高一年级疫情防控延期开学期间数学辅导测试三
一、单选题(共 12 题;共 60 分)
1. 已知幂函数 f(x)=λ•xα 的图象过点 ,则 λ+α=( )
A. 2 B. 1 C. D.
2. 三个数 0.993.3 , log3π,log20.8 的大小关系为( )
A. log20.8<0.993.3<log3π B. log20.8<log3π<0.993.3
C. 0.993.3<log20.81<log3π D. log3π<0.993.3<log20.8
3. 已知函数 f(x)=x2•sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是( )
A. B. C. D.
4.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2sinx,则当 x<0 时,f
(x)=( )
A. ﹣x2﹣2sinx B. ﹣x2+2sinx C. x2+2sinx D. x2﹣2sin
x
5. 某商场在 2020 年元旦开展“购物折上折”活动,商场内所有商品先按标价打八折,折后价格
每满 500 元再减 100 元,如某商品标价 1500 元,则购买该商品的实际付款额为
1500×0.8﹣200=1000 元.设购买某商品的实际折扣率= ,某人欲购买标价为 2700 元的商品,
那么他可以享受的实际折扣率约为( )
A. 55% B. 65% C. 75% D. 80%
6. 已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标为(2sin3,﹣2cos3),则角 α 的弧度数为( )
A. 3 B. π﹣3 C. 3﹣ D. ﹣3
7. 已知当 时,函数 y=sinx+acosx 取最大值,则函数 y=asinx﹣cosx 图象的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
8.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 ,则点 P 与△ABC 的关系为( )
A. P 在△ABC 内部 B. P 在△ABC 外部 C. P 在 AB 边所在直线上 D. P 是 AC 边
的一个三等分点
9. 设 f(sinα+cosα)=sinα•cosα,则 f(sin )的值为( )
A. B. C. D.
10. 函数 y=sin (2x+ )的图象可由函数 y=cosx 的图象( )
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 个单位
11. 已知函数 f(x)= (a∈A),若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则集合 A 可以是
( )
A. (﹣∞,0) B. [1,2) C. (﹣1,5] D. [4,
6]
12. 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x),当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( )
x﹣1,若在区间(﹣2,6)内关于 x 的方程 f(x)﹣log a(x+2)=0,恰有 4 个不同的实数根,
则实数 a(a>0,a≠1)的取值范围是( )
A. ( ,1) B. (1,4) C. (1,8) D. (8,+∞)
二、填空题(共 4 题;共 20 分)
13. 函数 的定义域为________.
14. 函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[0, ]上单调递增,且在这个区间上的最大值是 ,则 ω
的值为________.
15. 若函数 的定义域和值域都是 ,则 ________.
16. 的值等于________.
三、解答题(共 6 题;共 70 分)
17. ( 10 分 )
如图△ABC,点 D 是 BC 中点, =2 ,CF 和 AD 交于点 E,设 =a, =b. (1)以 a,b 为基底表示向量 , .
(2)若 =λ ,求实数 λ 的值.
18. ( 12 分 ) 已知函数 .
(1)求函数 f(x)的对称中心;
(2)若 ,不等式|x﹣m|<3 的解集为 B,A∩B=A,求实数 m 的取值范围.
19. ( 12 分 ) 在△ABC 中, = +
(Ⅰ)求△ABM 与△ABC 的面积之比
(Ⅱ)若 N 为 AB 中点, 与 交于点 P 且 =x +y (x,y∈R),求 x+y 的值.20. ( 12 分 ) 已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ (ω>0)的最小正周期为 π.
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的
图象.若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.
21. ( 12 分 ) 已知函数 ,θ∈[0,2π)
(1)若函数 f(x)是偶函数:①求 tanθ 的值;②求 的值.
(2)若 f(x)在 上是单调函数,求 θ 的取值范围. 22. ( 12 分 ) 已知函数 f(x)=x﹣a,g(x)=a|x|,a∈R.
(1)设 F(x)=f(x)﹣g(x).
①若 a= ,求函数 y=F(x)的零点;
②若函数 y=F(x)存在零点,求 a 的取值范围.
(2)设 h(x)=f(x)+g(x),x∈[﹣2,2],若对任意 x1,x2∈[﹣2,2],|h(x1)﹣h(x2)
|≤6 恒成立,试求 a 的取值范围.
