安徽2019-2020高二数学文科下学期第一次在线试题（PDF版附答案）

1 2019~2020 学年高二年级自测试卷 文科数学试卷 命题人： 满分：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的． 1．设 1 i 2i1 iz   ，则| |z  （ ） A． 0 B． 1 2 C．1 D． 2 2．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A． 1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．已知条件 : 1 2p x   ，条件 :q x a ，且 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的值范围为 （ ） A． 1, B． 1,  C． ,1 D． ,3 4．设 x 、 y 、 0z  ， 1a x y   ， 1b y z   ， 1c z x   ，则 a 、b 、 c 三数（ ） A．都小于 2 B．至少有一个不大于 2 C．都大于 2 D．至少有一个不小于 2 5．下列说法:① 2K 越小，X 与 Y 有关联的可信度越小; ②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数 r 的值越接近于 1; ③“若 xR ,则 1 1 1x x     类比推出,“若 z C ,则 1 1 1z z     ; ④命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误 的原因是使用了“三段论”,推理形式错误. 其中说法正确的有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 6．函数 2 lnx xy x  的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．方程 2 2 2 2( 2) ( 2) 10x y x y      ，化简的结果是（ ） A． 2 2 125 16 x y  B． 2 2 125 21 x y  C． 2 2 125 4 x y  D． 2 2 125 21 y x  8．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀， 两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说： 我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由七块板组成，其简易结构如 图所示.某人将七巧板拼成如图中的狐狸形状.若在七巧板中随机取出一个点， 则该点来自于图中阴影部分的概率为（ ） A． 1 3 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 8 10．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式 11 11 1     中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 11 xx   求得 5 1 2x  ，类似上述过程，则 2 3 1 1 11 3 3 3      （ ） A． 2 B． 3 2 C． 3 D． 5 3 11．若 , ,2 2x y       ，且 sin sin 0x x y y  ，则下列不等式一定成立的是（ ）2 A． x y B． x y C． x y D． x y 12．过抛物线 2: 4C y x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交C 于点 M （在 x 轴上方），l 为C 的 准线，点 N 在l 上且 MN l ，则点 M 到直线 NF 的距离为（ ） A． 2 3 B．3 3 C． 5 D． 2 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．若复数 z 满足 1 2i z i   ，其中 i 是虚数单位，则 z 的虚部为_________. 14．已知样本9、10、11、 x 、 y 的平均数是10，方差是 2 ，则 xy  _________. 15．已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右焦点为 1F 、 2F ，过点 1F 的直线 l 与双曲线C 的左支交于 A 、B 两点， 1 2BF F△ 的面积是 1 2AF F△ 面积的三倍， 1 2 90F AF   ，则双曲线C 的离心率为_________. 16．设 1, 0a b b   ,则 1 9 | | | | a a b  的最小值是_________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 300 名高三学生平均每天体育锻 炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）. 将学生日均体育锻炼时间在[40,60) 的学生评价为“锻炼达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 2 2 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 40 160 合计 （2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？ 