中考数学常考易错点解析：概率

6.2 概率 易错清单 1. 在随机试验中,“一次取两个球”与“分两次各取一个球”,其结果一样吗? 【例 1】　(2014·广西模拟)袋中装有 3 个红球和 1 个白球,它们除颜色外都相同.随 机从中摸出两球,两球都是红球的概率为　　　　. 【解析】　将“随机从中摸出两球”错误理解为“先随机从中摸出一个球,然后放回,再 随机从中摸出一个球”,这样所有可能出现的结果就有 16 种(不妨把 3 个红球分别记为红 1, 红 2,红 3):红 1 红 1,红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 白,红 2 红 1,红 2 红 2,红 2 红 3,红 2 白,红 3 红 1,红 3 红 2,红 3 红 3,红 3 白,白红 1,白红 2,白红 3,白白,这些结果出现的可能性是相等的,两球都 是红球的概率为.事实上,“一次取两个球”相当于“连续两次不放回”,所以所有可能出现 的结果有 12 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 白,红 2 红 1,红 2 红 3,红 2 白,红 3 红 1,红 3 红 2,红 3 白, 白红 1,白红 2,白红 3,而不是 16 种. 【答案】　 【误区纠错】　将“一次取两个球”转化为“连续两次不放回”,然后用树状图或列表 格法表示所有可能出现的结果,也是解决概率问题的一种方法. 2. 如何正确理解“频率”与“概率”之间关系呢? 【例 2】　(2014·河北)某小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现 的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是(　　). A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是 4 【解析】　根据统计图可知,试验结果在 0.17 附近波动,即其概率 P≈0.17. A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀“的概率为 ,故此选项错误; B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 故此选项错误; C. 暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球的概率 为 ,故此选项错误; D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是 4 的概率为 ,故此选项正 确. 【答案】　D 【误区纠错】　频率与概率是两个不同的概念,概率是伴随着随机事件客观存在的,只要 有一个随机事件存在,那么这个随机事件的概率就一定存在;频率是通过试验得到的,随着试 验次数变化而变化,但当试验的重复次数充分大时,频率在概率附近摆动,为了求出一个随机 事件的概率,我们可以通过多次试验,用所得的频率来估计事件的概率.此题考查了利用频率 估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为频率=所求情况数与总情况数 之比.同时此题在解答中要用到概率公式. 3. 公平性的判断 【例 3】　(2014·贵州遵义)小明、小军两同学做游戏,游戏规则是:一个不透明的文具 袋中,装有型号完全相同的 3 支红笔和 2 支黑笔,两人先后从袋中取出一支笔(不放回),若两 人所取笔的颜色相同,则小明胜,否则,小军胜. (1)请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果; (2)请计算小明获胜的概率,并指出本游戏规则是否公平,若不公平,你认为对谁有利. 【解析】　(1)列表将所有等可能的结果一一列举出来即可; (2)根据列表由概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平. 【答案】　(1)列表,得: 红 1 红 2 红 3 黑 1 黑 2 红 1 红 1 红 2 红 1 红 3 红 1 黑 1 红 1 黑 2 红 2 红 2 红 1 红 2 红 3 红 2 黑 1 红 2 黑 2 红 3 红 3 红 1 红 3 红 2 红 3 黑 1 红 3 黑 2 黑 1 黑 1 红 1 黑 1 红 2 黑 1 红 3 黑 1 黑 2黑 2 黑 2 红 1 黑 2 红 2 黑 2 红 3 黑 2 黑 1 　 ∴　不公平,对小军有利. 【误区纠错】　生活中有许多类似以上的现象,有时我们仅凭借个人有限的经验来判断 是非,这往往得出错误的想法,运用概率的有关知识可以分析错误,还原一个真实的结论. 名师点拨 　　1. 掌握用列表或树状图求概率的求法. 2. 概率在实际问题中的应用. 提分策略 1. 判断具体事件是确定事件(必然事件,不可能事件)还是随机事件. 【例 1】　有两个事件,事件 A: 367 人中至少有 2 人生日相同;事件 B:抛掷一枚均匀的 骰子,朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是(　　). A. 事件 A,B 都是随机事件 B. 事件 A,B 都是必然事件 C. 事件 A 是随机事件,事件 B 是必然事件 D. 事件 A 是必然事件,事件 B 是随机事件 【解析】　事件 A:一年最多有 366 天,所以 367 人中必有 2 人的生日相同,是必然事件; 事件 B:抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面的点数为 1,2,3,4,5,6 共 6 种情况,点数为偶数是随 机事件. 【答案】　D 2. 用列表法或画树状图求概率. 当一次试验涉及多个因素(对象)时,常用列表法或画树状图法求出事件发生所有等可能 性的结果,然后找出要求事件发生的结果数,根据概率的意义求其概率.【例 2】　小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏,两同学同时出“剪刀”的概 率是　　　　. 【解析】　首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同 时出“剪刀”的情况,再利用概率公式即可求得答案. 画树状图,得: ∵　共有 9 种等可能的结果,两同学同时出“剪刀”的有 1 种情况, ∴　两同学同时出“剪刀”的概率是 . 【答案】 　 【例 3】　如图,用红、蓝两种颜色随机地对 A,B,C 三个区域分别进行涂色,每个区域必 须涂色并且只能涂一种颜色,请用列举法(画树状图或列表)求 A,C 两个区域所涂颜色不相同 的概率. 