答案部分
一、单选题
1.C
2. A 解:∵0<0.993.3<1,log3π>1,log20.8<0,
∴log20.8<0.993.3<log3π,故选:A.
3.D 解:f(x)=x2•sin(x﹣π)=﹣x2•sinx,
∴f(﹣x)=﹣(﹣x)2•sin(﹣x)=x2•sinx=﹣f(x),∴f(x)奇函数,
∵当 x= 时,f( )=﹣ <0,故选:D
4. A 解:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),
当 x≥0 时,f(x)=x2﹣2sinx,当 x<0 时,则﹣x>0,可得 f(﹣x)=x2+2sinx=﹣f(x),
∴f(x)=﹣x2﹣2sinx,故答案为:A.
5. B 解:当购买标价为 2700 元的商品时,
产品的八折后价格为:2700×0.8=2160,故实际付款:2160﹣400=1760,
故购买某商品的实际折扣率为: ≈65%,故答案为:B
6.C 解:∵锐角 α 终边上一点的坐标为(2sin3,﹣2cos3),
由任意角的三角函数的定义可得 tanα=﹣cot3=tan( 3﹣ ),
又 3﹣ ∈(0, ),∴α=3﹣ .故选 C
7.A 解:∵当 时,函数 y=sinx+acosx 取最大值, ∴ 解得: ,
∴ ,∴ 是它的一条对称轴,故选 A.8.D 解:∵ , ∴ ,∴ ,
∴P 是 AC 边的一个三等分点.故选项为 D
9. A 解:令 sinα+cosα=t(t∈[﹣ , ]),
平方后化简可得 sinαcosα= ,再由 f(sinα+cosα)=sinαcosα,得 f(t)= ,
所以 f(sin )=f( )= =﹣ .故答案为:A.
10.B 解:把函数 y=cosx=sin(x+ )的图象的横坐标变为原来的 倍,可得 y=sin(2x+ )
的图象,再把所得图象再向右平移 个单位,可得 y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x+ )的图
象,故答案为:B.
11. A 解:由题意,f(x)在区间(0,1]上是减函数.函数 f(x)= (a∈A),
当 a=0 时,函数 f(x)不存在单调性性,故排除 C.
当 a<0 时,函数 y= 在(0,1]上是增函数,而分母是负数,可得 f(x)在区间(0,1]上是
减函数,故 A 对.
当 1≤a<2 时,函数 y= 在(0,1]上是减函数,而分母是负数,可得 f(x)在区间(0,1]上
是增函数,故 B 不对.
当 4≤a≤6 时,函数 y= 在(0,1]上可能没有意义.故 D 不对.故选 A.
12. D 解:对于任意的 x∈R,都有 f(2+x)=f(2﹣x),
∴f(x+4)=f[2+(x+2)]=f[(x+2)﹣2]=f(x),∴函数 f(x)是一个周期函数,且 T=4.
又∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( )x﹣1,且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,
若在区间(﹣2,6)内关于 x 的方程 f(x)﹣log a(x+2)=0,恰有 4 个不同的实数解,
则函数 y=f(x)与 y=log a(x+2),在区间(﹣2,6)上有四个不同的交点,如下图所示:
又 f(﹣2)=f(2)=f(6)=1,
则对于函数 y=log a(x+2),根据题意可得,当 x=6 时的函数值小于 1,
即 log a8<1,由此计算得出:a>8,∴a 的范围是(8,+∞),故答案为:D.
二、填空题13. 解:要使函数有意义,需
,解得 故答案为 .
14. 解:∵函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[0, ]上单调递增,∴ ≤ .
再根据在这个区间上 f(x)的最大值是 ,可得 ω• = ,则 ω= ,故答案为: .
15. . 当 时,函数 递增,又函数 的定义域和值域都是 , 则: ,此不等式组无解。
当 时,函数 递减,又函数 的定义域和值域都是 ,
则: ,解得: ,
所以 .
16. 解: = ﹣ = = = = .故答案为: .
三、解答题
17.(1)解:因为点 D 是 BC 中点,
所以 2 = + ,即 =2 ﹣ ,
所以 = ﹣ =2 ﹣ ﹣ =2 ﹣ ,
(2)解: =λ = ( + )= + ,
因为点 C,E,F 共线,所以 + λ=1,所以 λ= .
