2019-2020 学年第二学期高一年级 4 月月考自主测试
高一数学(4 月 6 日)
一、单选题(每小题 5 分,共计 12 个小题)
1.已知 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 ,则
( )
A. B. C. D.
2.在 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 ,则 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.在等差数列 中,已知 ,则该数列前 9 项和 ( )
A.18 B.27 C.36 D.45
4.已知数列 的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且 , ,
, ,则 ( )
A. B.19 C.20 D.23
5.已知向量 , ,且 ,则 的最小值是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
6. 在空间中,下列命题正确的是( )
A.如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.两条异面直线所成的角的范围是
C.如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行
D.如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
7.如图,在正四面体 中, 是 的中点,则 与 所成角的余弦值是
( )
ABC∆ 11, 2,sin 2a b A= = = sin B =
2
2
3
2
1
4
1
2
ABC△ 2 2 2a b c bc= + + A =
{ }na 3 5 7 15a a a+ + = 9S =
{ }na 1 1a = 2 2a =
3 4 7a a+ = 5 6 13a a+ = 7 8a a+ =
4 2+
(1, 2)= −a ( , 1)( 0, 0)b x y x y= − > > a b
2 1
x y
+
0, 2
π
-O ABC D OA BD OCA. B. C. D.
8. 如图,在正方体 中, 分别为 的中点,点 是底面
内一点,且 平面 ,则 的最大值是( )
A. B.2 C. D.
9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
10.如图,在正三棱柱 中, , , , 分别是棱 ,
的中点, 为棱 上的动点,则 的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
11.已知正方体 的棱 的中点为 , 与 交于点 ,平面 过
点 且与直线 垂直,若 ,则平面 截该正方体所得截面图形的面积为( )
1
2
3
6
2
2
33
6
1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1 1 1,B C C D P
1111 DCBA AP∥ EFDB 1tan APA∠
2 2 2 3 2
3
2
π π
3π 12π
1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 2 3AA = D F AB 1AA
E AC DEF∆
2 2 2+ 2 3 2+ 6 2+ 7 2+
1 1 1 1A B C D ABCD− 1AA E AC BD O α
E 1OC 1AB = αA. B. C. D.
12.在棱长为 的正方体 中,点 分别是线段 (不包括端点)
上的动点,且线段 平行于平面 ,则四面体 的体积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题 5 分,共计 4 个小题)
13.已知 , ,且 ,则 的最大值为_________
14.已知数列 满足 ,则 __________.
15.如图,在正方体 中, 分别为棱
的中点,则 与平面 所成角的余弦值为______.
16.如图,M、N 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点,将正方形沿对角线 AC
折起,使点 D 不在平面 ABC 内,则在翻折过程中,有以下结论:
6
4
6
2
3
2
3
4
1 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2,P P 1,AB BD
1 2PP 1 1A ADD 1 2 1PP AB
1
24
1
12
1
6
1
2
0a > 0b > 2 1a b+ = ab
{ }na 1
1
1 11, 11 1n n
a a a+
= − =+ + 10a =
1 1 1 1ABCD A B C D− , , ,E F G H
1 1 1 1 1 1, , ,AA B C C D DD GH EFH①异面直线 AC 与 BD 所成的角为定值.
②存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直.
③存在某个位置,使得直线 MN 与平面 ABC 所成的角为 45°.
④三棱锥 M-ACN 体积的最大值为 .
以上所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
17.(本题 10 分) 的内角 的对边分别为 ,已知
.
(1)求角 ;
(2)若 , 的周长为 ,求 的面积.
18.(本题 10 分)已知{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且 b1=a1
=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
19.(本题 10 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E,F 分别是 B1C1,AB,
AA1 的中点.
(1) 求证:EF∥平面 A1BD;
(2) 若 A1B1=A1C1,求证:平面 A1BD⊥平面 BB1C1C.
2
48
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
( )2cos cos cos 3A b C c B a+ =
A
1a = ABC∆ 5 1+ ABC∆20.(本题 10 分)如图,四边形 为正方形, 平面 , ,
点 , 分别为 , 的中点.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)求点 到平面 的距离.
ABCD PD ⊥ ABCD 2PD DC= =
E F AD PC
DF PB⊥
F PBE高一数学 4 月月考自主测试(4 月 6 日)
参考答案
1.A
由正弦定理 ,可得 .
2.C
由已知 及余弦定理,得 ,所以 .
3.D
在等差数列 中, ,所以
.
4.D
设奇数项的公差为 ,偶数项的公比为 ,
由 , ,得 , ,
解得 , ,所以 ,故选 D.
5.C
因为 ,且向量 , ,所以 ,
所以 ,当且仅当 时,
取等号.
6. C
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故 A 不正确;
两条异面直线所成的角不能是零度,故 B 不正确;根据两个平面平行的性质定理知 C 正确;
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,
故 D 不正确,综上可知只有 C 的说法是正确的,故选 C.
