中考数学常考易错点解析：圆

4.7 圆 易错清单 1. 考虑问题不全面,缺乏分类讨论而导致错误. 【例 1】　已知:☉ O 的直径为 14cm,弦 AB=10cm,点 P 为 AB 上一点,OP=5cm,则 AP 的长为　　　　 cm. 【解析】　学生画图造成思维定势,画出了一种,因此答案就写一种.没有真正理解“点P 为 AB 上一点,OP=5cm”的含义,即点 P 是以 O 为圆心,5cm 为半径的弧与 AB 的交点,这样的点 P 有两个. 【答案】　4 或 6 【误区纠错】　学生在画图的时候,没有分类的意识,这里的点 P 是靠近点 A 还是点 B 不清 楚,因此需要分类. 2. 切线的判定 【例 2】　(2014·山东临沂)如图,已知等腰三角形 ABC 的底角为 30°,以 BC 为直径的☉O 与底边 AB 交于点 D,过 D 作 DE⊥AC,垂足为 E. (1)证明:DE 为☉O 的切线; (2)连接 OE,若 BC=4,求△OEC 的面积. 【解析】　(1)首先连接 OD,CD,由以 BC 为直径的☉O,可得 CD⊥AB,又由等腰三角形 ABC 的 底角为 30°,可得 AD=BD,即可证得 OD∥AC,继而可证得结论; (2)首先根据三角函数的性质,求得 BD,DE,AE 的长,然后求得△BOD,△ODE,△ADE 以及△ABC 的面积,继而求得答案. 【解答】　(1)连接 OD,CD, ∵　BC 为☉O 直径, ∴　∠BCD=90°. 即　CD⊥AB, ∵　△ABC 是等腰三角形,∴　AD=BD. ∵　OB=OC, ∴　OD 是△ABC 的中位线. ∴　OD∥AC. ∵　DE⊥AC, ∴　OD⊥DE. ∵　点 D 在☉O 上, ∴　DE 为☉O 的切线. 【误区纠错】　此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角 定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的 应用. 3. 圆和圆的位置关系. 【例 3】　(2014·江苏徐州)如图,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆与小圆的半径分别为 3cm 和 1cm,若圆 P 与这两个圆都相切,则圆 P 的半径为　　　　cm. 【解析】　如解答图所示,符合条件的圆 P 有两种情形,需要分类讨论. 【答案】　由题意,圆 P 与这两个圆都相切若圆 P 与两圆均外切,如图(1)所示,此时圆 P 的 半径 若圆 P 与两圆均内切,如图(2)所示,此时圆 P 的半径 (1) (2) 综上所述,圆 P 的半径为 1cm 或 2cm. 故答案为 1 或 2. 【误区纠错】　本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是确定如何与两圆都相切,要注 意分类讨论. 名师点拨 1. 熟练掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的 相互转化. 2. 理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定,会根据条件解决圆中的动态问题. 3. 掌握由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来判定两圆的位置关系,对中考试题中出现 的阅读理解题、探索题,要灵活运用圆的有关性质,进行合理推理与计算. 提分策略 1. 利用垂径定理进行证明或计算. 通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形求解.由于圆中一条弦对应的弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况,所以利用垂径定理计算时,不要漏解. 【例 1】　(2014·湖南张家界)如图,AB,CD 是半径为 5 的☉O 的两条弦,AB=8,CD=6,MN 是直 径,AB⊥MN 于点 E,CD⊥MN 于点 F,P 为 EF 上的任意一点,则 PA+PC 的最小值为　　　　. 【答案】　7 2. 圆心角、弧、弦之间的关系的应用. 圆心角、弧、弦之间的关系要巧记.同圆或等圆中,有些关系要搞清:等弧对的弦相等,圆心角 相等,等弦所对圆心角相等,反之亦成立. 【例 2】　如图,AD 为△ABC 外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为 F,∠ABC 的平分线交 AD 于点 E, 连接 BD,CD. (1)求证:BD=CD; (2)请判断 B,E,C 三点是否在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上?并说明理由. 【解析】　(1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明;(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明 DB=DE=DC. 