北京市朝阳区 2019--2020 学年度第一学期高三年级期中数
学试卷 2019．11
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答
题卡一并交回.
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法求得集合 ，根据并集定义求得结果.
【详解】 ，
故选：
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.
2.已知 α∈ ，且 sin α＝ ，则 tan α＝( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
{ }2 4A x Z x= ∈ < { 1 , 2}B = − A B =
{ 1}− { 1, 2 }−
{ 1 , 0 , 1 , 2 }− { 2, 1 ,0 , 1 , 2}− −
A
{ } { }2 2 1,0,1A x Z x= ∈ − < < = − { }1,2B = − { }1,0,1,2A B∴ = −
C
,2
π π
3
5
3
4
3
4
−
4
3
4
3
−由 sin α＝ ，α∈ 得 cos α＝－ ＝－ 所以 tan α＝
故答案为：B。
3.下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
与 在 上单调递减，可排除 ； 为偶函数，可排除
；根据奇偶性定义和单调性的性质可验证出 正确.
【详解】 中， 在 上单调递增 在 上单调递减， 错误；
中， 在 上单调递增 在 上单调递减，
错误；
中， 为偶函数， 错误；
中， 为奇函数
在 上单调递减， 在 上单调递增 在 上单调递增，
正确.
故选：
【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于基础题.
4.关于函数 有下述三个结论：
①函数 的最小正周期为 ；
②函数 的最大值为 ；
③函数 在区间 上单调递减.
其中，所有正确结论的序号是( )
3
5
,2
π π
21 sin σ− 4 ,5
sin 3.cos 4
σ
σ = −
(0,1)
3y x= − sin( )y x= −
2logy x= 2 2x xy −= −
3y x= − ( )siny x= − ( )0,1 ,A B 2logy x=
C D
A 3y x= ( )0,1 3y x∴ = − ( )0,1 A
B siny x= ( )0,1 ( )sin siny x x∴ = − = − ( )0,1 B
C 2 2log logx x− = 2logy x∴ = C
D ( )2 2 2 2x x x x− −− = − − 2 2x xy −∴ = −
2 x− ( )0,1 2x ( )0,1 2 2x xy −∴ = − ( )0,1 D
D
( ) sin cosf x x x= +
( )f x 2π
( )f x 2
( )f x ,2
π π
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数为 ；根据正弦型函数最小正周期和最值的
求解可知①正确，②错误；利用 的范围求得 的范围，对应正弦函数的单调性可得
单调性，知③正确.
【详解】
最小正周期 ，①正确； ，②错误；
当 时， ，则 在 时单调递减，③正确
故选：
【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期、值域和单调区间的求解问题；处理正弦型函数单
调性问题的关键是能够采用整体对应的方式，利用角整体所处的范围与正弦函数图象相对应，
从而得到结论.
5.已知 ， 是两个不同的平面，直线 ，下列命题中正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
通过反例可确定 错误；由面面垂直的判定定理可知 正确.
【详解】若 且 ，则 与 相交、平行或 ， ， 错误；
若 且 ，则 与 可能相交或平行， 错误；
( ) 2 sin 4f x x
π = +
x
4x
π+
( )f x
( ) sin cos 2 sin 4f x x x x
π = + = +
( )f x 2T π= ( )max 2f x =
,2x
π π ∈
3 5,4 4 4x
π π π + ∈
( )f x ,2x
π π ∈
B
α β m α⊂
α β⊥ //m β α β⊥ m β⊥
//m β //α β m β⊥ α β⊥
, ,A B C D
α β⊥ m α⊂ m β m β⊂ A B
/ /m β m α⊂ α β C由面面垂直判定定理可知， 选项的已知条件符合定理，则 ， 正确.
故选：
【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是
能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.
6.已知函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为 与 恒有两个交点，采用数形结合的方式作出 图
象，由 恒过 可通过图像确定斜率的临界值，进而得到所求范围.
