河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期期中考试
数学试题（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和 II 卷（非选择题）两部分，满分 分，考试时间 分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一.选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符
合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1．已知集合 ， ．若 ，则实数
A． B． C． D．
2．设复数 满足 （ 为虚数单位）， 在复平面内对应的点为（ ， ），则
A. B. C. D.
3．已知两个单位向量 ，若 ，则 的夹角为
A． B． C． D．
4．某学校拟从甲、乙等 5 位同学中随机选派 3 人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为
A. 3
5 B. 1
2 C. 2
5 D. 3
10
5．已知点 满足不等式 ，点 是函数 的图像上任意一点，
则两点 P，Q 之间距离的最小值为
A． B． C．4 D．
6．若 ，则
A． B． C． D．
7．若 ，则
A． B． C． 或 D． 或
150 120
( ){ }, | 2 0A x y x y= + = ( ){ }, | 1 0B x y x my= + + = A B = ∅ m =
2− 1
2
− 1
2 2
z 1 iz z− = − i z x y
y x= − y x= ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( ) ( )2 21 1 1x y+ + + =
1 2,e e ( )1 2 12− ⊥e e e 1 2,e e
2π
3
π
3
π
4
π
6
( ),P x y
3 2 0
5 0
5 0
x y
x y
x
− ≥
+ − ≥
− ≤
( ),Q x y 2( ) 1f x x= −
5 2 12
− 13 1− 5 2
2
( ) 3
3
12
3 1log e,2 e,a b c
− = = =
a b c> > c a b> > a c b> > c b a> >
tan 3cos( )2
α α − = − π
π
cos2α =
1− 7
9 0 7
9 1− 7
98. 若函数 的图象向右平移 个单位得到的图象对
应的函数为 ，则下列说法正确的是
A. 的图象关于 对称
B. 在 上有 2 个零点
C. 在区间 上单调递减
D. 在 上的值域为
9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘 3 再加 1,如果它是偶数.则对它除
以 2,如此循环,最终都能够得到 1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入 n 的值为 10.则输
出 i 的值为
A.5 B.6 C.7 D.8
10．已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，点 P 为椭圆上不同于左、右
顶点的任意一点，I 为 的内心，且 ，若椭圆的离心率为 e，则
A. B. C.e D.
11．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 是 上关于原点对称
的两点， 是 上异于 的动点，直线 的斜率分别为 ，若 ，则 的取
值范围为
A． B． C． D．
12．若函数 有极值点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。
13．已知函数 f(x)=ae +x+b,若函数 f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y=2x+3,则 ab
的值为______.
14． 展开式中 x 的系数为______.
( ) sin 2f x x= 11
6
π
( )g x
( )g x
12x
π= −
( )g x [ ]0 π，
( )g x 5
3 6
π π
，
( )g x 02
π − ， 3 02
−
，
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 1F 2F
1 2PF F∆
1 1 2 2IPF IF F IPFS S Sλ∆ ∆ ∆= − λ =
1
e
2
e 2e
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2 0x y− = ,A B C
M C ,A B ,MA MB 1 2,k k 11 2k 2k
1 1,8 4
1 1,4 2
1 1,4 8
− −
1 1,2 4
− −
( ) ln xf x a x e= − a
( ),e− +∞ ( )1,e ( )1,+∞ ( )0,+∞
x
41(1 )(1 2 )xx
+ + 215．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先
发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三
段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的
边长比为 ，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为
______．
16．平行四边形 中， 是腰长为 2 的等腰直角三角形， ，现将 沿
折起，使二面角 大小为 ，若 A，B，C，D 四点在同一球面上，则该球的表
面积为______.
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）数列
（1）求 的通项公式；
（2）若数列
18．（本小题满分 12 分）如图，三棱锥 P − ABC 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， PA = PB ，∠APB =
∠ACB = 90 ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点 G 是△ BCE 的重心．
（1）证明： GF / / 平面 PAC ；
（2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为60 ，求二面角B−AP−C的余弦值.
19．（本小题满分 12 分）已知点 P 到直线 y＝﹣3 的距离比点 P 到点 A（0，1）的距离多 2．
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）经过点 Q（0，2）的动直线 l 与点 P 的轨迹交于 M，N 两点，是否存在定点 R 使得∠MRQ＝∠
NRQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分 12 分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公司推出
的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北 19 家签约景区.为了解市民每年旅游消
费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到
的数据列成如下所示的频数分布表：
1:3
ABCD ABD∆ 90ABD∠ = ° ABD∆
BD A BD C− − 2
3
π
).13(2
1}{ 321 −=++++ n
nn aaaaa 满足：
}{ na
.T}{,3}{ n项和的前求满足： nbab n
ba
nn
nn=组别
频数 10 390 400 188 12
（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 .若该市总人口为
450 万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上；
（3）若年旅游消费支出在 40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取
3 人，一年内继续来该景点游玩记 2 分，不来该景点游玩记 1 分.将上述调查所得的频率视为概
率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望.
