正定中学（实验中学）2020 届高三下学期第三次阶段质量检测
理数试卷
一、选择题:本大题共 12 小题，每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 },则 A∩B= ( )
A. [-3,0] B. [-3,1] C. [-3,0) D. [-1,0)
2.已知复数 则 在复平面内对应点所在象限为()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.短道速滑队组织 6 名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)参加冬奥会选拔赛，记“甲得
第一名”为 P，“乙得第二名” 为 q，“丙得第三名” 为 r,若 p∨q 是真命题，(¬q)∧r 是真命题，则选拔赛的结果为
( )
A.甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 B.甲没得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
C.甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名 D.甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
4.已知 tanα=3,则 ()
5.已知定义域为 I 的偶函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增，且∃ 则下列函数中符合.上述条件的
是( )
6.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关，初行健步不为难;次日脚痛减-一半，如此六日过
其关.”则下列说法错误的是
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的
D.此人后三天共走了 42 里路
7.已知函数 ，直线 y=a 与 f(x)的图象的相邻两个交点的横
坐标分别是 2 和 4，下列正确的是( )
A.该函数在[2,4]上的值域是
B.在[2,4]上，当且仅当 x= 3 时函数取最大值
C.该函数的最小正周期可以是
2{ | 2 3 0}, { | ln( )A x x x B x y x= + − ≤ = = −
3
2 ,(1 )
iz i
= − z
2cos sin 2α α+ =
7 2. 10A 7. 10B 7 2. 10C − 7. 10D −
0 0, ( ) 0,x I f x∈ <
2. ( ) | |A f x x x= + . ( ) 2 2x xB f x −= −
2. ( ) log | |C f x x=
4
3. ( )D f x x
−=
1
8
( ) 2 sin( )( 0, 0,| | )f x a x aπω ϕ ω ϕ π= + ≠ > <
[ , 2 ]a a
8
3D. f(x)的图象可能过原点
8.已知向量 满足 则| |的最大值等于( )
C.2
9.已知双曲线 的左右焦点分别为 过点 的直线交双曲线右支于 A、B 两点,若
是等腰三角形,且∠A=120°.则 的周长为( )
10.数列 满足 且其前 n 项和为 则正整数 m= ( )
A.99 B.103 C.107 D.198
11. 已知 A(3,0), 若点 P 是抛物线 上任意一点，点 Q 是圆 上任意一点，则
的最小值为( )
A.3 D.4
12.下列四个命题: 其中真命题的个数是( )(e
为自然对数的底数)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题:本大题共 4 小题，每题 5 分,共 20 分.
展开式中，含 项的系数为____
14.函数 f(x)= lnx 和 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则这条切线方程为___
15.如图,在棱长为 2 的正方体 中,点 M 是 AD 中点，动点 P 在底面 ABCD 内(不包括边界)，
使四面体 体积为 的最小值是___
16. 已 知 数 列 为 等 差 数 列 ， 公 差 d>0, 为 数 列 前 n 项 和 , 若 满 足
，则 d=_____; _____(本题第一空 2 分,第二空 3 分.)
三、解答题:本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
, ,a b c 3| | 1,| | 3, , , 30 ,2a b a b a c b c °= = ⋅ = − − − = c
. 2 7A . 7B . 2D
2 2
2 1( 0)4
x y bb
− = > 1 2 ,F F 2F
1ABF∆ 1ABF∆
16 3. 83A + . 4( 2 1)B − 4 3. 83C + . 2( 3 2)D −
{ }na 1 1, 2 3,n na Z a a n+∈ + = + ,nS 13 ,mS a=
2 8y x= 2 2( 2) 1x y− + =
2| |
| |
PA
PQ
. 4 3 4B − . 2 2C
(1) 5 5 2ln ln< (2)ln e
ππ > 11(3)2 11< (4)3 2 4 2,eln >
513.(2 )(1 2 )x x− + 2x
2( )g x ax x= −
1 1 1 1ABCD A B C D−
1A BMP 2 ,3 1C P
3( ) ( 1) 4 4,f x x x= − − + { }na nS { }na
2018 2019 2020( ) ( ) ( )f a f a f a= = 4038S =个考生都必须回答.第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.
17. ( 本 小 题 满 分 12 分 )△ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 边 分 别 为 a,b,c ， 已 知 △ABC 面 积 为 S ，
C).
(I )求角 C;
(II)若 D 为 AB 中点,且 c=2,求 CD 的最大值.
18.如图,在三棱柱 中， 平面 ABC，D 是 AB 的中点，BC=
(I)求证: 平面
(II)求平面 与平面 所成锐二面角的平面角的余弦值.
19.已知椭圆 C: 的半焦距为 c,圆 与椭圆 C 有且仅有两个公共点，直
线 y= 2 与椭圆 C 只有一个公共点.
(I)求椭圆 C 的标准方程;
(II) 已知动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F，且与椭圆 C 分别交于 P,Q 两点，试问: x 轴上是否存在定点 R,使
为定值?若存在，求出该定值和点 R 的坐标;若不存在，请说明理由.
20.已知函数
(I)若 是 f(x)的导函数,讨论 的单调性;
(II)若 是自然对数的底数),求证: f(x)>0.
1 ( sin sin sin(2S c a A b B c= + −
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ , 2 2 2,AC AB DC= =
1 4.AA =
1 / /BC 1ACD
1 1BCC B 1ACD
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 2 2:O x y c+ =
RP RQ⋅
1( ) ( )ln ( ).2f x x a x x a R= − + ∈
( )f x′ ( ) ( ) lng x f x x a x′= − −
1( ,2 )(2a e ee
∈21.冠状病毒是-一个大型病毒家族,已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征
(SARS)等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV) 是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.
人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导
致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.
某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性，现有 n(n∈N*)份血液样本，有以下两种检验方式:
方式-一:逐份检验,则需要检验 n 次.
方式二:混合检验,将其中 k(k∈N*且 k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验. 若检验结果为阴性,这 k 份的
血液全为阴性,因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几
份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验,此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1.
假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的
概率为 p(0
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