【详解】 恰有两个零点等价于 与 恒有两个
交点
又 ，则 图象如下图所示：
恒过点
如上图所示：
当直线 过 时，直线与 有且仅有一个交点
且当 时， 与 有且仅有一个交点
D α β⊥ D
D
( ) | 2| 1f x x kx= − − + k
1(0, )2
1( , 1)2
(1, 2)
(2 , )+ ∞
( ) 2g x x= − 1y kx= − ( )g x
1y kx= − ( )0, 1−
( ) 2 1f x x kx= − − + ( ) 2g x x= − 1y kx= −
( ) 2, 22 2 , 2
x xg x x x x
− ≥= − = − { }na
0q < 1 0a > 1 2a a>
0q < 1 0a > 2 1 10a a q a= < < 3 2 20a a q a= > >
{ }na ∴
{ }na 1 2a a> ∴
1 2a a> { }na
B
1F 2F C
2 2
19 5
x y+ = M C
1 2MF F△ M
3
2
15
2
15
2
− 3
2
−根据椭圆方程求得 ；根据等腰三角形可确定 ；由椭圆定义知 ；利用
面积桥可求得 ，代入椭圆方程可求得 .
【详解】由椭圆方程得： ， ，
为等腰三角形且 在第二象限
点纵坐标 ，又 在椭圆 上
，解得： 或 （舍）
故选：
【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用，关键是能够通过椭圆定义、焦距求得焦点三角形的
面积，利用面积求得点的纵坐标，进而利用椭圆方程求得结果.
9.在 中， ， ，点 在 边上，且 ，则
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
取 中点 ，根据平面向量基本定理可将已知数量积化为 ，根据数量积定
, ,a b c 2 4MF = 1 2MF =
My Mx
3a = 5b = 2c =
1 2MF F∆ M 2 1 2 2 4MF F F c∴ = = =
1 2 2 2MF a c∴ = − =
1 2
1 2 16 1 152MF FS∆∴ = × × − =
M∴ 1 2
1 2
2 15
2
MF F
M
Sy F F
∆= = M C
2 2 2 3 19 5 9 4
M M Mx y x∴ + = + = 3
2Mx = − 3
2
D
ABC△ 90BAC∠ = 2BC = P BC ( ) 1AP AB AC⋅ + = AP
1( , 1]2
1[ ,1]2
2( ,1]2
2[ ,1]2
BC D 2 1AP AD⋅ = 义 得 到 ； 利 用 余 弦 定 理 表 示 出 ， 代 入 化 简 得 到
；根据三角形两边之和大于第三边和临界点的情况可最终确定取值范围.
【详解】取 中点 ，则 ，
当 重合时， ，不合题意 三点构成
在 中，由余弦定理得：
，即
当 与 或 重合时，
综上所述：
故选：
【点睛】本题考查向量模长的取值范围的求解问题，涉及到平面向量基本定理、平面向量数
量积运算、余弦定理等知识的应用，综合性较强；解题关键是能够通过数量积的定值得到模
长之间的等量关系，属于较难题.
1cos 2AP PAD∠ = cos PAD∠
AP DP=
BC D 1 12AD BC= = 2AB AC AD+ =
( ) 2 1AP AB AC AP AD∴ ⋅ + = ⋅ =
1cos cos 2AP AD AP AD PAD AP PAD∴ ⋅ = ∠ = ∠ =
,P D 2
2 2 2AP AD AD⋅ = = , ,A P D∴ APD∆
APD∆
2 2 2 2 2
1
cos
2 2
AP AD DP AP DP
PAD
AP AD AP
+ − + −
∠ = =
2 2
1 1cos 2 2
AP DP
AP PAD
+ −
∴ ∠ = =
AP DP∴ =
AP DP AD+ >
2 1AP∴ > 1
2AP >
P B C max
1 12DP BC= =
max
1AP∴ =
1 ,12AP ∈
A10.已知集合 满足：（ⅰ） ， ；
（ⅱ） ，若 且 ，则 ；
（ⅲ） ，若 且 ，则 .