附：若 ，则 ，
，
21．（本小题满分 12 分）已知函数 .
（1）求 的最大值；
（2）若 恒成立，求实数 b 的取值范围.
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用 2B 铅
笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以 为极点， 轴的正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设点 为 上的任意一点，求 到 距离的取值范围．
23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 （ ），不等式 的解集为 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ， ，且 ，求 的最大值.
河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期期中考试
数学试题（理科）答案
[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
( )245,15N
( )2~ ,x N µ σ ( ) 0.6826p Xµ σ µ σ− < ≤ + =
( 2 2 ) 0.9544p xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9973p µ σ µ σ− ≤ + =
( ) ln
xef x x x x
= − −
( )f x
1( ) ( ) 1xf x x e bxx
+ + − ≥
−
xOy 1C 3 ,x t
y t
= − +
= t O x
2C 2 1 2 cosρ ρ θ= +
1C 2C
P 2C P 1C
( ) 2f x x m x= − − + m R∈ ( )2 0f x − ≥ ( ] 4−∞，
m
0a > 0b > 3c > 2 2a b c m+ + = ( )( )( )1 1 3a b c+ + −第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一.选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符
合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1．已知集合 ， ．若 ，则实数
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】因为 ，所以直线 与直线 平行，所以 .故选 C.
2．设复数 满足 （ 为虚数单位）， 在复平面内对应的点为（ ， ），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设 ，∵ ，∴ ，
即 ，化简得 ．
故选：B.
3．已知两个单位向量 ，若 ，则 的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，故选 B.
4．某学校拟从甲、乙等 5 位同学中随机选派 3 人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为
A. 3
5 B. 1
2 C. 2
5 D. 3
10
【答案】D
【解析】所求概率为C
C＝ 3
10，故选 D.
5．已知点 满足不等式 ，点 是函数 的图像上任意一点，
则两点 P，Q 之间距离的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
( ){ }, | 2 0A x y x y= + = ( ){ }, | 1 0B x y x my= + + = A B = ∅ m =
2− 1
2
− 1
2 2
A B = ∅ 2 0x y+ = 1 0x my+ + = 1
2m =
z 1 iz z− = − i z x y
y x= − y x= ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( ) ( )2 21 1 1x y+ + + =
( , )z x yi x y R= + ∈ 1 iz z− = − 1x yi x yi i+ − = + −
2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y− + = + − y x=
1 2,e e ( )1 2 12− ⊥e e e 1 2,e e
2π
3
π
3
π
4
π
6
( )1 2 12− ⊥e e e ( )1 2 12 0− ⋅ =e e e 1 1
2
22= ⋅e e e
1 2cos , =e e 1
2
[ ]1 2, 0,∈ πe e 1 2,
π
3=e e
( ),P x y
3 2 0
5 0
5 0
x y
x y
x
− ≥
+ − ≥
− ≤
( ),Q x y 2( ) 1f x x= −
5 2 12
− 13 1− 5 2
2【解析】如图所示，点 P 在平面区域内任一点 P，点 Q 在半圆 上，
过点 O 作直线的垂线，垂足为 P，交半圆于 Q，此时 取最小值，
求得 .
6．若 ，则
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】 ， ，
所以 ， ，故 .故选 B.
7．若 ，则
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D．
【解析】由 得 ,所以 ,
所以 或 ,故 或 .故选 D.
