一、选择题：（每小题5分，总分60分，每小题仅有一个正确答案）
1．1﹣2i（i是虚数单位）的虚部是﹣2．
故选：D．
2．A，f（x）为常数，显然成立；
B，f'（x）＝﹣sinx；
C成立，
D成立，
故选：B．
3．∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
4．由（1﹣i）z＝|2i|＝2，得z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i．
故选：B．
5．以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，
令AB＝1，则B（1，1，2），E（1，0，1），C（0，1，2），D1（0，0，0），
BE→=（0，﹣1，﹣1），CD1→=（0，﹣1，﹣2），
∴|cos＜BE→，CD1→＞|＝|BE→⋅CD1→|BE→|⋅|CD1→||=31010．
∴异面直线BE与CD1所成角的余弦值为31010．
故选：C．
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6．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，故A正确；
由x＞1，可得|x|＞1＞0，反之，由|x|＞0，不一定有x＞1，如x＝﹣1，
∴“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件，故B正确；
命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故C正确；
若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故D错误．
故选：D．
7．∵f′（x）＝2f′（1）+2x
∴f′（1）＝2f′（1）+2
∴f′（1）＝﹣2[来源:Z.X.X.K]
∴f′（x）＝﹣4+2x
∴f′（0）＝﹣4
故选：D．
8．从5个人中随机抽取3人，所有的情况为：
（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊），
（乙、丙、丁），（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、丁、戊），共10种，
其中满足条件的为（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），共3种，
故甲、乙同时被抽到的概率为P=310．
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故选：C．
9．如图所示，
∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，
∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．
∵S△A1B1C1=34×3=334．
∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=334AA1，解得AA1=3．
又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P=23A1D=1，
在Rt△AA1P中，tan∠APA1=3，
∴∠APA1＝60°．
故选：B．
10．函数f（x）＝ax﹣lnx的导数为f′（x）＝a-1x，
可得图象在点（1，f（1））处的切线斜率为a﹣1，
且f（1）＝a，
则切线方程为y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），
令x＝0，可得y＝1，
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故选：B．
11．对于A，AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，则AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，不合题意；
对于B，AP⊥PB，BC⊥PB，不能证明AP⊥BC，合题意；
对于C，平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，不合题意；
对于D，AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，不合题意；
故选：B．
12．依题意，ba=12，则双曲线的方程为：x24b2-y2b2=1，则A（﹣2b，0），B（2b，0），设M（x0，y0），则x024b2-y02b2=1，
所以k1k2=y0x0+2b⋅y0x0-2b=y02x02-4b2=b2(x024b2-1)x02-4b2=14，因为k1∈[1，2]，
所以k2=14k1∈[18，14]，
故选：A．
二、填空题（每小题5分，总分20）
13．由Z＝a+i，且Z+Z=4，得2a＝4，即a＝2．
∴Z=2-i．
故答案为：2﹣i．
14．设切点为（m，n），（m＞0），
y=x24-3lnx的导数为y′=12x-3x，
可得切线的斜率为12m-3m=-12，
解方程可得，m＝2．
故答案为：2．
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15．依题意，点（0，1）为抛物线的焦点，
则由抛物线的定义可得|AB|＝y1+y2+2=94+2=174．
故答案为：174．
16．设M（x1，y1），N（x2，y2），将y＝kx+1代入方程（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，整理得：（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7＝0，
∴x1+x2=4(1+k)1+k2，x1x2=71+k2，y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∴OM→•ON→=x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=4k(1+k)1+k2+8，
由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12，解得k＝1，∴l的方程为y＝x+1，
∴圆心C（2，3）在l上，∴|MN|＝2．
故答案为：2．
三、解答题（总分70分，要求书写完整的推演步骤）
17．（1）i100-(1-i1+i)6=(i4)25-[(1-i1+i)2]3
＝1﹣（﹣1）3＝2；
（2）f（x）＝3x2+xcosx+lgx，
f/(x)=6x+cosx-xsinx+1xln10．
18．（1）由f（x）＝x3﹣3x得，f′（x）＝3x2﹣3，
过点P且以P（1，﹣2）为切点的直线的斜率f′（1）＝0，
∴所求直线方程为y＝﹣2．
（2）设过P（1，﹣2）的直线l与y＝f（x）切于另一点（x0，y0），
则f′（x0）＝3x02﹣3．
又直线过（x0，y0），P（1，﹣2），
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故其斜率可表示为y0-(-2)x0-1=x03-3x0+2x0-1，
又x03-3x0+2x0-1=3x02﹣3，
即x03﹣3x0+2＝3（x02﹣1）•（x0﹣1），
解得x0＝1（舍）或x0=-12，
故所求直线的斜率为k＝3×（14-1）=-94，
∴y﹣（﹣2）=-94（x﹣1），
即9x+4y﹣1＝0．
19．（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
1﹣（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×10＝0.08．
完成频率分布直方图如下：
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10＝102．
（3）样本成绩属于第六组的有0.006×10×50＝3人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50＝2人，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
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基本事件总数n=C52=10，
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m=C32+C22=4，
∴他们的分差的绝对值小于10分的概率p=mn=410=25．
20．（Ⅰ）∵向量n→=(2a-c，cosC)与向量向量m→=(b，cosB)共线．
∴（2a﹣c）cosB＝bcosC，
由正弦定理可得：（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sin（B+C）＝sinA，
又∵sinA≠0，
∴cosB=12，
又∵0＜B＜π，
∴B=π3．
（Ⅱ）∵BD→=2DC→，且CD＝1，AD=7，
∴BD＝2，BC＝3，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝BD2﹣2AB•BDcosB，即7＝AB2+4﹣2AB，解之得AB＝3，或AB＝﹣1（舍），
∴S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB=12×3×3×32=934．
21．（1）证明：依题意，A1B1∥¯¯AB，且AB∥¯¯CD，
∴A1B1∥¯¯CD，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴B1C∥A1D，
∵B1C⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，
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∴B1C∥平面A1BD．
（2）依题意，AA1=2，AO=3，
在Rt△AA1O中，A1O=AA12-AO2=1，
所以三棱锥A1﹣BCD的体积VA1-BCD=13S△BCD⋅A1O=13×(34×22)×1=33．
由（1）知B1C∥平面A1BD，
∴VB1-A1BD=VC-A1BD
=VA1-BCD=33．
22．（1）由题意得1a2+74b2=1，e=1-b2a2=32，
解得a2＝8，b2＝2，
所以椭圆的方程为C：x28+y22=1．
（2）证明：设直线l：y=-12x+m，
由y=12x+m，x28+y22=1，消去y得x2+2mx+2m2﹣4＝0，△＝4m2﹣8m2+16＞0，
解得﹣2＜m＜2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-2m，x1⋅x2=2m2-4，
由题意，易知PA与PB的斜率存在，所以α，β≠π2．
设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，
则tanα＝k1，tanβ＝k2，
要证α+β＝π，即证tanα＝tan（π﹣B）＝﹣tanβ，
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只需证k1+k2＝0，
∵k1=y1-1x1-2，k1=y2-1x2-2，
故k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)(x1-2)(x2-2)，
又y1=12x1+m，y2=12x2+m，
所以(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=(12x1+m-1)(x2-2)+(12x2+m-1)(x1-2)=x1⋅x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)=2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)=0，
∴k1+k2＝0，
故 α+β＝π．
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