【答案】　(1)∵　AD 为直径,AD⊥BC, ∴　BD=CD. (2)B,E,C 三点在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上.理由如下: 由(1)知:BD=CD, ∴　∠BAD=∠CBD. ∵　∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE, ∴　∠DBE=∠DEB. ∴　DB=DE. 由(1)知:BD=CD, ∴　DB=DE=DC. ∴　B,E,C 三点在以 D 为圆心,以 DB 为半径的圆上. 3. 切线的判定与性质的应用. 【例 3】　(2014·甘肃白银)如图,Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径作半圆☉O 交 AC 于点 D,点 E 为 BC 的中点,连接 DE. (1)求证:DE 是半圆☉O 的切线. (2)若∠BAC=30°,DE=2,求 AD 的长. 【解析】　(1)连接 OD,OE,由 AB 为圆的直径得到三角形 BCD 为直角三角形,再由 E 为斜边 BC 的中点,得到 DE=BE=DC,再由 OB=OD,OE 为公共边,利用 SSS 得到三角形 OBE 与三角形 ODE 全等,由全等三角形的对应角相等得到 DE 与 OD 垂直,即可得证. (2)在直角三角形 ABC 中,由∠BAC=30°,得到 BC 为 AC 的一半,根据 BC=2DE 求出 BC 的长,确 定出 AC 的长,再由∠C=60°,DE=EC 得到三角形 EDC 为等边三角形,可得出 DC 的长,由 AC-CD 即可求出 AD 的长. 【答案】　(1)连接 OD,OE, ∵　AB 为圆 O 的直径, ∴　∠ADB=∠BDC=90°.在 Rt△BDC 中,E 为斜边 BC 的中点, ∴　DE=BE. 在△OBE 和△ODE 中, ∴　△OBE≌△ODE(SSS). ∴　∠ODE=∠ABC=90°. 则 DE 为圆 O 的切线. 4. 圆和圆的位置关系的判别. 【例 4】　(2014·四川泸州)如图,☉ O1,☉O2 的圆心 O1,O2 都在直线 l 上,且半径分别为 2cm,3cm,O1O2=8cm.若☉O1 以 1cm/s 的速度沿直线 l 向右匀速运动(☉O2 保持静止),则在 7s 时刻☉O1 与☉O2 的位置关系是(　　). A. 外切 B. 相交 C. 内含 D. 内切 【解析】　本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是根据圆的移动速度确定两圆的圆心 距,然后根据圆心距和两圆的半径确定答案. 【答案】　∵　O1O2=8cm,☉O1 以 1cm/s 的速度沿直线 l 向右运动,7s 后停止运动, ∴　7s 后两圆的圆心距为 1cm, 此时两圆的半径的差为 3-2=1cm,∴　此时内切. 故选 D. 5. 圆中涉及弧长、扇形面积等计算问题. 求不规则图形的面积,常转化为易解决问题的基本图形,然后求出各图形的面积,通过面积的 和差求出结果. 【例 5】　(2014·四川内江)通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习,我们知道滚动圆 滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程(如图(1)).在图(2)中,有 2 014 个半径为 r 的圆 紧密排列成一条直线,半径为 r 的动圆 C 从图示位置绕这 2 014 个圆排成的图形无滑动地滚 动一圈回到原位,则动圆 C 自身转动的周数为　　　　. (1) (2) 【解析】　它从 A 位置开始,滚过与它相同的其他 2014 个圆的上部,到达最后位置.则该圆 共滚过了 2014 段弧长,其中有 2 段是半径为 2r,圆心角为 120 度,2012 段是半径为 2r,圆心 角为 60 度的弧长,所以可求得. 又因为是来回所以总路程为 1314π×2=2628π. 所以动圆 C 自身转动的周数为 2628πr÷2πr=1314. 【答案】　1314 【例 6】　(2014·山东潍坊)如图,两个半径均为的☉O1 与☉O2 相交于 A,B 两点,且每个圆 都经过另一个圆的圆心,则图中阴影部分的面积为　　　　.(结果保留 π) 【解析】　连接 O1O2,由题意知,四边形 AO1BO2B 是菱形,且△AO1O2,△BO1O2 都是等边三角形,四边形 O1AO2B 的面积等于两个等边三角形的面积, 【答案】 专项训练 一、 选择题 1. (2014·甘肃天水模拟)如图所示,AB 是☉O 的直径,AD 是☉O 的切线,点 C 在☉O 上,BC∥ OD,AB=2,OD=3,则 BC 的长为(　　). (第 1 题) (第 2 题) 2. (2014·山东东营模拟)如图,▱ABCD 的顶点 A,B,D 在☉O 上,顶点 C 在☉O 的直径 BE 上,∠ ADC=54°,连接 AE,则∠AEB 的度数为(　　). A. 36° B. 46° C. 27° D. 63° 3. (2014·贵州遵义二模)如图,在等边三角形 ABC 中,AB,AC 都是圆 O 的弦,OM⊥AB,ON⊥AC, 垂足分别为 M,N,如果 MN=1,那么△ABC 的面积为(　　).