高二数学（理） （第 1 页 共 4 页）
2019~2020-2 高二年级 3 月阶段性考试
数 学(理)
一、选择题（本题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意）
1．设原命题：若 2a b ，则 ,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
2．设 ,m n 是两条不同的直线， ,, 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m ，n / / ，则 nm ②若 / / ， / / ，m ，则 m
③若m / / ，n / / ，则 m n/ / ④若 ， ，则 //
其中正确命题的序号是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
3．四面体 S ABC 中，各个侧面都是边长为a 的正三角形， ,E F 分别是 SC 和 AB 的中点，
则异面直线 EF 与 SA 所成的角等于
A． 090 B． 060 C． 045 D． 030
4．若函数 2( ) 4 8f x x kx 在[5,8] 上是单调函数，则k 的取值范围是
A． , 40 B．[40,64]
C． , 40 64, D． 64,
5．若方程 3 1 0x x 在区间( , )( , , 1)a b a b Z b a 且 上有一根，则 a b 值为
A． 1 B． 2 C． 4 D． 3
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6．直线 l 与两直线 1y 和 7 0x y 分别交于 ,A B 两点，若线段 AB 的中点为
(1, 1)M ，则直线l 的斜率为
A．
2
3 B． 2
3 C． 3
2 D．
3
2
7．若 ln 2 ln3 ln 5, ,2 3 5a b c ,则
A． a b c B．c b a C．c a b D．b a c
8．当0 4x 时,函数
2
2
cos( ) cos sin sin
xf x x x x
的最小值是
A． 1
2 B．4 C．2 D． 1
4
9．已知圆C ： 2 2( ) ( 2) 4( 0)x a y a 及直线 03: yxl ，当直线l 被C 截得的
弦长为 32 时，则 a
A． 2 B． 22
C． 12 D． 12
10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为
A．8 B． 6
C． 4 D． 8 2
3
11．设 ( )f x 是奇函数，且在(0, ) 内是增函数，又 ( 3) 0f ，则 ( ) 0x f x 的解集是
A． | 3 0 3x x x 或 B． | 3 0 3x x x 或
C． | 3 3x x x 或 D． | 3 0 0 3x x x 或
12．己知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时，
1 12 , 0 2
1 2 , 22
x x
f x
f x x
，
则函数 1g x xf x 在 6 , 上的所有零点之和为
A．7 B．8 C．9 D．10 高二数学（理） （第 3 页 共 4 页）
二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
13．(1) 若曲线
2 2
14 1
x y
k k
表示双曲线，则k 的取值范围是 ．
(2) ( )f x 是 R 上的奇函数，且当 0,x 时， 3( ) (1 )f x x x ，则当 ( ,0)x 时
( )f x ．
(3) 若圆锥的表面积是15 ，侧面展开图的圆心角是 060 ，则圆锥的体积是 ．
(4) 已知以 F 为焦点的抛物线 C：
2 4y x 上的两点 A、B 满足 3AF FB
，则|AB| ．
三、解答题(共 70 分)
14．(10 分)
已知△ABC 中，顶点 A(4,5)，点 B 在直线 l：2x－y＋2＝0 上，点 C 在 x 轴上，求△ABC 周
长的最小值．
15．(12 分)
设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且 f(1)＝2
(1) 求 a 的值及 f(x)的定义域；
(2) 求 f(x)在区间
0，3
2 上的最大值．
16．(12 分)
如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于
平面 ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2
(1) 证明：AB1⊥平面 A1B1C1；
(2) 求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．
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17．(12 分)
已知定义域为 R 的函数 f(x)＝－2x＋b
2x＋1＋a是奇函数．
(1) 求 a，b 的值；
(2) 若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求 k 的取值范围．
18．(12 分)
如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，
MD⊥平面 ABCD，NB⊥平面 ABCD，且 MD＝NB＝1，
E 为 BC 的中点.
(1) 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；
(2) 在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES⊥平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，
请说明理由．
19．(12 分)
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b 的一个焦点 F 与抛物线 2 4 3y x 的焦点重合，截抛物线
的准线所得弦长为 1
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 如图所示， , ,A B D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x
轴于点 N ，直线 AD 交 BP 于点 M ，设 BP 的斜率为 k ，MN 的斜率为 m .证明：2m k
为定值．
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