给出以下命题：
①若集合 中没有最大数，则集合 中有最小数；
②若集合 中没有最大数，则集合 中可能没有最小数；
③若集合 中有最大数，则集合 中没有最小数；
④若集合 中有最大数，则集合 中可能有最小数.
其中，所有正确结论的序号是( )
A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据并集和交集的结果可知 ；由条件（ⅱ）（ⅲ）可知两集合的元素以 为分界，
可确定集合 的构成；当集合 有最大数时，根据有理数的特点可知大于 的有理数无
最小数，知③正确；当集合 无最大数时，若 中的 为有理数或无理数，此时集合
可能最小数为 或无最小数，知②正确.
【详解】若 ，
则集合 为所有小于等于 的有理数的集合，集合 为所有大于等于 的有理数的集合
无限接近 ，即集合 为所有大于 的有理数的集合
当集合 有最大数，即 有最大值时，大于 的有理数无最小数，可知③正确；
当集合 无最大数，即 时， 为集合 中的最小数；也可能 为无理数，则
，集合 中无最小数，可知②正确
故选：
【点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关
键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题
,A B A B = Q A B = ∅
1x A∀ ∈ 2x ∈Q 2 1x x< 2x A∈
1y B∀ ∈ 2y ∈Q 2 1y y> 2y B∈
A B
A B
A B
A B
QA C B= 1x
,A B A 1x
A 1x a→ a B
a
A B = Q A B = ∅ QA C B∴ =
A 1x B 1y
QA C B= 1y∴ 1x B 1x
A 1x 1x
A 1x a→ a B a
1y a→ B
B能力有较高要求.
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.已知向量 ， ，且 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示可构造方程求得结果.
【详解】 ，解得：
故答案为：
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.
12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为
________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由三视图还原几何体得到三棱锥 ，根据三棱锥体积公式可求得体积；利用勾股定
理可求得最长棱 .
【详解】由三视图还原几何体，可知几何体为如下图所示的三棱锥
( )1, 1a = − ( )3,b m= / /a b m =
3−
/ /a b ( )1 1 3m∴ × = − × 3m = −
3−
1
6 3
P ABC−
AP
P ABC−则 ， 平面 ，
最长棱
故答案为： ；
【点睛】本题考查根据三视图求解几何体体积和棱长的问题，关键是能够准确的通过三视图
还原几何体，属于常考题型.
13.已知直线 与圆 相交于 ， 两点（ 为坐标原点），且
为等腰直角三角形，则实数 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形边长可求得弦长 ，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离
，根据垂径定理构造方程可求得结果.
【详解】 为等腰直角三角形 ，又
又圆 的圆心到直线距离
，解得：
故答案为：
【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、
垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为 ，属于常考题型.
1AB AC PD= = = PD ⊥ ABC AB AC⊥
1 1 1 11 1 13 3 2 6P ABC ABCV S PD− ∆∴ = ⋅ = × × × × =
2 2 2 2 2 3AP AD PD AB AC PD= + = + + =
1
6 3
2 0x y a− + = 2 2: 2O x y+ = A B O
AOB a
5±
2AB =
d
AOB∆ OA OB∴ ⊥ 2OA OB r= = = 2AB∴ =
O 5
51 4
ad a= =
+
2
2 22 2 2 25
aAB r d∴ = − = − = 5a = ±
5±
2 22 r d−14.已知 ， 是实数，给出下列四个论断：① ；② ；③ ；④ .以其中
两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：________．
【答案】若 ， 且 ，则 ．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
利用 在 上的单调性，可知当 时， ，从而得到结果.
【详解】当 ， 且 时
在 上单调递减 ，即
若 ， 且 ，则
故答案为：若 ， 且 ，则 （答案不唯一）
【点睛】本题考查不等式性质的应用，属于基础题.