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 临界值表： 平均每天 锻炼的时 间/分钟 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 总人数 34 51 59 66 65 25  2 0P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.706 3.841 5.024 6.6353 18．（本小题满分 12 分） 为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路” 知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了 40 份答卷,发现成绩都在  50,100 内,现将成绩按区间 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 ， 90,100 进行分组,绘制成如下 的频率分布直方图． 青年组 老年组 （1）利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数； （2）从青年组 80,90 , 90,100 的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取 5 份答卷,再从中选出 3 份 答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的 3 位市民中有 2 位来自 90,100 分数段的概 率． 19．（本小题满分 12 分） 某地区不同身高  x cm 的未成年男孩的体重平均值  y kg 如下表： 身高  x cm 60 70 80 90 100 体重  y kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 已知 ln y 与 x 之间存在很强的线性相关性， （1）据此建立 y 与 x 之间的回归方程； （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名 身高150cm体重为 45kg 的在校男生的体重是否正常？ 参考数据：   5 1 ln 940i i i x y    ， 5 1 ln 11.5i i y   ， 3.7 40.5e  附：对于一组数据 1 1,v ， 2 2,v ，…， , nn v ，其回归直线 v bx a   中的斜率和截距 的最小二乘估计分别为 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i v n v b n            ， ˆˆa v b  .4 20．（本小题满分 12 分） 已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点． （1）若 2POF 为等边三角形，求 C 的离心率； （2）如果存在点 P，使得 1 2PF PF ，且 21PFF 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数   2 1 x ax xf x e   ． （1）求曲线  y f x 在点 0, 1 处的切线方程；（2）证明：当 1a  时，   0f x e  ． 注意：以下请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t       ， （t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0      ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数   4 2 1f x x x    的最大值为 m . （1）求不等式   1f x  的解集； （2）若 a 、b 、 c 均为正数，且满足 a b c m   ，求证： 2 2 2 3b c a a b c    .1 2019~2020 学年高二年级自测试卷 文科数学试卷参考答案 1．C【解析】       1 i 1 i1 i 2i 2i1 i 1 i 1 iz        i 2i i    ，则 1z  ，故选 C. 2．D【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相 邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是 1 2 ．故选 D． 3．A【解析】由条件 : 1 2p x   ，解得 1x  或 3x   ，故 p ： 3 1x   ， 由条件 :q x a 得 q ： x a ，∵ p 是 q 的充分不必要条件，∴ 1a  ，故选：A. 4．D【解析】由基本不等式得 1 1 1 1 1 1a b c x y z x y zy z x x y z                                             1 1 12 2 2 6x y zx y z        ， 当且仅当 1x y z   时，等号成立，因此，若 a 、b 、 c 三数都小于 2 ，则 6a b c   与 6a b c   矛盾，即 a 、b 、 c 三数至少有一个不小于 2 ，故选 D. 5．C【解析】①中因为 2K 越大,X 与 Y 有关联的可信度越大，所以 2K 越小,X 与 Y 有关联的可信度 越小,正确； ②中因为若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故错误； ③中因为虚数不能比较大小，可知 1 1 1z z     错误； ④中因为大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，故推理形式错误判断正确. 6．