8. 若函数 的图象向右平移 个单位得到的图象对应的函数为 ，则下列说法正
确的是（ ）
A. 的图象关于 对称 B. 在 上有 2 个零点
2 2 1(0 1)x y y+ = ≤ ≤
PQ
min
5 2| | 12PQ = −
( ) 3
3
12
3 1log e,2 e,a b c
− = = =
a b c> > c a b> > a c b> > c b a> >
( )2 1
3 032 2 2 1a = = > =
1
3 1 1
331 e 2e ac
− = = >
=
1 a c< < 3 3log e log 3 1b = < = c a b> >
tan 3cos( )2
α α − = − π
π
cos2α =
1− 7
9 0 7
9 1− 7
9
tan 3cos( )2
α α − = − π
π sin 2 3cos
cos 2
α
α
α
π − = −π −
cos 3cossin
α αα = −
cos 0α = sin 3
1α = − 2cos2 2cos 1 1α α= − = − 2cos2 1 2 7
9sinα α= − =
( ) sin 2f x x= 11
6
π ( )g x
( )g x
12x
π= − ( )g x [ ]0 π，C. 在区间 上单调递减 D. 在 上的值域为
【答案】B
【解析】由题意 ，
不是函数的最值， 不是对称轴，A 错；
由 ， ， ，其中 是 上
的零点，B 正确；
由 得 ， ，
因此 在 是递减，在 上递增，C 错；
时， ， ，D 错．
故选：B．
9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘 3 再加 1,如果它是偶数.则对它除
以 2,如此循环,最终都能够得到 1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入 n 的值为 10.则输
出 i 的值为
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
( )g x 5
3 6
π π
， ( )g x 02
π − ， 3 02
−
，
11 11( ) sin 2( ) sin(2 ) sin(2 )6 3 3g x x x x
π π π= − = − = +
1( ) sin( )12 6 3 2g
π π π− = − + =
12x
π= −
( ) sin(2 ) 03g x x
π= + = 2 ( )3x k k Z
π π+ = ∈
2 6
kx
π π= − 5,3 6
π π [0, ]π
32 2 22 3 2k x k
π π ππ π+ ≤ + ≤ + 7
12 12k x k
π ππ π+ ≤ ≤ + k Z∈
( )g x 7( , )3 12
π π 7 5( , )12 6
π π
[ ,0]2x
π∈ − 22 [ , ]3 3 3x
π π π+ ∈ − 3( ) [ 1, ]2g x ∈ −【解析】
10．已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，点 P 为椭圆上不同于左、右
顶点的任意一点，I 为 的内心，且 ，若椭圆的离心率为 e，则
（ ）
A. B. C.e D.
【答案】A
【解析】设 内切圆的半径为 r
则 ， ， .
，
整理得 ，∵P 为椭圆上的点， ，解得 .
故选：A
11．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 是 上关于原点对称
的两点， 是 上异于 的动点，直线 的斜率分别为 ，若 ，则 的取
值范围为
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】∵双曲线 的一条渐近线方程为 ，∴ ，
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 1F 2F
1 2PF F∆
1 1 2 2IPF IF F IPFS S Sλ∆ ∆ ∆= − λ =
1
e
2
e 2e
1 2PF F∆
1 1
1
2IPFS r PF∆ = ⋅
2 2
1
2IPFS r PF∆ = ⋅
1 2 1 2
1
2IF FS r F F∆ = ⋅
1 1 2 2IPF IF F IPFS S Sλ∆ ∆ ∆= − 1 1 2 2
1 1
2 2 2r PF r F F r PF
λ∴ ⋅ = ⋅ − ⋅
1 2 1 2F F PF PFλ = + 2 2c aλ∴ ⋅ = 1
e
λ =
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2 0x y− = ,A B C
M C ,A B ,MA MB 1 2,k k 11 2k 2k
1 1,8 4
1 1,4 2
1 1,4 8
− −
1 1,2 4
− −
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2 0x y− = 2a b=则双曲线的方程为： ,
设 ， ，则 ,所以
，
即 ，∵ ，∴ .故选 A.
12．若函数 有极值点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。
13．已知函数 f(x)=ae +x+b,若函数 f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y=2x+3,则 ab 的值为______.
【答案】2
【解析】
14． 展开式中 x 的系数为______.
【答案】56
2 2
2 2 1( 0)4
x y bb b
− = >
( )1 1,A x y ( )0 0,M x y ( )1 1,B x y− −
2 2
1 1
2 2
2 2
0 0
2 2
1
4 ,
1
4
x y
b b
x y
b b
− =
− =
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2
1 0 1 0
1, 44
x x x x y y y y y y y y
x x x xb b
+ − + − + −∴ = ∴ = + −
1 2
1
4k k⋅ = 11 2k 2
1 1,8 4k ∈
( ) ln xf x a x e= − a
( ),e− +∞ ( )1,e ( )1,+∞ ( )0,+∞
x
41(1 )(1 2 )xx
+ + 2【解析】
15．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先
发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三
段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的
边长比为 ，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为
______．
【答案】 ．
【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为 ，则小
勒洛三角形的面积为 ，因为大
小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为 ，所
以大勒洛三角形的面积为 ，若从大的勒洛三角形中随机取
一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 ．
16．平行四边形 中， 是腰长为 2 的等腰直角三角形， ，现将 沿
折起，使二面角 大小为 ，若 A，B，C，D 四点在同一球面上，则该球的表
面积为______.