15.已知函数 （ 为常数）．若 ，则 ________；若函数
存在最大值，则 的取值范围是________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）分别在 和 两种情况下求得 ，利用 求得 ；
（2）当 时，求导得 ；当 时，可知 时， 不存在
最大值，不符合题意；当 时，可得 在 上 单调性，得到
；分别在 、 和 三种情况下验证 时函数的最大
值，可得 时， ，从而得到结果.
的
a b a b> 1 1
a b
< 0a > 0b >
0a > 0b > a b> 1 1
a b
<
( ) 1f x x
= ( )0, ∞+ 0a b> > 1 1
a b
<
0a > 0b > a b>
( ) 1f x x
= ( )0, ∞+ ( ) ( )f a f b∴ < 1 1
a b
<
∴ 0a > 0b > a b> 1 1
a b
<
0a > 0b > a b> 1 1
a b
<
( )
2
1
,
,x
ax x a
f x x x ae −
− 1a ≤ − ( )1f − ( ) 11 2f − = a
x a≥ ( ) 1
1
x
xf x e −
−′ = 1a ≥ x a< ( )f x → +∞
1a < ( )f x [ ),a +∞
( ) ( )max 1 1f x f= = 0 1a< < 0a = 0a < x a<
( ],0a∈ −∞ ( ) ( )max 1 1f x f= =【详解】（1）当 时， ，满足题意；
当 时， ，不合题意；
（2）当 时，
①若 ，则 在 上单调递减
此时，当 时， ，当 时， ，不合题意
②若 ，则 时， ； 时，
在 上单调递增，在 上单调递减
此时，当 时，
若 ，则当 时， ，不合题意
若 ， ，此时 ，满足题意
若 ，则 ，此时 ，满足题意
综上所述： 时， 存在最大值
故答案为： ；
【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的
问题；本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情
况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.
16. 年 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到
国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古
科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳
1a > − ( ) 11 2f a− = =
1a ≤ − ( ) 2
1 11 2f e−
−− = ≠
1
2a∴ =
x a≥ ( ) 1x
xf x e −= ( ) 1 1
2 2 1
1x x
x x
e xe xf x e e
− −
− −
− −′∴ = =
1a ≥ 1 0x− ≤ ( ) 0f x′∴ ≤ ( )f x∴ [ ),a +∞
( ) ( ) 1max a
af x f a e −∴ = =
x a< ( ) 2f x ax= x → −∞ ( )f x → +∞
1a < 1< 1x > ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( ),1a ( )1,+∞ ( ) ( )max 1 1f x f∴ = =
x a< ( ) 2f x ax=
0 1a< < x → −∞ ( )f x → +∞
0a = ( ) ( )0 1f x f= < ( )max 1f x =
0a < ( ) ( ) ( )3
max 0 1f x f a a f= = < < ( )max 1f x =
( ],0a∈ −∞ ( )f x
1
2
( ],0−∞
2019 7的质量 随时间 （单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳 原有的质
量），则经过 年后，碳 的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物
样本中碳 的质量是原来的 至 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到
年之间．（参考数据： ）
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）根据衰变规律，令 ，代入求得 ；
（2）令 ，解方程求得 即可.
【详解】当 时， 经过 年后，碳 的质量变为原来
的
令 ，则
良渚古城存在的时期距今约在 年到 年之间
故答案为： ；
【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于
基础题.
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.在 中， ，点 在 边上，且 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
14 N t 5730
0 2
t
N N
−= ⋅ 0N 14
5730 14
14 1
2
3
5
5730 2 2log 3 1.6,log 5 2.3≈ ≈
1
2 4011
5730t = 0
1
2N N=
0
3
5N N= t
5730t = 1
0 0
12 2N N N−= ⋅ = ∴ 5730 14
1
2
0
3
5N N= 5730 32 5
t− = 2 2 2
3log log 3 log 5 0.75730 5
t∴− = = − ≈ −
0.7 5730 4011t∴ = × = ∴ 4011 5730
1
2 4011
△ ABC 2 7AB = P BC 60APC∠ = 2BP =
AP
1PC = sin ACP∠【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）在 中，利用余弦定理可构造关于 的方程，解方程求得结果；
（Ⅱ）在 中，利用余弦定理求得 ；利用正弦定理可构造方程求得 .
