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2019~2020-2 高二年级 3 月阶段性考试 数学(文) 答案 一、选择题（本题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意） 1.A 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10A 11.D 12.B 二、填空题 13. ( , 4) (1, )   14. 3(1 )x x 15. 25 3 7  16. 16 3 三、解答题 17．(10 分). 解：设点A关于直线l：2x－y＋2＝0的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)， 连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为| |A1A2 . ∵A1与A关于直线l：2x－y＋2＝0对称， ∴   y1－5 x1－4×2＝－1， 2×x1＋4 2 －y1＋5 2 ＋2＝0， 解得   x1＝0， y1＝7. ∴A1(0,7). 易求得A2(4，－5)， ∴△ABC周长的最小值为 | |A1A2 ＝ 4－02＋－5－72＝4 10. 18．(12 分) 解：(1)∵f(1)＝2， ∴loga4＝2(a＞0，a≠1)， ∴a＝2. 由   1＋x＞0， 3－x＞0， 得x∈(－1,3)， ∴函数f(x)的定义域为(－1,3). (2) f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在 0，3 2 上的最大值是f(1)＝log24＝2. 19．(12 分) 解：(1)如图，在△ABC中，∵AB＝AC＝3，BC＝3 3，∴由余弦定理可得 cos A＝32＋32－3 32 2×3×3 ＝－1 2， ∴sin A＝ 3 2 . 设△ABC外接圆O′的半径为r，则3 3 3 2 ＝2r，得r＝3, 故所求面积为9π. (2)设球的半径为R，连接OO′，BO′，OB，则R2＝ R 2 2＋32，解得R＝2 3. 由图可知，当点D到平面ABC的距离为3 2R时，三棱锥D ABC的体积最大， ∵S△ABC＝1 2×3×3× 3 2 ＝9 3 4 ， ∴三棱锥D ABC体积的最大值为1 3×9 3 4 ×3 3＝27 4 . 20．(12 分) 证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD，所以PE⊥BC. (2) 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝1 2BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC，DE＝1 2BC. 所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 21．(12 分) 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b＝1. 从而有f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋a. 又由f(1)＝－f(－1)知－2＋1 4＋a ＝－ －1 2＋1 1＋a ，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋2＝－1 2＋ 1 2x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数， 又因为f(x)是奇函数， 从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k). 因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k. 即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0， 从而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－1 3. 故k的取值范围为 －∞，－1 3 . 22.解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)， 所以p 2＝1，即p＝2. 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2) 证明：①当直线AB的斜率不存在时， 设A t2 4，t ，B t2 4，－t . 因为直线OA，OB的斜率之积为－1 2， 所以 t t2 4 ·－t t2 4 ＝－1 2，化简得t2＝32. 所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8. ②当直线AB的斜率存在时， 设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立方程组   y2＝4x， y＝kx＋b， 消去x得ky2－4y＋4b＝0. 由根与系数的关系得yAyB＝4b k ， 因为直线OA，OB的斜率之积为－1 2， 所以yA xA ·yB xB ＝－1 2，即xAxB＋2yAyB＝0. 即y2 A 4 ·y2 B 4 ＋2yAyB＝0， 解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32. 所以yAyB＝4b k ＝－32，即b＝－8k， 所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8). 综合①②可知，直线AB过定点(8,0).