7. B
sin sin
a b
A B
=
1 2sin 22sin 1 2
b AB a
×
= = =
2 2 2a b c bc= + +
2 2 2 1cos 2 2 2
b c a bcA bc bc
+ − −= = = − 120A = °
{ }na 3 5 7 5 53 15, 5a a a a a+ + = = =
1 9 5
9 5
29 9 9 9 5 452 2
a a aS a
+= × = × = = × =
d q
3 4 7a a+ = 5 6 13a a+ = 1 2 7d q+ + = 21 2 2 13d q+ + =
2d = 2q = 3
7 8 1 3 2 7 16 23a a d q+ = + + = + =
/ /a b (1, 2)= −a ( , 1)( 0, 0)b x y x y= − > > 2 1x y+ =
( )2 1 2 1 2 2 2 22 5 5 2 9y x y xx yx y x y x y x y
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
1
3x y= =解:如图: ,
取 的中点 ,连接 , ,可得 就是 与 所成的角,
设 ,则 , ,
,
8. C
如图,取 分别为 与 的中点,连接 ,设 与 的交点为 ,则平面
平面 ,因为 平面 , 点在线段 上运动, ,
如果正方体的棱长为 ,要使 取得最大值, 最小,只需 即可
此时 点与 点重合, ,故选 C.
9.C
由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等,如图
所示
AC E DE BE BDE∠ BD OC
OA a= 3
2BD BE a= = 1
2DE a=
2 2 2 3cos 2 6
BD DE BEBDE BD DE
+ −∠ = =⋅
,K L 1 1A B 1 1A D LK LK 1 1AC O
/ /AKL DBEF AP EFDB P∴ KL 1
1
1
tan AAAPA A P
∠ =
1 1tan APA∠ 1AP 1A P LK⊥
P O
1 1
1
1 1
1tan 2 2
2
4
AA AAAPA A P AO
∴ ∠ = ≤ = =
该几何体是棱长为 1 的正方体中的三棱锥 .
所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球,球的直径 为正方体体对角线的长.
即 .所以外接球的表面积为 .
10.D
三棱柱 为正三棱柱 为等边三角形且 平面
平面
把底面 与侧面 在同一平面展开,如下图所示:
当 三点共线时, 取得最小值又 , ,
周长的最小值为:
11.A
如图所示,正方体 中, 为棱 的中点,
,则 , , ,
, ;又 平面 ,
1A BCD AB BC BD− = = =,
2r
2 2 22 1 1 1 3r = + + = 24 3rπ π=
1 1 1ABC A B C− ABC∆∴ 1AA ⊥ ABC
AD ⊂ ABC 1AA AD∴ ⊥ 1 3 2DF∴ = + =
ABC 1 1ACC A
, ,D E F DE EF+ 150FAD∠ = 3AF = 1AD =
( ) 2 2
min
32 cos 4 2 3 72DE EF AF AD AF AD FAD
∴ + = + − ⋅ ∠ = − × − =
DEF∴∆ 7 2+
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1AA
1AB = 2
1
1 31 2 2OC = + = 2 1 1 3
4 2 4OE = + = 2
1
1 92 4 4EC = + =
∴ 2 2 2
1 1OC OE EC+ = 1OE OC∴ ⊥ BD ⊥ 1 1ACC A,且 , 平面 ,且 ,
即 截该正方体所得截面图形的面积为 .故选: .
12.A
由题意在棱长为 的正方体 中,点 分别是线段 上的动点,
且线段 平行于平面 , 设 ,即
到平面 的距离为 , 所以四棱锥 的体积为
, 当 时,体积取得最大值 ,故选 A.
13.
∵ , ,∴ ,即 ,当且仅当 ,即 时
等号成立.
14.
1BD OC∴ ⊥ OE BD O= 1OC∴ ⊥ BDE 1 1 3 622 2 2 4BDES BD OE∆ = = × × =
α 6
4
A
1 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2,P P 1,AB BD
1 2PP 1 1 1 2 1,A ADD PP B AD B∆ ∼ ∆ 1 , (0,1)PB x x= ∈
1 2 22 ,PP x P= 1 1AA B B x 1 2 1PP AB
21 1 1(1 ) 1 ( )3 2 6V x x x x= × × − × × = − 1
2x = 1
24
1
8
0a > 0b > 2 1 2 2a b ab+ = ≥ 1
8ab ≤ 2a b= 1 1,2 4a b= =
17
19
−因为 所以 又
所以数列 为以 为首项,1 为公差的等差数列。
所以 所以
15.
解:连结 ,则平面 即为平面 ,过 作 于 ,则
平面 , 即为 与平面 所成的角,设正方体棱长为 2,则
,
.
16..①③④
设 中点 ,连接 , ,正方形 , , ,
所以 , , 平面 , ,
所以 平面 ,而 平面 ,所以 ,
即异面直线 与 所成的角为定值 .故①正确.