18.(1)解: ,
解得:
(2)解: ,不等式|x﹣m|<3 的解集为 B,A∩B=A,
,∴ ,∴A=[1,2],又解得 B=(m﹣3,m+3)
而 A∩B=A⇒A⊆B∴ ,得﹣1<m<4
19.解:(Ⅰ)在△ABC 中, = + ⇒ ⇒3
⇒3 ,即点 M 在线段 BC 上的靠近 B 的四等分点,
∴△ABM 与△ABC 的面积之比为 .
.,0,62
k Zk ∈
+ ππ(Ⅱ)∵ = + , =x +y (x,y∈R), ,
∴设 = = ;
∵三点 N、P、C 共线,∴ , ,x+y= .
20.解:(Ⅰ)由题意,可得
f(x)= = .
∵函数的最小正周期为 π,∴ =π,解之得 ω=1.由此可得函数的解析式为
.
令 ,解之得
∴函数 f(x)的单调增区间是 .
(Ⅱ)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,可得函数 y=f(x+
)+1 的图象,
∵
∴g(x)= +1=2sin2x+1,可得 y=g(x)的解析式为 g(x)
=2sin2x+1.
令 g(x)=0,得 sin2x=﹣ ,可得 2x= 或 2x=
解之得 或 .
∴函数 g(x)在每个周期上恰有两个零点,
若 y=g(x)在[0,b]上至少含有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,
即 b 的最小值为 .
21.(1)解:∵函数 f(x)是偶函数,∴ ∴
①tanθ= ② =
(2)解:f(x)的对称轴为 ,
或 ,
或 (9 分),
∵θ∈[0,2π),∴ ,
∴ ,∴ ,
∴ , ,∴
22.(1)解:F(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣a﹣a|x|, ①若 a= ,则由 F(x)=x﹣ |x|﹣
=0 得: |x|=x﹣ ,当 x≥0 时,解得:x=1;当 x<0 时,解得:x= (舍去);
综上可知,a= 时,函数 y=F(x)的零点为 1;
②若函数 y=F(x)存在零点,则 x﹣a=a|x|,当 a>0 时,作图如下:
由图可知,当 0<a<1 时,折线 y=a|x|与直线 y=x﹣a 有交点,即函数 y=F(x)存在零点;
同理可得,当﹣1<a<0 时,求数 y=F(x)存在零点;
又当 a=0 时,y=x 与 y=0 有交点(0,0),函数 y=F(x)存在零点;
综上所述,a 的取值范围为(﹣1,1).(2)∵h(x)=f(x)+g(x)=x-a+a|x|,x∈[-2,2], ∴当-2≤x<0 时,h(x)=(1-a)x-a;
当 0≤x≤2 时,h(x)=(1+a)x-a; 又对任意 x1 , x2∈[-2,2],|h(x1)-h(x2)|≤6 恒成立,
则 h(x1)max-h(x2)min≤6, ①当 a≤-1 时,1-a>0,1+a≤0,h(x)=(1-a)x-a 在区间[-2,
0)上单调递增; h(x)=(1+a)x-a 在区间[0,2]上单调递减(当 a=-1 时,h(x)=-a); ∴h
(x)max=h(0)=-a,又 h(-2)=a-2,h(2)=2+a, ∴h(x2)min=h(-2)=a-2, ∴-a-(a-2)
=2-2a≤6,解得 a≥-2, 综上,-2≤a≤-1; ②当-1<a<1 时,1-a>0,1-a>0,∴h(x)=(1-a)
x-a 在区间[-2,0)上单调递增, 且 h(x)=(1+a)x-a 在区间[0,2]上也单调递增, ∴h
(x)max=h(2)=2+a,h(x2)min=h(-2)=a-2, 由 a+2-(a-2)=4≤6 恒成立,即-1<a<1 适
合题意; ③当 a≥1 时,1-a≤0,1+a>0,h(x)=(1-a)x-a 在区间[-2,0)上单调递减 (当
a=1 时,h(x)=-a),h(x)=(1+a)x-a 在区间[0,2]上单调递增; ∴h(x)min=h(0)=-a;
又 h(2)=2+a>a-2=h(-2), ∴h(x)max=h(2)=2+a, ∴2+a-(-a)=2+2a≤6,解得 a≤2,
又 a≥1, ∴1≤a≤2; 综上所述,-2≤a≤2.