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章末过关检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为( )
A．[－1，1]
B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由1－x2≥0，知－1≤x≤1.
所以M＝[－1，1]．
所以∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：D
2．下列图中不能作为函数图象的是( )
解析：选项B对于给定的变量有两个值与其对应，不是函数的图象．
答案：B
3．已知函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，
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则k的取值范围是( )
A．[－1，2] B．(－1，2)
C．(－∞，2) D．(－1，＋∞)
解析：因为函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，即对称轴直线x＝k在此区间内，所以有－1＜k＜2.
答案：B
4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数( )
A．y＝x B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
解析：A、D中函数是奇函数，不是偶函数，B中y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递增，但D中，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数．
答案：B
5．函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的值域是( )
A．R B．[3，6]
C．[2，6] D．[2，＋∞)
解析：画出函数的图象，如图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2，6]，所以值域是[2，6]．
答案：C
6．设f(x)＝则f(5)的值是( )
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A．24 B．21 C．18 D．16
解析：f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.
答案：A
7．若二次函数y＝f(x)满足f(5＋x)＝f(5－x)，且方程f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．5 B．10 C．20 D.
解析：因为f(x＋5)＝f(5－x)，
所以f(x)的对称轴为x0＝5，x1＋x2＝2x0＝10.
答案：B
8．若对于任意实数x，都有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，则( )
A．f(－2)＜f(2) B．f(－1)＜f
C．f＜f(2) D．f(2)＜f
解析：根据题意可知，f(x)是偶函数．
因为f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
所以f＝f＞f(2)．
答案：D
9．若奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为( )
A．10 B．－10 C．－15 D．15
解析：依题意可得，f(x)在[3，6]上是增函数，
所以f(6)＝8，f(3)＝－1.
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又y＝f(x)为奇函数，
所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－15.
答案：C
10．已知函数f(x)＝，则有( )
A．f(x)是奇函数，且f＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且f＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且f＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且f＝f(x)
解析：由f(－x)＝＝＝f(x)，
得f(x)为偶函数．
又f＝＝＝－f(x)，
故C选项正确．
答案：C
11．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( )
A．a＞0，4a＋b＝0 B．a＜0，4a＋b＝0
C．a＞0，2a＋b＝0 D．a＜0，2a＋b＝0
解析：由f(0)＝f(4)，知函数图象关于直线x＝2对称，所以－＝2.所以b＋4a＝0，
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由f(0)＞f(1)知函数图象开口向上，所以a＞0.
答案：A
12．若函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，0) B．[－2，0)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)
解析：由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1，
由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0，
分段点1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，
解得a≥－2，所以－2≤a＜0.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2014·课标全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析：利用函数的对称轴和奇偶性来确定函数值即可．
因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(4－x)＝f(x)．
所以f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，
则f(1)＝3.
又y＝f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝3.
答案：3
14.已知f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x＞0时，f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域是________．
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解析：当x＞0时，f(x)的值域是(2，3]．根据奇函数的性质可得，f(x)的值域是[－3，－2)∪(2，3]．
答案：[－3，－2)∪(2，3]
15．若f(x)，g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值8，则在区间(－∞，0)上的最小值是________．
解析：因为f(x)，g(x)为奇函数，
所以F(x)－2＝af(x)＋bg(x)为奇函数．
则F(－x)－2＝－(F(x)－2)＝2－F(x)．
因为F(x)在(0，＋∞)上有最大值8.
当x＜0时，－x＞0，F(－x)≤8.
所以F(－x)－2≤6，从而－(F(x)－2)≤6.
因此F(x)≥－4，F(x)在(－∞，0)上的最小值为－4.
答案：－4
16．若定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)都有＜0，则f(1)，f(－2)，f(3)的大小关系是________．
解析：由＜0可知，f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数，所以f(1)＞f(2)＞f(3)．
又因为f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，
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因此f(1)＞f(－2)＞f(3)．
答案：f(1)＞f(－2)＞f(3)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)因为f(1)＝3，即1＋m＝3，
所以m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，
其定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以此函数是奇函数．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数．
解：(1)当a＝－2时，
f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
又因为x∈[－4，6]，
所以函数f(x)在[－4，2]上为减函数，
在[2，6]上为增函数．
所以f(x)max＝f(－4)＝(－4－2)2－1＝35，
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f(x)min＝f(2)＝－1.
(2)因为函数f(x)＝x2＋2ax＋3的对称轴为x＝－a，且f(x)在[－4，6]上是单调函数，
所以－a≥6或－a≤－4，
即a≤－6或a≥4.
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
19．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的奇函数．如图是函数图象的一部分，当0≤x≤2时，是线段OA；当x＞2时，图象是顶点为P(3，4)的抛物线的一部分．
(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)在[2，＋∞)上的解析式；
(3)写出函数f(x)的单调区间．
解：(1)图象如图所示．
(2)当x≥2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4(a≠0)．
因为f(x)的图象过点A(2，2)，
所以f(2)＝a(2－3)2＋4＝2所以a＝－2.
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所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.
(3)由f(x)的图象知，f(x)的单调递减区间为(－∞，－3]和[3，＋∞)，单调递增区间为[－3，3]．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
(1)证明：任取x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)．
故函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增．
(2)解：任取1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x1－x2＜0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.
故a的取值范围是(0，1]．
21．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
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(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式．
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解：(1)由题表作出(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．
设它们共线于直线y＝kx＋b，
则
所以y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N*)，经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上．
所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N*)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300.所以当x＝40时，P有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
22．(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f＜2.
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解：(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)因为f(6)＝1，
所以f(x＋3)－f＜2＝f(6)＋f(6)．
所以f(3x＋9)－f(6)＜f(6)，
即f＜f(6)．
因为f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
所以解得－3＜x＜9.
故不等式的解集为(－3，9)．
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