若 ,而 , 平面 ,
所以 平面 ,而 平面 ,所以 ,
而 中, ,所以 不可能为直角,故假设错误,
所以②错误.因为 、 分别是 、 的中点,所以 ,
1 1,a =
1
1 1
1 2a
=+ 1
1 1 11 1n na a+
− =+ +
1
1 na
+
1
2
1 1=1 2n
na
−+ 10
10
1 1 19 17=10 = =1 2 2 19aa
− ⇒ −+
3 10
10
1 1,EB C H EFH 1 1EHC B G 1GM C H⊥ M MG ⊥
EFH 1GHC∴∠ GH EFH
11 1, 2, 5C G GH C H= = =
2 2 2
1 1
1
1
2 5 1 3 10cos 2 102 2 5
GH C H C GGHC GH C H
+ − + −∴ ∠ = = =⋅ × ×
AC O DO BO ABCD AB BC= AD DC=
DO AC⊥ BO AC⊥ ,BO DO ⊂ DBO BO DO O=
AC ⊥ BCD BD ⊂ BCD AC BD⊥
AC BD 2
π
AD BC⊥ AD DC⊥ ,BC DC ⊂ BCD BC DC C=
AD ⊥ BCD BD ⊂ BCD AD BD⊥
ABD∆ AD AB= ADB∠
M N BC CD MN BD∥所以 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角,
在平面 的射影在 上,所以 是 与平面 所成的角,
而 ,所以一定存在某个位置满足 ,
即存在某个位置,使得直线 MN 与平面所成的角为 45°.故③正确;
,底面 ,所以当平面 平面 时, 到平面
的距离最大,此时三棱锥 的体积最大, ,
所以此时 ,
故④正确.
17.
(1)由正弦定理可得:
即:
,由 得: ..................5 分
(2) , 的周长为
由余弦定理可得:
的面积: ........................10 分
18.
(1)设数列{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,q>0
依题意得 解得 d=1,q=2.
所以 an=1+(n-1)×1=n,bn=1×2n-1=2n-1.....................................4 分
(2)由(1)知 cn=anbn=n·2n-1,则
MN ABC BD ABC
D ABC OB DBO∠ BD ABC
( )0, / 2DBO π∠ ∈ 45DBO∠ = °
M ACN N ACMV V− −= 1 1
2 4ACM ABCS S∆ ∆= = ACD ⊥ ABC N
ABC N ACM− 1 2
2 4h OD= =
1 1 2 2
3 4 4 48N ACM ACN MV V −− = = × × =
( )2cos sin cos sin cos 3sinA B C C B A+ =
( )2cos sin 2cos sin 3sinA B C A A A+ = =
sin 0A ≠
3cos 2A∴ = ( )0,A π∈
6A
π=
1a = ABC∆ 5 1+ 5b c∴ + =
( )2 22 2 2 2 5 2 1 2 3cos 2 2 2 2
b c bc ab c a bc bcA bc bc bc bc
+ − −+ − − − −= = = = =
4 8 4 3
2 3
bc∴ = = −
+
ABC∆∴ ( )1 1 1sin 8 4 3 2 32 2 2S bc A= = × − × = −Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,①
2Tn=2·20+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,②
①-②得:-Tn=1+21+22+…+2n-1-n·2n
= -n·2n=(1-n)·2n-1,
所以 Tn=(n-1)·2n+1.......................................................................10 分
19.
因为 E,F 分别是 AB,AA1 的中点,
所以 EF∥A1B
因为 EF⊄平面 A1BD,A1B⊂平面 A1BD,
所以 EF∥平面 A1BD.............................. ......................... ......................... ............................4 分
(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,BB1⊥平面 A1B1C1,
因为 A1D⊂平面 A1B1C1,所以 BB1⊥A1D.
因为 A1B1=A1C1,且 D 是 B1C1 的中点,
所以 A1D⊥B1C1. ......................... ................... ............... ............... ............... ....................6 分
因为 BB1 B1C1=B1,B1C1⊂平面 BB1C1C,BB1⊂平面 BB1C1C,
所以 A1D⊥平面 BB1C1C. ........................ ............................................ ................. ............8 分
因为 A1D⊂平面 A1BD,
所以平面 A1BD⊥平面 BB1C1C............................ ............... ............... ..............................10 分
20.(Ⅰ)
证明:取 的中点 ,连接 , ,
则 ,且 ,
∵ 且 ,
∴ 且 ,
∴四边形 为平行四边形,
∴ 中, ,G 为 的中点,
∴ ,
∴ ...........................................................5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 平面 ,
PB G EG FG
/ /FG BC 1
2FG BC=
/ /DE BC 1
2DE BC=
/ /DE FG DE FG=
DEGF
/ / ,DF EG 在 PEB∆ P 5E BE= = PB
PEG B⊥
DF PB⊥
/ /DF PBE所以点 到平面 的距离与 到平面 的距离是相等的,
故转化为求点 到平面 的距离,设为 .
利用等体积法: ,
即 ,
,
∵ ,
∴ ,
∴ .......................................10 分
D PBE F PBE
D PBE d
D PBE P BDEV V− −=
1 1
3 3PBE BDES d S PD∆ ∆⋅ = ⋅
1 12BDES DE AB∆ = × × =
5PE BE= = 2 3PB =
6PBES∆ =
6
3d =