【解析】　画树状图得出所有等可能的情况数,找出 A 与 C 中颜色不同的情况数,即可 求出所求的概率. 【答案】　画树状图,如图所示: 所有等可能的情况有 8 种,其中 A,C 两个区域所涂颜色不相同的有 4 种,则 3. 概率与代数、几何、函数等学科知识的综合. 概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率,只不过是需要应用代数和几何的方法 确定某些限制条件的事件数.一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形,再求 出满足所涉及知识的情形,进一步求概率.【例 4】　在学习“二元一次方程组的解”时,数学张老师设计了一个数学活动.有 A,B 两组卡片,每组各 3 张,A 组卡片上分别写有 0,2,3;B 组卡片上分别写有-5,-1,1.每张卡片 除正面写有不同数字外,其余均相同.甲从 A 组中随机抽取一张记为 x,乙从 B 组中随机抽取 一张记为 y. (1)若甲抽出的数字是 2,乙抽出的数是-1,它们恰好是 ax-y=5 的解,求 a 的值; (2)求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax-y=5 的解的概率.(请用树形图或列表法求 解) 【解析】　(1)将 x=2,y=-1 代入方程计算即可求出 a 的值; (2)列表得出所有等可能的情况数,找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax-y=5 的 解的情况数,即可求出所求的概率. 【答案】　(1)将 x=2,y=-1 代入方程得 2a+1=5,即 a=2. (2)列表得: 0 2 3 -5 (0,-5) (2,-5) (3,-5) -1 (0,-1) (2,-1) (3,-1) 1 (0,1) (2,1) (3,1) 　 　 所 有 等 可 能 的 情 况 有 9 种 , 其 中 (x,y) 恰 好 为 方 程 2x-y=5 的 解 的 情 况 有 (0,-5),(2,-1),(3,1),共 3 种情况, 则 专项训练 一、 选择题 1. (2014·广东深圳模拟)从一个袋中摸出一个球(袋中每一个球被摸到的可能性相等),恰为 红球的概率为,若袋中原有红球 4 个,则袋中球的总数大约是(　　). A. 12 B. 16 C. 32 D. 24 2. (2014·山东日照模拟)小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分 别标有数字 1,2,3,4,5,6).记甲立方体朝上一面上的数字为 x、乙立方体朝上一面朝上的数 字为 y,这样就确定点 P 的一个坐标(x,y),那么点 P 落在双曲线 y=上的概率为(　　). A. B. C. D. 3. (2013 · 山 东 德 州 一 模 ) 现 掷 A,B 两 枚 均 匀 的 小 立 方 体 ( 每 个 面 上 分 别 标 有 数 字 1,2,3,4,5,6),设两立方体朝上的数字分别为 x,y,并以此确定点 P(x,y),那么各掷一次所确 定的点 P 落在已知抛物线 y=-x2+4x 上的概率为(　　). A. B. C. D. 4. (2013·山西模拟)甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中,统计了某一结果出 现的频率绘出的统计图如图所示,则符合这一结果的实验可能是(　　). (第 4 题) A. 掷一枚正六面体的骰子,出现 1 点的概率 B. 从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球,取 到红球的概率 C. 抛一枚硬币,出现正面的概率 D. 任意写一个整数,它能被 2 整除的概率 二、 填空题 5. (2014·江苏无锡港下初中模拟)在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球,它们除 颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率是,则 n=　　　　. 6. (2014·山东聊城模拟)从-2,-1,0,1,2 这 5 个数中任取一个数,作为关于 x 的一元二次方 程 x2-x+k=0 的 k 值,则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是　　　　. 7. (2014·河南鹿邑县一模)将三个均匀的六面分别标有 1,2,3,4,5,6 的正方体同时掷出,出 现的数字分别为 a,b,c,则 a,b,c 正好是直角三角形三边长的概率是　　　　. 8. (2013·山东曲阜实验中学模拟)甲、乙两人玩抽扑克牌游戏,游戏规则是:从牌面数字分 别为 5,6,7 的三张扑克牌中.随机抽取一张,放回后,再随机抽取一张,若所抽的两张牌面数 字的积为奇数,则甲获胜;若所抽取的两张牌面数字的积为偶数,则乙获胜,这个游 戏　　　　.(填“公平”或“不公平”) 9. (2013·广西南丹中学一模)某班共有 50 名同学,其中有 2 名同学习惯用左手写字,其余同学都习惯用右手写字,老师随机请 1 名同学到黑板板演,习惯用左手写字的同学被选中的概 率是　　　　. 三、 解答题 10. (2014·江苏镇江外国语学校模拟)在物理实验中,当电流通过电子元件 时,每个元 件的状态有两种可能:通过或断开,并且这两种状态的可能性相等. (1)如图(1),当两个电子元件 a,b 并联时,请用树状图或列表法表示图中 P,Q 之间电流能否 通过的所有可能情况,并求出 P,Q 之间电流通过的概率; (2)如图(2),当有三个电子元件并联时,请直接写出 P,Q 之间电流通过的概率为　　　　. (1) (2) (第 10 题) 11. (2014·四川中江县一模)在一个不透明的布袋里装有 4 个标有 1,2,3,4 的小球,它们的 形状、大小完全相同.小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为 x,小红在剩下的 3 个小 球中随机取出一个小球,记下数字为 y,这样确定了点 Q 的坐标(x,y). (1)画树状图或列表,写出点 Q 所有可能的坐标; (2)求点 Q(x,y)在函数 y=-x+5 的图象上的概率; (3)小明和小红约定做一个游戏,其规则:若 x,y 满足 xy>6 则小明胜,若 x,y 满足 xy6 有 (2,4),(3,4),(4,2),(4,3) 共 4 种 情 况 ,x,y 满 足 xy