值范围为 2
40, e
．故选 A.
13． 3
5
14． M N
15． 62
观察给出的三个图形，总结规律，可得组成第 n 个图形的火柴的根数为 8 6 1n 个，即可得解.
【详解】
由题意第 1 个图形由 8 根火柴组成，
第 2 个图形由8 6 14 根火柴组成，
第 3 个图形由8 2 6 20 根火柴组成，
根据规律，组成第 n 个图形的火柴的根数为 8 6 1n 个，
当 10n 时，图形需要火柴棒的根数为 8 6 10 1 62 .
故答案为： 62 .
16． 2 5m
【解析】
因为 ( )f x 在 0, 上单调递增，因为函数的零点在区间 (1,2) 内，
所以 (1) (2) 0f f ，即 1 2
2 2(log 1 2 ) (log 2 2 ) 0 (2 )(5 ) 0m m m m ，
解得 2 5m ，所以实数 m 的取值范围是 2 5m ．
17．（1） 2( ) 2 4 3f x x x ； （2）11
2
； （3） 10, 2
.
【解析】
【分析】
（1）设 2( ) ( 1) 1f x a x ，根据 (0) 3f ，求得 2a ，即可得到函数的解析式；本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第 3页，总 6页
（2）由（1）得 2( ) 2( 1) 1f x x ，结合二次函数的性质，即可求得函数的最值.
（3）由（1）得到函数 ( )f x 的对称轴的方程为 1x ，根据函数 ( )f x 在区间[2 , 1]a a 上不单调．．．，列出不
等式 2 1 1a a ，即可求解.
【详解】
（1）由题意，设 2( ) ( 1) 1f x a x ，
因为 (0) 3f ，即 2(0 1) 1 3a ，解得 2a ，
所以函数 ( )f x 的解析式为 2( ) 2 4 3f x x x .
（2）由（1）可得 2 2( ) 2 4 3 2( 1) 1f x x x x ，
因为 1 3[ , ]2 2x ，
所以当 1
2x 时，函数 ( )f x 取得最大值，最大值为 21 1 11( ) 2( 1) 12 2 2f .
（3）由（1）可得函数 2( ) 2 4 3f x x x 的对称轴的方程为 1x ，
要使函数 ( )f x 在区间[2 , 1]a a 上不单调．．．，则 2 1 1a a ，解得 10 2a ，
所以实数 a 的取值范围 10, 2
.
18．(1)证明见解析；(2) 10
5
.
【解析】
【分析】
（1）推导出 BC AB ，BC PB ，从而 BC ⊥平面 PAB ，进而 BC PA ．求出CD PA ，由此能证
明 PA 平面 ABCD ．
（2）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面
角 A BE C 的正弦值．
【详解】
（1）∵底面 ABCD 为正方形，
∴ BC AB ，
又 BC PB ， AB PB B ，
∴ BC ⊥平面 PAB ，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第 4页，总 6页
∴ BC PA .
同理 CD PA ， BC CD C ，
∴ PA 平面 ABCD .
（2）建立如图的空间直角坐标系 A xyz ，不妨设正方形的边长为 2.则
(0,0,0)A ， (2,2,0)C ， (0,1,1)E ， (2,0,0)B
设 ( ; , )m x y z 为平面 ABE 的一个法向量，又 (0,1,1)AE
， (2,0,0)AB
uuur
，
0
2 0
m AE y z
m AB x
，令 1y ， 1z ，得 (0, 1,1)m r
同理 (1,0,2)n 是平面 BCE 的一个法向量，
则 2 10cos , | || | 52 5
m nm n m n
.
∴二面角 A BE C 的余弦值为 10
5
.
19．（1）
2 2
15 4
x y 椭圆的标准方程为：
（2）AB 的中点为 5 1( , )6 3
，
3
554)()1( 21
2
21
2 xxxxkAB
【解析】解：（1） 5
5
c
a
， 2 4, 2b b ………2 分
设 2 2 2 2 2 25 , 5 25 5 20 4a k c k b a c k k k
2 1
5k 1 5, 1
5
k a c ………5 分本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第 5页，总 6页
2 2
15 4
x y 椭圆的标准方程为： ………6 分
(2)椭圆的右焦点为（1，0）， 2( 1)AB y x 直线 方程为： 设 A( 1,1 yx ) B( 22 , yx )
2 2
2( 1)
5 0
15 4
y x
xx y
2由 得3x 解得 1 2
50, 3x x ………9 分
设 AB 中点坐标为 ( , )o ox y ，则 1 2
0 0 0
5 1, 2 22 6 3
x xx y x
所以 AB 的中点为 5 1( , )6 3
………11 分
法一：
2
25 4 5 4 5 5(0, 2), ( , ), ( ) 23 3 3 3 3A B AB
……13 分
法二： 1 2
1 2
5
3
0
x x
x x
3
554)()1( 21
2
21
2 xxxxkAB
20．（1） 5( , 1] [ , )3
（2） 4
3
（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值转化为 1
3 1 4
x
x
或 1 1
3 4
x
x
或 1
3 1 4
x
x
求解.
（2）由（1）函数 f x 的最小值为 2，得到 2a b c t ，再由柯西不等式求 2 2 2a b c 的最小值.
【详解】
（1）原不等式等价于：
1
3 1 4
x
x
或 1 1
3 4
x
x
或 1
3 1 4
x
x
，
解得 1x 或 5
3x ，
所以不等式 4f x 的解集是 5( , 1] [ , )3
.
（2）由（1）函数 f x 的最小值为 2，
所以 2t ，
所以 2a b c t ，
所以 22 2 2 3 4a b c a b c ，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第 6页，总 6页
所以 2 2 2 4
3a b c ，当且仅当 2
3a b c 时，取等号.
所以 2 2 2a b c 的最小值是 4
3 .
21．（1） y x ；（2）[2, )
【解析】
【分析】
（1） 1m ,对函数 ( )y f x 求导,分别求出 (0)f 和 (0)f ,即可求出 ( )f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程;
（2）对 ( )f x 求导,分 2m 、0 2m 和 0m 三种情况讨论 ( )f x 的单调性,再结合 ( ) 0f x 在 (0, ) 上
恒成立,可求得 m 的取值范围.
【详解】
（1）因为 1m ,所以 ( ) e 2 1xf x x ,所以 ( ) e 2xf x ,
则 (0) 0, (0) 1f f ,故曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程为 y x .
（2）因为 ( ) e 2xf x m x m ,所以 ( ) e 2xf x m ,
①当 2m 时, ( ) 0f x 在 (0, ) 上恒成立,则 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增,
从而 ( ) (0) 0f x f 成立,故 2m 符合题意;
②当 0 2m 时,令 ( ) 0f x ,解得 20 lnx m
,即 ( )f x 在 20,ln m
上单调递减,
则 2ln (0) 0f fm
,故 0 2m 不符合题意;
③当 0m 时, 0( ) e 2xf x m 在 (0, ) 上恒成立,即 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减,则
( ) (0) 0f x f ,故 0m 不符合题意.
综上, m 的取值范围为[2, ) .
微信/支付宝扫码支付