D【解析】令 2 ln | |( ) | | x xf x x  ,则 2( ) ln | |( ) ( )| | x xf x f xx     , 所以函数 ( )f x 为偶函数,其图像关于 y 轴对称,故 B 不正确, 当 0x  时, 2 ln( ) lnx xf x x xx   , ( ) 1 lnf x x   , 由 ( ) 0f x  ,得 1x e  ,由 ( ) 0f x  ,得 10 x e   ,所以 ( )f x 在 1(0, )e 上递减,在 1( , )e  上递增, 结合图像分析, ,A C 不正确.故选:D 7．B【解析】根据两点间的距离公式可得: 2 2( 2)x y  表示点 ( , )P x y 与点 1(2,0)F 的距离, 2 2( 2)x y  表示点 ( , )P x y 与点 2 ( 2,0)F  的距离.所以原等式化简为 1 2 10PF PF  因为 1 2 2 10F F   所以由椭圆的定义可得:点 ( , )P x y 的轨迹是椭圆: 5, 2a c  根据椭圆中: 2 2 2a b c  ,得: 2 21b  ,所以椭圆的方程为: 2 2 125 21 x y  .故选:B. 8．A【解析】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好， 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好， 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩， 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 9．B【解析】设正方行边长为 2 ，由题知： 阴影面积为两个斜边为1的等腰直角三角形和一个边长为 2 2 的正方形构成. 2 21 2 2=2 ( ) ( ) 12 2 2S    阴影 .由几何概型知： 2 1 1 2 4P   .故选：B 10．B【解析】 2 3 2 3 1 1 1 1 1 13 13 3 3 3 3 3                   可设 2 3 1 1 1 3 3 3x     ，则3 1x x  ，解得： 1 2x  2 3 1 1 1 1 31 13 3 3 2 2        ,故选： B 11．D【解析】设函数   sinf x x x ，函数为偶函数，则  ' sin cos 0f x x x x   在 0, 2      上2 恒成立.即函数在 0, 2      上单调递增，在 ,02     上单调递减. sin sin 0x x y y  ，即    f x f y ，根据单调性知 x y .故选： D . 12．A【解析】设直线l 与 x 轴相交于点 P ，与直线 MN 相交于点Q ， (1,0)F ， 设| | | |MN MF m  ，因为| | 2, 30PF NQM    ，所以| | 4,| | 2QF QM m  ， 所以 4 2m m  ，解得： 4m  ，设 0 0( , )M x y ，由焦半径公式得 0 1 4x   ，所以 0 3x  ， 0 2 3y  ， 所以 2 3 3sin sin 4 2 NPMNF NFP NF       ， 所以点 M 到直线 NF 的距离为 3| | sin 4 2 32NM MNF     . 13．－1【解析】    2 1 21 2 2i iiz ii i      ，∴ z 的虚部为 1 ，故答案为 1 . 14．96【解析】由平均数公式得 9 10 11 105 x y     ，即 20x y  ，          2 2 2 2 29 10 10 10 11 10 10 10 25 x y          ，即   2 210 10 8x y    ， 即  2 2 20 200 8x y x y     ，可得  2 2 20 8 200 208x y x y      ，  22 2 220 2 208 2x y x y xy xy       ，解得 96xy  . 15． 10 2 【解析】由 1 2BF F△ 的面积是 1 2AF F△ 面积的三倍， 1 2 90F AF   ，可得 1 1 4 AF AB  ， 设 1AF m ， 1 3BF m ，则 2 2AF m a  ， 2 3 2BF m a  ， 由 2 2 2 2 2AB AF BF  ，解得 m a ，则 1AF a ， 2 3AF a ， 再由 2 2 2 1 2 1 2AF AF F F  得 2 210 4a c ．所以双曲线C 的离心率 2 2 10 2 ce a   . 16．5【解析】由题意 1 0b a   得 1a  ，又 0a  ， 当 0 1a  时， 91 1 9 1 9(1 ) 1 9 9a a b a b a b a b a b         1 9( )( ) 9a b a b     9 91 2 1 7b a b a a b a b        ，当且仅当 9b a a b  ，即 1 3,4 4a b  时等号成立． 当 0a  时， 1 9 | | | | a a b  2 1 9 1 9 8 19 91 1 a a a a a a a a            ， 记 2 8 1( ) 9af a a a   ， 2 2 (2 1)(4 1)( ) ( ) a af a a a      ， ∵ 0a  ，∴，当 1 02 a   时， ( ) 0f a  ， ( )f a 递增，当 1 2a   时， ( ) 0f a  ，， ( )f a 递减， 1 2a   时， ( )f a 取得唯一的极小值也是最小值 1( ) ( ) 52f a f   ， 综上， 1 9 | | | | a a b  的最小值是 5. 17．（1） 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 90 50 140 女 120 40 160 合计 210 90 300 （2） 2 2 300(90 40 50 120) 200 4.082 3.841140 160 210 90 49k         ， 所以，能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关. 18．