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2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 1 页（共10页） 绝密★启用前 试卷类型：（A） 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. B 10. C 11. D 12. B 二、填空题： 13. 1 4 14. 32 15. 1 9− 16. 38 πr3 . 17．（本小题满分 12 分） 已知数列{}na 的首项 1 2 3a = ， 112n n n na a a a+++= *( 0, )nanN ． （1）证明：数列 1{ 1} na − 是等比数列； （2）数列{} n n a 的前 n 项和 nS ． 解：（1） ，  1 11 1 1 1 2 2 2 n n n n a a a a+ += = +  ， 1 1 1 11 ( 1)2nnaa+ − = − ， …………………………4 分 又 1 2 3a = ， 1 111 2a −= ， 数列 是以 1 2 首项， 为公比的等比数列．…………………………6 分 （2）由（1）知 1 1 1 1 11 2 2 2nn na −− =  = ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 2 页（共10页） 即 1112n na =+，  2n n nnna =+． …………………………9 分 设 23 1 2 3 2 2 2nT = + + +… 2n n+ ， ① 则 23 1 1 2 2 2 2nT = + + … 1 1 22nn nn + −++，② 由① − ②得 2 1 1 1 2 2 2nT = + + … 1 1 1 11(1 )1122 112 2 2 2 21 2 n n n n n n n n n + + + − + − = − = − − − ，  1 12 22n nn nT −= − − ．又1 2 3+ + + … ( 1) 2 nnn ++= ． 数列{} n n a 的前 n 项和 2 ( 1)2 22n n n n nS ++= − + ． ……12 分 18．（本小题满分 12 分） 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种 商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每 吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品．现以 x （单位：吨， 100 150x ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销 售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润 不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 的平均数与中位数的大小 （保留到小数点后一位）． 需求量(x/t) 0 0.025 0.020 0.015 0.010 150 140 130 120 110 100 0.030 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 3 页（共10页） 解:（1）当  )130,100x 时， 398.0)130(3.05.0 −=−−= xxxT ； ……1 分 当  150,130x 时， 651305.0 ==T ， ………………………………2 分 所以，     −= .150130,65 ,130100,398.0 x xxT ………………………………………3 分 （2）根据频率分布直方图及（1）知， 当 [100,130)x 时，由 0.8 39 57Tx= −  ，得120 130x ， …………4 分 当 [130,150]x 时，由 65 57T =， ………………5 分 所以，利润T 不少于57 万元当且仅当 150120  x ，于是由频率分布直方图可知市场 需求量  150,120x 的频率为(0.030 0.025 0.015) 10 0.7+ +  = ， 所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 万元的概率的估计值为0.7 ，…………7 分 （3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为 105 0.1 115 0.2 125 0.3 135 0.25 145 0.15 126.5x =  +  +  +  +  = （吨）……9 分 由频率分布直方图易知，由于 x [100,120) 时，对应的频率为 (0.01 0.02) 10 0.3 0.5+  =  ， 而 [100,130)x 时，对应的频率为 ………………10 分 (0.01 0.02 0.3) 10 0.6 0.5+ +  =  ， 因此一个销售季度内市场需求量 的中位数应属于区间[120,130) ，于是估计中位数应 为120 (0.5 0.1 0.2) 0.03 126.7+ − −   （吨）………12 分 19．(本小题满分 12 分) 如 图 所 示 ， 四 棱 锥 S ABCD− 中， SA ⊥ 平面 ABCD ， 90ABC BAD =  =  ， 1AB AD SA= = = ， 2BC = ， M 为 SB 的中点． （1）求证： //AM 平面 SCD ； （2）求点 B 到平面 SCD 的距离． A D B C M S 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 4 页（共10页） 证明：（1）取 SC 的中点 N ，连结 MN 和 DN ， ∵ M 为 SB 的中点， ∴ //MN BC 且 1 2MN BC= ，…………………………2 分 ∵ 90ABC BAD =  = ， 1AD = ， 2BC = ， ∴ //AD BC 且 1 2AD BC= ，…………………………4 分 ∴ //AD MN 且 AD MN= ， ∴四边形 AMND 为平行四边形， ∴ //AM DN ， …………………………5 分 ∵ AM  平面 SCD ， DN  平面 SCD ， ∴ //AM 平面 ． …………………………6 分 （2）∵ 1AB SA==， 为 的中点， ∴ AM SB⊥ ， …………………………8 分 ∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA BC⊥ ， ∵ ， ∴ BC AB⊥ ， ∴ BC ⊥ 平面 SAB ， ∴ BC AM⊥ ， ∴ AM ⊥ 平面 SBC ， 由（1）可知 ， ∴ DN ⊥ 平面 ， ∵ DN  平面 SCD ， ∴平面 SCD ⊥ 平面 ，…………………………10 分 作 BE SC⊥ 交 SC 于 E ，则 BE ⊥平面 SCD ， 在直角三角形 中，有 11 22SB BC SC BE =  ， ∴ 2 2 2 3 36 SB BCBE SC = = = ， 即点 B 到平面 SCD 距离为 23 3 .