(第 3 题) (第 5 题) 4. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)AB 是☉O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,DC 切☉O 于点 C, 若∠A=25°,则∠D 等于(　　). A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 5. (2013·安徽淮南市洞山中学第四次质量检测)如图,AB 是☉O 的直径,C,D 为圆上两点,∠ AOC=130°,则∠D 等于(　　). A. 25° B. 30° C. 35° D. 50° 二、 填空题 6. (2014 · 北 京 平 谷 区 模 拟 ) 如 图 , ☉O 的 直 径 CD⊥AB, ∠AOC=50°, 则 ∠CDB 的 度 数 为　　　　. (第 6 题)(第 7 题) 7. (2014·广西玉林一模)如图,在▱ABCD 中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点 A 为圆心,AD 的长为 半径画弧交 AB 于点 E,连接 CE,则阴影部分的面积是 　　　　. (结果保留 π) 8. (2013·江苏东台实中模拟)已知☉O 的半径为 6cm,弦 AB 的长为 6cm,则弦 AB 所对的圆周 角的度数是　　　　. (第 9 题) 9. (2013·吉林长春模拟)如图,☉P 与 x 轴切于点 O,点 P 的坐标为(0,1),点 A 在☉P 上,并 且在第一象限,∠APO=120°.☉P 沿 x 轴正方向滚动,当点 A 第一次落在 x 轴上时,点 A 的横 坐标为　　　　.(结果保留 π) 三、 解答题 10. (2014·安徽安庆正月 21 校联考)如图,△ABC 内接于☉O,AB 为直径,∠CBA 的平分线交 AC 于点 F,交☉O 于点 D,DE⊥AB 于点 E,且交 AC 于点 P,连接 AD. (1)求证:∠DAC=∠DBA; (2)求证:P 是线段 AF 的中点; (3)若☉O 的半径为 5, ,求 tan∠ABF 的值. (第 10 题)11. (2013·吉林镇赉县一模)如图,A,B,C 是半径为 2 的圆 O 上的三个点,其中点 A 是弧 BC 的中点,连接 AB,AC,点 D,E 分别在弦 AB,AC 上,且满足 AD=CE. (1)求证:OD=OE; (2)连接 BC,当 时,求∠DOE 的度数. (第 11 题) 参考答案与解析 1. A　[解析]∵　△ABC∽△DOA, 2. A　[解析]∠B=∠ADC=54°, ∴　∠AEB=90°-∠B=36°. 3. B　[解析]根据垂径定理知 M,N 分别是 AB, AC 的中点,由三角形中位线定理得出 BC=2MN=2, 4. C　[解析]∠COD=∠A+∠ACO=25°+25°=50°, ∴　∠D=90°-∠COD=40°. 8. 30°或 150°　[解析] 弦 AB 所对的圆周角有二种, 这二种角互补. 9. π　[解析]过点 A 作 y 轴的垂线,解所得直角三角形即可.10. (1)∵　BD 平分∠CBA, ∴　∠CBD=∠DBA. ∵　∠DAC 与∠CBD 都是弧 CD 所对的圆周角, ∴　∠DAC=∠CBD. ∴　∠DAC=∠DBA. (2)∵　AB 为直径, ∴　∠ADB=90°. 又　DE⊥AB 于点 E, ∴　∠DEB=90° . ∴　∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°. ∴　∠ADE=∠ABD=∠DAP. ∴　PD=PA. 又　∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,且∠ADE=∠DAC, ∴　∠PDF=∠PFD. ∴　PD=PF. ∴　PA=PF,即 P 是线段 AF 的中点. (3)∵　∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°, ∴　△FDA∽△ADB. 11. (1)连接 OA.∵　点 A 是弧 BC 的中点, ∴　∠AOB=∠AOC. ∵　OA=OB=OC, ∴　∠ABO=∠BAO=∠OAC=∠ACO. ∵　AD=CE,AO=CO,∠OAB=∠OCA, ∴　△ADO≌△CEO. ∴　OD=OE.∴　BF=OF. ∴　∠AOB=45°. ∵　△AOD≌△COE, ∴　∠AOD=∠COE. ∴　∠BOD=∠AOE. ∴　∠DOE=∠AOB=45°.