【详解】（Ⅰ）
中， ， ，
由余弦定理 得：
（Ⅱ）在 中， ， ，
由余弦定理 得：
由正弦定理 得：
【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的相关知识，关键是能够在已知两边及
一角的情况下，熟练应用定理构造方程求得其余角和边，属于基础题型.
18.已知 是各项均为正数的等比数列， ， .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ，并求 的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ， 最大值为
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用 和 表示出 ，从而构造出关于 方程，结合 为正项数列
可求得 ，根据等比数列通项公式求得结果；
在
的
4AP = 2 39sin 13ACP∠ =
ABP∆ AP
APC∆ AC sin ACP∠
60APC∠ = 120APB∴∠ =
ABP∆ 2 7AB = 120APB∠ = 2BP =
2 2 2 2 cosAB AP BP AP BP APB= + − ⋅ ∠ 2 2 24 0AP AP+ − =
4AP∴ =
APC∆ 4AP = 1PC = 60APC∠ =
2 2 2 2 cosAC AP PC AP PC APC= + − ⋅ ∠ 13AC =
sin sin
AP AC
ACP APC
=∠ ∠
4 13
sin sin 60ACP
=∠
2 39sin 13ACP∴ ∠ =
*{ }( )na n∈N 1 16a = 3 23 322a a+ =
{ }na
23logn nb a= { }nb n nS nS
52 n
na −= ( )23 92nS n n= − − nS 30
1a q 3 23 322a a+ = q { }na
q（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，由通项公式可验证出数列 为单调递减的等差数列，根据等差数
列求和公式求得 ；根据 ，可确定 或 时， 最大，代入可求得最大值.
【详解】（Ⅰ）设等比数列 的公比为
，
即 ，解得： 或
各项均为正数
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
当 时，
是首项为 ，公差为 的单调递减的等差数列
又 数列 的前 项为正数
当 或 时， 取得最大值，且最大值为
【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前 项和最值的求解问题；求解等差
数列前 项和的最值的常用方法有两种：
①确定数列各项中的变号项，由数列的单调性可得最值取得的位置；
②根据前 项和的二次函数性质来确定最值的位置.
19.如图，在四棱锥 中，侧面 是等边三角形，且平面 平面 ，
为 的中点， , ， .
nb { }nb
nS 5 0b = 4n = 5 nS
{ }na q
1 16a = 3 23 322a a+ = 2 2
1 12 3 32 48 32a q a q q q∴ + = + =
22 3 2 0q q+ − = 2q = − 1
2q =
{ }na
1
2q∴ =
1
5116 22
n
n
na
−
− ∴ = × =
( )5
23log 2 3 5 15 3n
nb n n−= = − = −
2n ≥ 1 3n nb b −− = −
{ }nb∴ 1 12b = 3−
( ) ( )23 312 1 92 2nS n n n n n∴ = − − = − −
5 0b = ∴ { }nb 4
∴ 4n = 5 nS 4 5 30S S= =
n
n
n
P ABCD− PAD PAD ⊥ ABCD
E PD //AD BC CD AD⊥ 2 4BC CD AD= = =，（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）直线 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） （Ⅲ）存在点 ， ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取 中点 ，结合三角形中位线和长度关系，可证得 且 ，得到
四边形 为平行四边形，进而得到 ，根据线面平行判定定理可证得结论；
（Ⅱ）取 中点 ，由面面垂直性质可知 平面 ，由此可建立空间直角坐标
系；分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角
的余弦值；
（Ⅲ）设 ，利用空间向量表示出 ，由线面平行可知 与平面的法向量垂直，
即 ，构造方程求得 ，从而得到结论.
