河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着”
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2020 届高三下学期第三次阶段质量检测
数学（文）试卷
（时间 120 分钟，满分 150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答
案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷 选择题
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．已知集合 0,1,2,3,4M ， | 2 2N x x ，则 MN （ ）
A． 0,1,2 B． 0,1 C． 0 D． 1
2．设复数 z 满足 1+ 2iz ，则复平面内 表示的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 (1,2)a ， 2( 1, )b x x ，则“ 1x ”是“ ab ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知实数 ,xy满足约束条件
20
22
0
xy
xy
xy
，则 3z x y 的最大值为（ ）
A．14
5
B． 4 C． 2 D． 0
5．设等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ，已知 3 1313 52aS，则 9S （ ）
A．9 B．18 C． 27 D．36
6．已知函数 ()fx是定义在 R 上的偶函数，当 0x ， 3( ) 3f x x x，
则
3
2(2 )af , 3
1(log )27bf ， ( 2)cf 的大小关系为（ ） 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着”
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A． abc B． a c b
C．bac D．b c a
7．现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为115，且方差达到最小，
则 mn 的值是（ ）
A． 27 B．32 C．35 D．36
8．已知函数 ( ) sin( )f x A x( π0, 0, 2A )的部分图象如图所示，
若 ( ) ( ) 0f a x f a x ，则 a 的最小值为（ ）
A． π
12
B． π
6
C． π
3
D． 5π
12
9．已知椭圆
22
:194
xyC 的左焦点为 F ，点 M 在椭圆C 上且位于第一象限，
O 为坐标原点，若线段 MF 的中点 N 满足 0NF NO，则直线 的方程为（ ）
A．3 3 5 0xy B． 2 2 5 0xy
C． 50xy D． 2 5 0xy
10．半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示，
是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方
体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱
锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正
三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等
边体的棱长为 2 ，则该二十四等边体外接球的表面积为（ ）
A． 4π B．6π C．8π D．12π
11．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、
机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长
为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如
图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3 ，若从大的勒
洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为（ ）
A． 1
9
B． 2
9
C． 1
6
D． 1
3
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12．已知函数 12( ) 2ln ( ), ( ) 1f x x e x e g x mx ，若 ()fx与 ()gx的图象上存在关于直线 1y 对
称的点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．
3
2[ , ]ee
B．
3
2[ 2 ,3 ]ee
C． 32[ , ]ee D． 32[ 2 ,3 ]ee
第 II 卷 非选择题
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
13．曲线 2e ( 2)xyx在点(0,2) 处的切线方程为______ .
14．执行如图所示的程序框图后，输出 S 的值为______ .
15．已知双曲线
22
22: 1( 0, 0)xyC a bab 的左右焦点分别为 1F ， 2F ，直线l 过点 交双
曲线右支于 P ，Q 两点，若 21 3PF PF ， 24PQ PF ，则双曲线C 的离心率为_____.
16．如图，在平面四边形 ABCD中， 1AD ， 5BD ， AB AC ， 2AC AB ，
则 CD 的最小值为______ .
三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分
17．（本小题满分 12 分）
已知等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ，公差 0d ， 1 2a ，且 1 2 4,,a a a 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（2）记
12
11
n
n
n
b Sa
，求数列{}nb 的前 项和 nT .
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18．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 1 1 1—ABC A B C 中，四边形 11ABB A 为正方形，且 1 4AC AA， 1 60CAB CAA .
（1）求证:平面 1AB C 平面 ；
（2）求点 A 到平面 11A B C 的距离.
19．（本小题满分 12 分）
已知 ,AB是抛物线 2:4C y x 上两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴有唯一的交点 0( ,0)Px .
（1）求证: 0 2x ；
（2）若直线 过抛物线C 的焦点 F ，且 =10AB ，求 PF .
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) ln 2 1f x ax x x a ( aR ).
（1）若 ()fx在[1, ) 上单调递增，求 a 的取值范围；
（2）若对 (1, )x ， 2( ) 0f x x恒成立，求 的取值范围.
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21．（本小题满分 12 分）
某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入 2 千万资金后，工人人数 x (单位:
百人．．)对年产能 y (单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统
计量表.
x y ln y 1
x
2
1
()
n
i
i
xx
2
1
11()
n
i ixx
1
( )( )
n
ii
i
x x y y
1
11( )(ln ln )
n
i
i i
yyxx
1
( )(ln ln )
n
ii
i
x x y y
5.825 3.612 0.154 1.077 328 27.87 150.80 55.74 126.56
（1）根据散点图判断: lny a b x 与
b axye
哪一个适宜
作为年产能 关于投入的人力 的回归方程类型？并说明理
由？
（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立 关于
的回归方程；
（3）现该企业共有 2000 名生产工人，资金非常充足，为了
使得人均年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金
（单位：千万元）？
附注：对于一组数据 11( , )st ， 22( , )st ，…，( , )nnst ，其回归
直线t bs a的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1
2
1
( )( )
,
()
n
ii
i
n
i
i
s s t t
b a t bs
ss
，(说明: ( ) e
b axfx
的导函数为
2
e()
b axbfx x
)
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（二）选考题：共 10 分，请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应
的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的
首题进行评分.
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为
1+cos
1 cos
2sin
1 cos
x
y
( 为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 0 ( 0 (0,π) )，将曲线 向左平移 2个单位长度得到曲线C .
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）设直线 与曲线 交于 ,AB两点，求
11
OA OB 的取值范围.
23． [选修 4-5：不等式选讲] (本小题满分 10 分）
已知函数 2( ) 1f x x x ，且 ,Rmn ．
（1）若 22mn，求 ( ) 2 ( )f m f n 的最小值，并求此时 ,mn的值；
（2）若| | 1mn，求证:| ( ) ( ) | 2(| | 1)f m f n m ．
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