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1 重庆市巴蜀中学 2018-2019 学年高二下学期第一次月考数学（理）试题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确选项） 1．小明准备从重庆到奉节参观白帝城，有两种交通方案：（1）坐大巴直达，有 10 班车；（2）先坐动车 到万州，有 8 班列车，第二天再坐大巴到奉节，有 7 班车．则小明共有（　　）种不同的出行方法？ A．25 B．560 C．66 D．150 2．复数 z 在复平面上对应的点的坐标为（a2﹣3a+2，a﹣1），则 a＝1 或 2 是 z 为纯虚数的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3．设 ξ 是服从二项分布 B（n，p）的随机变量，又 E（ξ）＝15，D（ξ）= 45 4 ，则 n 与 p 的值分别为（　　） A．60，3 4 B．60，1 4 C．50，3 4 D．50，1 4 4．已知直线 m 和平面 α，β，则下列四个命题中正确的是（　　） A．若 α⊥β，m⊂β，则 m⊥α B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 α∥β，m∥α，则 m∥β D．若 α∥β，m⊥α，则 m⊥β 5．若（x2+1）（x﹣3）9＝a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+…+a11（x﹣2）11，则 a1+a2+…+a11 的值 为（　　） A．0 B．﹣5 C．5 D．255 6．有 5 名外校老师到巴蜀中学参观访问，分别选择至善楼、明德楼、正心楼中的一幢教学楼交流，要求每 幢教学楼至少有一名老师，且至多两名．其中甲和乙不能到同一幢教学楼，则有（　　）种不同的安排 方案？ A．162 B．36 C．72 D．108 7．设斜率为3 2的直线 l 与双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）交于不同的两点 P，Q，若点 P，Q 在 x 轴上的射 影恰好为双曲线的两个焦点．该双曲线的右焦点 F 到其中一条渐近线的距离为 3，则双曲线的焦距是 （　　）2 A． 3 B．2 3 C．2 D．4 8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．7 3 B．8 ― 휋 3 C．8 3 D．7 ― 휋 3 9．从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中选出三个数，排成一个三位数．在这个三位数是偶数的条件下，该 三位数的三个数字之和为偶数的概率是（　　） A．11 26 B．11 50 C． 1 13 D． 9 26 10．球 O 上有三点 A，B，C，AB = 3，BC＝1，AC＝1，若 D 为球 O 上一动点，三棱锥 D﹣ABC 体积的 最大值为 6 + 3 12 ，则球 O 的表面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 11．巴蜀中学国旗队有十人，记为 A，B，C，D，E，F，G，H，J，K．某日为了完成新的仪仗任务，将十 个同学分成两个方阵．其中将 A，B，C，D，E 五人排成一行形成甲方阵，要求 A，B 不相邻，C，D 不 相邻；剩下的五位同学排成一行形成乙方阵，要求 F，G 相邻，J 在 H 的左边（不一定相邻）．则有（　　） 种不同的排列方法． A．72 B．48 C．576 D．1152 12．已知函数푓(푥) = 푒푥 푥 ，若方程 f2（x）﹣2kf（x）+k+6＝0 有四个解，则 k 的取值范围为（　　） A．（3，+∞） B．（e，푒2 + 6 2푒 ― 1） C．（3，푒2 + 6 2푒 ― 1） D．（0，e）3 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分 关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是　 　． 14．( 푥 ― 2 푥)푛的展开式中，有且只有第 4 项的二项式系数最大，则常数项是　 　． 15．在一次国际抗震救灾中，从 5 名中方搜救队队员（4 男 1 女），3 名外籍搜救队队员（2 男 1 女）中选 3 名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，请问既有女队员，又有外籍队员的概率是　 　． 16．直线 l：y＝k（x﹣1）与抛物线 C：y2＝4x 交于 P，Q 两点（P 在 Q 的上方），F 为抛物线的焦点，O 为 原点，且푆△푂퐹푃 푆△푂퐹푄 = 3．以 PQ 为直径的圆与直线 x＝a（a＜0）相切，切点为 M，则| → 푀퐹|＝　 　． 三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分．解答应写出必要步骤） 17．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{푥 = 4 + 3푐표푠휃 푦 = 3푠푖푛휃 （θ 为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）已知过原点 O 且倾斜角为휋 6的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 1 |푂퐴| + 1 |푂퐵|的值． 18．（12 分）口袋中有大小、质地均相同的 6 个球，其中 3 个红球，2 个黑球，1 个白球， （1）从中任取两个球，求取出的球颜色不同的概率； （2）从中任取 3 个球，若取出的红球数设为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望以及方差． 19．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，PD⊥底面 ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD ＝AB＝1，BC = 2． （Ⅰ）求证：平面 PBD⊥平面 PBC； （Ⅱ）设 H 为 CD 上的一点，满足2 → 퐶퐻 = 3 → 퐻퐷，若直线 PC 与平面 PBD 所成角的正切值为 6 3 ，求二面角4 H﹣PB﹣C 的余弦值． 20．（12 分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成 活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为1 3，乙组能使生物成活的概率为1 2，假 定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． （I）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； （Ⅱ）如果乙小组成功了 4 次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败 的概率； （Ⅲ）为了激励研究热情，首先分别给予两个小组各 50 万元的研究经费，并规定试验每成功一次，额外 奖励 9 万元．若甲乙两小组各进行 2 次试验，设两个小组获得的总费用（研究经费+额外奖励）为 Y，求 Y 的数学期望． 21．（12 分）已知直线 x﹣2y+2＝0 经过椭圆퐶：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆 C 的右顶 点为 B，点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点，直线 AS，BS 与直线푙：푥 = 10 3 分别交于 M，N 两点． （1）求椭圆 C 的方程； （2）求线段 MN 的长度的最小值； （3）当线段 MN 的长度最小时，在椭圆 C 上是否存在这样的点 T，使得△TSB 的面积为1 5？若存在，确 定点 T 的个数，若不存在，说明理由． 22．（12 分）设函数 f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．5 （1）若直线 y＝3x﹣1 是函数 f（x）图象的一条切线，求实数 a 的值； （2）若函数 f（x）在[1，e2]上的最大值为 1﹣ae（e 为自然对数的底数），求实数 a 的值； （3）若关于 x 的方程 ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t＝ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数 t 的取值范 围．