【详解】（Ⅰ）取 中点 ，连结
//CE PAB
E AC D− −
AB Q //PQ ACE AQ
AB
6
4
Q 2AQ
AB
=
PA F / /EF BC EF BC=
EFBC / /CE BF
AD O PO ⊥ ABCD
AQ ABλ= PQ PQ
1 0PQ n⋅ = λ
PA F ,EF BF为 中点， ，
又 ， 且
四边形 为平行四边形
平面 , 平面
平面
（Ⅱ）取 中点 ，连结 ，
为等边三角形
平面 平面 ，平面 平面 平面
， 四边形 为平行四边形
如图建立空间直角坐标系 ，
则
，
设平面 的一个法向量为
则 ，即 ，令 ，则 ，
显然，平面 的一个法向量为 ，
,E F ,PD PA 4=AD ∴ //EF AD 1 22EF AD= =
//BC AD 2BC = / /EF BC∴ EF BC=
∴ EFBC ∴ //CE BF
CE ⊄ PAB BF ⊂ PAB
∴ //CE PAB
AD O OP OB
PAD∆ PO OD∴ ⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD = AD ∴ PO ⊥ ABCD
/ /OD BC 2OD BC= = ∴ BCDO
CD AD⊥ ∴ OB OD⊥
O xyz−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 2,0 , 2,0,0 , 2,2,0 , 0,1, 3 , 0,0,2 3A B C E P−
( )2,4,0AC∴ = ( )0,3, 3AE =
ACE ( )1 , ,n x y z=
1
1
0
0
n AC
n AE
⋅ = ⋅ =
2 4 0
3 3 0
x y
y z
+ = + =
2x = − 1y = 3z = − ( )1 2,1, 3n∴ = − −
ACD ( )2 0,0,1n =所以 .
二面角 为锐角 二面角 的余弦值为
（Ⅲ）直线 上存在点 ，使得 平面 .理由如下：
设 ，
，
平面 平面 时，
即 ，解得：
直线 上存在点 ，使得 平面 ，此时
【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角及立体几
何中的存在性问题；求解本题中的存在性问题的关键是能够假设存在，利用所给的平行关系
得到直线与法向量垂直，从而利用垂直关系的坐标表示构造方程求得结果.
20.已知椭圆 经过两点 ， .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且直线 与以线段 为直径的
圆交于另一点 （异于点 ），求 的最大值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）最大值为
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将 坐标代入椭圆方程可解得 ，进而得到结果；
（Ⅱ）设直线 方程为 ，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由弦长公式表示出
；利用垂径定理可表示出 ，从而将 表示为关于 的函数，利用基本不等
式可求得最大值.