（1）由青年组的频率分布直方图可知,前 3 个小矩形的面积和为 0.5,后 2 个小矩形的面积和为 0.5,3 所以中位数为 80． 中老年组成绩的平均数为 55 0.01 65 0.03 75 0.03 85 0.025 95 0.005 10 73.5           ． （2）青年组 80,90 , 90,100 的分数段中答卷分别为 12 份,8 份, 抽取比例为 5 1 12 8 4  ,所以两段中分别抽取的答卷分别为 3 份,2 份． 记 80,90 中的 3 位市民为 a ,b ,c, 90,100 中的 2 位市民为 x , y , 则从中选出 3 位市民，共有不同选法种数 10 种：  , ,a b c , , ,a b x , , ,a b y , , ,a c x ,  , ,a c y , , ,a x y , , ,b c x , , ,b c y , , ,b x y , , ,c x y ． 其中,有 2 位来自 90,100 的有 3 种： , ,a x y , , ,b x y , , ,c x y ．所以所求概率 3 10P  ． 19．（1）由已知可得 80x  ,  5 2 2 2 2 1 100 6 7 10 33000i i x         ∴ 5 2 2 1 5 33000 32000 1000i i x x      又   5 1 ln 940i i i x y    , 11.5 2.35v   ∴ 940 5 2.3 80ˆ 0.021000b     ˆ 2.3 0.02 80 0.7a     ，所以 ln 0.02 0.7y x  ∴回归方程为： 0.02 0.7xy e  （2）当 150x  时, 3.7ˆ 40.5y e  ,而 40.5 1.2 48.6 45   , 40.5 0.8 32.4 45   , ∴这一在校男生的体重是正常的. 20．（1）连结 1PF ，由 2POFV 为等边三角形可知：在 1 2F PF△ 中， 1 2 90F PF   ， 2PF c ， 1 3PF c ，于是 1 22 3a PF PF c c    ， 故椭圆 C 的离心率为 2 3 1 1 3 ce a      ； （2）由题意可知，满足条件的点 ( , )P x y 存在，当且仅当 1 2 162 y c  ， 1y y x c x c     ， 2 2 2 2 1x y a b   ，即 16c y  ①， 2 2 2x y c  ②， 2 2 2 2 1x y a b   ③ 由②③以及 2 2 2a b c  得 4 2 2 by c  ，又由①知 2 2 2 16y c  ，故 4b  ； 由②③得 2 2 2 2 2 ( )ax c bc   ，所以 2 2c b ，从而 2 2 2 22 32a b c b    ，故 4 2a  ； 当 4b  ， 4 2a  时，存在满足条件的点 P . 故 4b  ，a 的取值范围为[4 2, ) . 21．（1）    2 2 1 2 x ax a xf x e     ，  0 2f   ． 因此曲线  y f x 在点 0, 1 处的切线方程是 2 1 0x y   ． （2）当 1a  时，    2 11 x xf x e x x e e      ． 令   2 11 xg x x x e     ，则   12 1 xg x x e    ，   12 0xg x e     当 1x   时，    1 0g x g   ，  g x 单调递减；当 1x   时，    1 0g x g   ，  g x 单调递增；所以  g x  1 =0g  ．因此   0f x e  ． 22．（1）由 2 2 1 1 tx t   得： 2 1 0, ( 1,1]1 xt xx     ，又   2 2 22 16 1 ty t     2 2 2 116 1 4 1 1 4 4 11 1 x xy x x x x x            4 整理可得C 的直角坐标方程为： 2 2 1, ( 1,1]4 yx x    ，又 cosx   ， siny   l 的直角坐标方程为： 2 3 11 0x y   （2）设C 上点的坐标为： cos ,2sin  则C 上的点到直线l 的距离 4sin 112cos 2 3 sin 11 6 7 7 d           当sin 16       时， d 取最小值，则 min 7d  23．（1）当 1x  时，      4 2 1 4 2 1 2f x x x x x x          ， 令   1f x  ，即 2 1x   ，解得 1x   ，此时 1 1x   ； 当1 4x  时，      4 2 1 4 2 1 3 6f x x x x x x           ， 令   1f x  ，即 3 6 1x   ，解得 5 3x  ，此时 51 3x  ； 当 4x  时，      4 2 1 4 2 1 2f x x x x x x           ， 令   1f x  ，即 2 1x   ，解得 3x   ，此时 x . 综上所述，不等式   1f x  的解集为 51, 3     ； （2）由（1）知，当 1x  时，   2 3f x x   ； 当1 4x  时，    3 6 6,3f x x     ； 当 4x  时，   2 6f x x     . 综上所述，函数  y f x 的最大值为 3m  ， 3a b c    . 由基本不等式得 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c a b ca b c c a b a b cc a b c a b                              ， 当且仅当 1a b c   时，等号成立，所以 2 2 2 3b c a a b ca b c       .