【答案】
【解析】由题意，取 ， 的中点分别为 ， ，
过 作面 的垂线与过 作面 的垂线，
两垂线交点 O 即为所求外接球的球心，
取 中点 E，连结 ， ，
则 即为二面角 的平面角，
又由 ，连接 ，
在 中，则 ，在 中， ，得 ，
即球半径为 ，所以球面积为
1:3
1
9
a
( )2
1
2
2
3 2 3
46 2a
aaS
π − 3π= × − × =
1:3
( )( ) ( )2 2
2 2
3 9
2
a a
S
π − 3 π − 3
= =
1
2
1
9
S
SP = =
ABCD ABD∆ 90ABD∠ = ° ABD∆
BD A BD C− − 2
3
π
20π
AD BC 1O 2O
1O ABD 2O BCD
BD 1O E 2O E
1 2O EO∠ A BD C− −
1 2 1O E O E= = OE
1Rt O OE∆ 1 3O O = 1Rt O OA∆ 1 2O A = 5OA =
5R OA= = 24 20S Rπ π= =.
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）数列
（1）求 的通项公式；
（2）若数列
【解】
6 分
………………………7 分
9 分
………………………10 分
………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）如图，三棱锥 P − ABC 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， PA = PB ，∠APB =
∠ACB = 90 ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点 G 是△ BCE 的重心．
（1）证明： GF / / 平面 PAC ；
（2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为60 ，求二面角B−AP−C的余弦值.
).13(2
1}{ 321 −=++++ n
nn aaaaa 满足：
}{ na
.T}{,3}{ n项和的前求满足： nbab n
ba
nn
nn=【解】19．（本小题满分 12 分）已知点 P 到直线 y＝﹣3 的距离比点 P 到点 A（0，1）的距离多 2．
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）经过点 Q（0，2）的动直线 l 与点 P 的轨迹交于 M，N 两点，是否存在定点 R 使得∠MRQ＝∠
NRQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】（1）根据题意，|PA|的距离与 P 到直线 y＝﹣1 的距离相等，
故 P 的轨迹为以 A 为焦点，y＝﹣1 为准线的抛物线，
所以方程为 x2＝4y；
（2）根据抛物线的对称性知，若点存在一定在 y 轴上，设 R（0，r），
由∠MRQ＝∠NRQ 得 kNQ+kMQ＝0，
设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 ，
由题意显然 l 的斜率存在，设 l 为：y＝kx+2，
由 ，得 x2﹣4kx﹣8＝0，
得 x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，
由 2k 2k ，
故 r＝﹣2，
所以存在定点 R（0，﹣2）．
20．（本小题满分 12 分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公司推出
的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北 19 家签约景区.为了解市民每年旅游消
费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到
的数据列成如下所示的频数分布表：
组别
频数 10 390 400 188 12
（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 .若该市总人口为
450 万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上；
（3）若年旅游消费支出在 40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取
3 人，一年内继续来该景点游玩记 2 分，不来该景点游玩记 1 分.将上述调查所得的频率视为概
率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望.
附：若 ，则 ，
，
[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
( )245,15N
( )2~ ,x N µ σ ( ) 0.6826p Xµ σ µ σ− < ≤ + =
( 2 2 ) 0.9544p xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9973p µ σ µ σ− ≤ + =【解】（1）设样本的中位数为 x，则 ，
解得 ，所得样本中位数为（百元）.…………2 分
（2） ， ， ，
旅游费用支出在 7500 元以上的概率为
，
，
估计有 10.26 万市民旅游费用支出在 7500 元以上.…………6 分
（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为 ，X 可能取值为 3，4，5，6
， ，
， ，
故其分布列为
X 3 4 5 6
P
.………12 分
21．（本小题满分 12 分）已知函数 .
（1）求 的最大值；
（2）若 恒成立，求实数 b 的取值范围.