1 2
1 2
1 2
3 6cos , 42 2
n nn n n n
⋅ −= = = −
E AC D− − ∴ E AC D− − 6
4
AB Q //PQ ACE
AQ ABλ= ( )2,2,0AB =
( )0, 2, 2 3PA = − −
∴ ( )2 ,2 ,0AQ ABλ λ λ= = ( )2 ,2 2, 2 3PQ PA AQ λ λ= + = − −
PQ ⊄ ACE ∴ //PQ ACE 1 0PQ n⋅ =
4 2 2 6 0λ λ− + − + = 2λ =
∴ AB Q //PQ ACE 2AQ
AB
=
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2(1, )2P ( 2,0)Q −
C
F l C A B l FP
E F AB FE⋅
2
2 12
x y+ = 1
,P Q ,a b
l 1x ty= +
AB FE AB FE⋅ t【详解】（Ⅰ） 椭圆 过点 ，
，解得：
椭圆 的标准方程为
（Ⅱ）由题易知直线 斜率不为 ，可设 ：
由 得： ，则
设 ， ，则 ，
又 ，以 为直径的圆的圆心坐标为 ，半径为
故圆心到直线 距离为
，即
（当且仅当 ，即 时取等号）
当 时，直线与椭圆有交点，满足题意，且
的最大值为
的
的
:C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 21, 2P
( )2,0Q −
2 2
2
1 1 12
a
a b
=∴ + =
2
1
a
b
= =
∴ C
2
2 12
x y+ =
l 0 l 1x ty= +
2
2
1
12
x ty
x y
= + + =
( )2 22 2 1 0t y ty+ + − = ( )2 2 24 4 2 8 8 0t t t∆ = + + = + >
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2
2
2
ty y t
−+ = + 1 2 2
1
2y y t
−= +
2
1 21AB t y y= + − FP 21, 4
2
4r =
l
2 2
2 21 14 4
1 1
t t
d
t t
− −
= =
+ +
∴ 2
2 2
2 2
1 1 2 12 2 8 8 1 2 1
tFE r d t t
= − = − ⋅ =+ +
∴
1 2
2
2AB FE y y⋅ = − ( )2
1 2 1 2
2 42 y y y y= + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 222 2 2 2
2
2 4 4 2 8 8 1 12 2 12 2 22 2 2 1 21
t t t
tt t t t t
+ += + = = =++ + + + + ++
2 1 1t + ≥ ( )2
2
11 21t t
∴ + + ≥+ ( )2
2
1 1
1 41 21t t
≤
+ + ++
12 14AB FE∴ ⋅ ≤ = 2
2
11 1t t
+ = + 0t =
0t = 1AB FE⋅ =
AB FE∴ ⋅ 1【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、最值问题的求解；
解决最值问题的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数，进而利用函数中的最值求
解方法求得最值.
21.已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，证明： ；
（Ⅲ）判断 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数 在定义域内不是
单调函数．理由见解析
【解析】
【分析】
根据解析式可确定函数定义域并求得
（Ⅰ）求得 和 ，根据导数几何意义可知切线斜率为 ，从而得到切线方程；
（Ⅱ）将所证不等式转化为 ；令 ，通过导数求得函
数单调性，可得 ，即 ，从而证得结论；
（Ⅲ）令 ，通过导数可知 单调递减；利用零点存在定理可知
在 内存在零点 ，从而得到 的符号，进而得到 单调性，说明 不
是单调函数.
【详解】由题意得：函数 的定义域为 ，
（Ⅰ） ，
在点 处的切线方程为：
( ) ( )ln 0xf x ax a
= >+
( )y f x= ( )( )1, 1f
1a = ( ) 1
2
xf x
−≤
( )f x
( 1) 1 0x a y− + − = ( )f x
( )f x′
( )1f ( )1f ′ ( )1f ′
22ln 1 0≤x x− + ( ) 22ln 1h x x x= − +
( )max 0h x = ( ) 0h x ≤
( ) ln 1ag x x x
= − + + ( )g x ( )g x
( )11, ae − m ( )f x′ ( )f x ( )f x
( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )2
ln 1ax xf x
x a
− + +
′ =
+
( )1 0f = ( ) 11 1f a
′ = +
( )y f x∴ = ( )( )1, 1f ( )10 11y xa
− = −+即
（Ⅱ）当 时，
欲证 ，即证 ，即证
令 ，则 ．
当 变化时， 变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘
函数 的最大值为 ，故
（Ⅲ）函数 在定义域内不是单调函数．理由如下：
令 ，
在 上单调递减
，
存在 ，使得
当 时， ，从而 ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，从而 ，所以函数 在 上单调递减
( )1 1 0x a y− + − =
1a = ( ) ln
1
xf x x
= +
( ) 1
2
xf x
−≤ ln 1
1 2
≤x x
x
−
+
22ln 1 0≤x x− +
( ) 22ln 1h x x x= − + ( ) ( )( )2 1 12 2 x xh x xx x
− − +′ = − =
x ( ), ( )h x h x′
x ( )0,1 1 ( )1,+∞
( )h x′ + 0 −
( )h x
∴ ( )h x ( )1 0h = ( ) 0≤h x
( ) 1
2
xf x
−∴ ≤
( )f x
( ) ln 1ag x x x
= − + +
( ) 2 2
1 0a x ag x x x x
+′ = − − = − ( )1 1
1 1
1ln 1 1 0a a
a a
ag e e ae e
+ +
+ +
= − + + = − ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,m
( ),x m∈ +∞ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x ( ),m +∞故函数 在定义域内不是单调函数
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不
等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则
可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间.