…………………………12 分 （三棱锥体积法参照给分） 20．(本小题满分 12 分) A D B C M S N E 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 5 页（共10页） 已知椭圆 2 2:14 xCy+=， 1F 、 2F 分别是椭圆C 的左、右焦点， M 为椭圆上的动点. （1）求 12F MF 的最大值,并证明你的结论； （2）若 A 、B 分别是椭圆 长轴的左、右端点，设直线 AM 的斜率为 k ，且 11( , )23k  − − ， 求直线 BM 的斜率的取值范围. 解：（1）由椭圆的定义可知 12| | | | 4MF MF+=， 在 12F MF 中，由余弦定理，可得 2 2 2 1 2 1 2 12 12 | | | | | |cos 2 | | | | MF MF F FF MF MF MF +−=  22 1 2 1 2 1 2 12 | | | |) | | 2 | | | | 2 | | | | MF MF F F MF MF MF MF + − − =  ( 12 1 2 1 2 2 | | | | 2 1| | | | | | | | MF MF MF MF MF MF −= = − 2 12 211 2| | | | 2 MF MF  − = − + ，……………4 分 ∵ 120 πF MF   ， ∴ 的最大值为 2π 3 ，此时 12| | | |MF MF= ， 即点 为椭圆 的上顶点时， 取最大值，其最大值为 .……………5 分 根据椭圆的对称性，当点 为椭圆 的短轴的顶点时， AMB 取最大值，其最大值为 . ……………6 分 （2）设直线 BM 的斜率为 k ， 00( , )M x y ，则 0 0 2 yk x= + ， 0 0 2 yk x  = − ， ∴ 2 0 2 0 4 ykk x = − ，………………………………………………………………………9 分 又 2 20 0 14 x y+=，∴ 22 0044xy=− ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 6 页（共10页） ∴ 1 4kk = − ， ∵ 11( , )23k  − − ， ∴ 13 24k， 故直线 BM 的斜率的取值范围为 13( , )24.…………………………………………………12 分 21．(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) (1 )exafx x=+ （ e 为自然对数的底数），其中 0a  ． （1）在区间( , ]2 a−  − 上， ()fx是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在， 请说明理由． （ 2 ） 若函数 ()fx 的 两 个 两 个 极 值 点 1 2 1 2,)x x x x（ ， 证 明 ： 21 21 ln ( ) ln ( ) 21 2 f x f x x x a − +−+ . 解：（1）由条件可函数 ()fx在( ,0)− 上有意义， 2 2( ) exx ax afx x +− = ， 令 ( ) 0fx = ，得 2 1 4 2 a a ax − − += ， 2 2 4 2 a a ax − + += ， 因为 0a  ，所以 1 0x  ， 2 0x  . 所以当 1( , )xx − 时， ( ) 0fx  ， 当 1( ,0)xx 上 ( ) 0fx  ， 所以 ()fx在 1( , )x− 上是增函数， 在 1( ,0)x 是减函数. ……………3 分 由 ( ) (1 )e exxa x afx xx += + = 可知， 当 xa=− 时， ( ) 0fx= ，当 xa− 时， ( ) 0fx ，当 0ax−   时， ( ) 0fx ， 因为 22 1 44022 a a a a a aa x a − − + − + +− − = − − =  ， 所以 1 0xa −  ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 7 页（共10页） 又函数在 1( , 0)x 上是减函数，且 1 02 axa −  −  ， 所以函数在区间( , ]2 a−  − 上的有最小值，其最小值为 2( ) e2 aaf − − = − . ……6 分 （2）由（1）可知，当 0a  时函数 ()fx存在两个极值点 1x ， 2x ， 且 ， 是方程 2 0x ax a+ − = 的两根， 所以 1 2 1 2x x x x a+ = = − ，且 121xx， 11 12 1 ( ) (1 )e (1 )exxaf x xx= + = − ， 2 21( ) (1 )exf x x=− ， 所以 2 2 1 1 2ln ( ) ln(1 )e ln(1 )xf x x x x= − = − + ， 1 1 2 2 1ln ( ) ln(1 )e ln(1 )xf x x x x= − = − + ， 所以 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ln ( ) ln ( ) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )= +11 (1 ) f x f x x x x x x x x x x x x x − − + − − − − − −=− − − −（ )- ， 又 2 1 1 2 2 2 21 1 12 ( ) 2 (1 ) (1 )a x x x x+ = + = ++ − + + − + − ， ……………9 分 由（1）可知 121 1 0xx−  −  ， 设 11mx=− ， 21nx=− ，则 0mn， 故要证 21 21 ln ( ) ln ( ) 21 2 f x f x x x a − +−+ 成立，只要证 ln ln 2mn m n m n − −+ 成立， 下面证明不等式 成立， 构造函数 2( 1)( ) ln ,( 1)1 th t t tt −= − + 则 2 2 ( 1)( ) 0( 1) tht tt − =+ ，所以 ()ht 在 (1, )t + 上单调递增， ( ) (1) 0h t h=， 即 2( 1)ln 1 tt t − + 成立， 令 mt n= ，即得不等式 ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 8 页（共10页） 从而 21 21 ln ( ) ln ( ) 21 2 f x f x x x a − +−+ 成立. ……………12 分 22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1l ： cos sin xt yt   =  = ， （t 为参数， π0 2＜ ＜ ），曲线 1C ： 2cos 4+2sin x y   =  = ， （  为参数）， 与 相切于点 A，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系. （1）求 的极坐标方程及点 A的极坐标； （2）已知直线 2l ： π= 6R()与圆 2C ： 2 4 3 cos 2 0  − + = 交于 B ，C 两点，记 △ AOB 的面积为 1S ，△ 2COC 的面积为 2S ，求 12 21 SS SS+ 的值. 解：（1）（法一）由题意可知， 1C 的直角坐标方程为 22( 4) 4xy+ − = ， 将 cos sin x y   =  = ， 代入得 的极坐标方程为 2 8 sin 12 0  − + = ， ……………………2 分 又 的参数方程为 cos sin xt yt   =  = ， （ 为参数， π0 2＜ ＜ ）， 得 的极坐标方程为 =   R（ ）， …………………………3 分 将 =代入得 2 8 sin 12 0  − + = ，则 2(8sin ) 4 12 0 = −  = ，又 π0 2＜ ＜ ， 解得 π= 3 ，此时 =2 3 ，所以点 A的极坐标为 π233 （ ，）， …………………5 分 （法二）由题意可知， 的直角坐标方程为 22( 4) 4xy+ − = ， 将 cos sin x y   =  = ， 代入，得 的极坐标方程为 2 8 sin 12 0  − + = ， ……………2 分 因为 与 相切于点 ，所以在 Rt △ 1OC A 中，有 22 11| | 2 3OA OC C A= − = ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 9 页（共10页） 1 1 1 ||1sin | | 2 CAAOC OC = = ，所以 1 π 6AOC=， ………………………………4 分 由极坐标的几何意义，可得 A π233 （ ，）. …………………………………5 分 （2）由 2C 的极坐标方程为 2 4 3 cos 2 0  − + = ，可得 的直角坐标方程为 22( 2 3) 5xy− + = ，所以圆心 2 (2 3,0)C ， ……………………………………6 分 设 1 π( , )3B  ， 2 π( , )3C  将 π= 6 代入 2 4 3 cos 2 0  − + = ， 得 2 6 2 0− + = ，所以 126+=， 12 2 = ， ……………………………7 分 又因为 1 1 1 1 π π 3= . sin( )2 3 6 2AS   −= ， 2 2 2 2 1 π 3= | | .sin2 6 2S OC =…………8 分 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 ( ) 2 6 2 2 162 SS SS           +− −+ = + = = = . ………………10 分 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 ( ) 2f x x a=− . （1）当 1a = 时，解不等式 ( ) 2 1f x x +＞ ； （2）若存在实数 (1, )a + ，使得关于 x 的不等式 2( )+ + 1f x x ma − ＜ 有实数解，求实 数 m 的取值范围. 解：（1）当 1a = 时，即解不等式 2 2 1xx−+＞ ， （法一）①当 2x  时，原不等式等价于 2 2 1xx−+＞ ，所以 3x − ， 所以不等式 ( ) 2 1f x x +＞ 的解集为空集， ……………………………………2 分 ②当 2x＜ 时，原不等式等价于 2 2 1xx−+＞ ，解得 1 3x＜ ， ………………4 分 综上所述，不等式 ( ) 2 1f x x +＞ 的解集为 1( , )3− . …………………………5 分 （法二）①当 1 2x − 时，不等式 2 2 1xx−+＞ 显然成立； ………………2 分 ②当 1 2x − 时，原不等式等价于 22( 2) 2 1xx−+＞()， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 10 页（共10页） 即 23 8 3 0xx+−＜ ，解得 11 23x−   ， ………………………………………4 分 综上所述，不等式 ( ) 2 1f x x +＞ 的解集为 1( , )3− .……5 分 （2）因为 2 2 2( )+ + 2 + + 21 1 1f x x x a x aa a a= −  +− − − ，显然等号可取。…6 分 又 (1, )a + ， 故原问题等价于关于 a 的不等式 22 1ama+ − ＜ 在 (1, )+ 上有解，…………8 分 又因为 2 2 22 =2( 1) 2 2 2( 1) 2 61 1 1a a aa a a+ − + +  −  + =− − − ， 当且仅当 2a = 时取等号， 所以 m＞6 ，即 (6, )m + . …………………10 分