【解】(1) ，定义域 ，
，
由 ， 在 增，在 减，
(2)
( )4010 390 400 0.51000 1000 1000 20
x −+ + ⋅ =
45x=
45µ = 15σ = 2 75µ σ+ =
( )2P x µ σ≥ + 1 ( 2 2 ) 1 0.9544 0.02282 2
P xµ σ µ σ− − < < + −= = =
0.0228 450 10.26× =
3
5
( ) 32 83 5 125P X = = =
( ) 2
1
3
3 2 364 5 5 125P X C = = =
( ) 2
2
3
3 2 545 5 5 125P X C = = =
( ) 33 276 5 125P X = = =
8
125
36
125
54
125
27
125
( ) 8 36 54 27 243 4 5 6125 125 125 125 5E X = × + × + × + × =
( ) ln
xef x x x x
= − −
( )f x
1( ) ( ) 1xf x x e bxx
+ + − ≥
( ) ln
xef x x x x
= − − (0, )+∞
2 2
1 ( 1) ( 1)( )( ) 1
x xe x x x ef x x x x
− − −′ = − − =
1xe x x≥ + > ( )f x (0,1] (1, )+∞ max( ) (1) 1f x f e= = −
1( ) ( )e 1xf x x bxx
+ + − ≥ e eln e 1
x x
xx x x bxx x
⇔− + − + + − ≥
ln e 1 0xx x x bx⇔ − + + − − ≥ e ln 1xx x x bx
− − +⇔ ≥令 ，
令 ， 在 单调递增， ，
在 存在零点 ，
即
，
由于 在 单调递增，故 即
在 减，在 增，
所以 .
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用 2B 铅
笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以 为极点， 轴的正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设点 为 上的任意一点，求 到 距离的取值范围．
【解】（1） 的普通方程为 ，即 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
的直角坐标方程为 ，即 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由（1）知， 是以 为圆心，半径 的圆，
圆心 到 的距离 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
所以直线 与圆 相离，
到 距离的最小值为 ；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
最大值为 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 到 距离的取值范围为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
xOy 1C 3 ,x t
y t
= − +
= t O x
2C 2 1 2 cosρ ρ θ= +
1C 2C
P 2C P 1C
1C 3x y− = − 3 0x y− + =
2C 2 2 1 2x y x+ = + ( )2 21 2x y− + =
2C ( )1,0 2r =
2C ( )1,0 1C 1 0 3 2 2 2
2
d
− += = ＞
1C 2C
P 1C 2 2 2 2d r− = − =
2 2d r+ = + 2 3 2=
P 1C 2,3 2
min
e ln 1( ) ,
xx x x bx
− − +⇔ ≥
e ln 1( )
xx x xx x
ϕ − − +=
2 ln( )
xx e xx x
ϕ +′ =
2( ) lnxh x x e x= + ( )h x (0, )+∞ 0, ( )x h x→ → −∞ (1) 0h e= >
( )h x (0,1) 0x
02
0 0 0( ) ln 0xh x x e x= + =
0 0 0
1ln
2 0
0 0 0
0 0
ln 1ln 0 (ln )( )x x xxx e x x e ex x
+ = ⇔ = − =
xy xe= (0, )+∞ 0 0
0
1ln ln ,x xx
= = − 0
0
1xe x
=
( )xϕ 0(0, )x 0( , )x +∞
0
0 0 0 0 0
min
0 0
e ln 1 1 1( ) 2
xx x x x xx x x
ϕ − − + + − += = =
2b ≤
−已知函数 （ ），不等式 的解集为 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ， ，且 ，求 的最大值.
【解】（1）∵ ，
，
所以不等式 的解集为 ,
即为不等式 的解集为 ，
∴ 的解集为 ,
即不等式 的解集为 ，
化简可得,不等式 的解集为 ，
所以 ,即 .
（2）∵ ，∴ .
又∵ ， ， ，
∴
，
当且仅当 , 等号成立,
即 ， ， 时，等号成立，
∴ 的最大值为 32.
( ) 2f x x m x= − − + m R∈ ( )2 0f x − ≥ ( ] 4−∞，
m
0a > 0b > 3c > 2 2a b c m+ + = ( )( )( )1 1 3a b c+ + −
( ) 2f x x m x= − − +
( )2 2 2 2f x x m x∴ − = − − − − +
( )2 0f x − ≥ ( ] 4−∞，
2 0x m x− − − ≥ ( ] 4−∞，
2x m x− − ≥ ( ] 4−∞，
( )2 22x m x− − ≥ ( ] 4−∞，
( )( )2 2 2 0m m x+ + − ≥ ( ] 4−∞，
2 42
m + = 6m =
6m = 2 12a b c+ + =
0a > 0b > 3c >
( )( )( ) ( )( )( )1 2 2 31 1 3 2
a b ca b c
+ + −+ + − =
( ) ( ) ( ) 3 3 31 2 2 31 1 2 1 12 322 3 2 3 2 3
a b c a b c+ + + + − + + ≤ = = =
1 2 2 3a b c+ = + = − 2 12a b c+ + =
3a = 1b = 7c =
( )( )( )1 1 3a b c+ + −
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