22.已知无穷数列 满足： ， ， ，
．记 （ 表示 个实数 中的最大
值）．
（Ⅰ）若 ， ， ，求 ， 的可能值；
（Ⅱ）若 ， ，求满足 的 的所有值；
（Ⅲ）设 是非零整数，且 互不相等，证明：存在正整数 ，使得数列
中有且只有一个数列自第 项起各项均为 ．
【答案】（Ⅰ） 或 或 或 ；（Ⅱ）所有取值是 ；
（Ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）依次代入 ， 即可求得 ，根据 可确定 和 的取值，
从而得到结果；
（Ⅱ）记 ，可表示出 ，进而得到 ，分别在 、 和
三种情况下利用 求得 的取值即可得到结果；
（Ⅲ）假设对任意正整数 ， 都不为 ，由 可证得
，得到 严格单调递减；可知必存在正整数 ，
使得 ，与 矛盾，从而 中至少有一个为 ；设 ，可知
，则 ， ， ，依次类推可得对
， ， ， 且 ，从而证得结论.
( )f x
{ } { } { }, ,n n na b c *n N∀ ∈ 1n n na b c+ = − 1n n nb c a+ = −
1n n nc a b+ = − { }max , ,n n n nd a b c= { }max , ,x y z 3 , ,x y z
1 1a = 2 2b = 3 3c = 1b 1c
1 1a = 1 2b = 2 3d d= 1c
1 1 1, ,a b c 1 1 1, ,a b c k
{ } { } { }, ,n n na b c k 0
1
1
8
3
b
c
=
=
1
1
8
3
b
c
=
= −
1
1
8
3
b
c
= −
=
1
1
8
3
b
c
= −
= −
2, 1,1,2− −
2n = 3n = 1 2,c a 2 1 3 3a b= − ≥ − 2a 1b
1c x= 2d 3 3 3, ,a b c 0 1x≤ < 1 2x≤ < 2x ≥
3 2d d= x
3k ≥ , ,k k ka b c 0 1 1 1, ,k k ka b c+ + +
{ }1 1 1 1max , ,k k k k kd a b c d+ + + += < { }kd 3m ≥
0≤md kd ∗∈N , ,k k ka b c 0 0ka =
1 1 1k k kb c a− − −= ≠ 1 0ka + = 1k kb c+ = 1k k kc b c+ = − = −
n k∀ ≥ 0na = 1n kb c+ = 1n kc c+ = − 0kc ≠【详解】（Ⅰ）由 得：
由 得：
又 ，故 ，
的所有可能值为 或 或 或
（Ⅱ）若 ， ，记 ，则 ， ，
， ，
当 时， ， ， ，
由 得： ，不符合；
当 时， ， ，
由 得： ，符合；
当 时， ， ，
由 得： ，符合；
综上所述： 的所有取值是 .
（Ⅲ）先证明“存在正整数 ，使 中至少有一个为 ”
假设对任意正整数 ， 都不为
由 是非零整数，且 互不相等得： ，
若对任意 ， 都不为 ，则
即对任意 ，
当 时， ， ，
2 1 1b c a= − 1 1 2c − = 1 3c∴ = ±
3 2 2c a b= − 2 2 3a − = 2 5a∴ = ±
2 1 1 1 3 3a b c b= − = − ≥ − 2 5a = 1 8b = ±
1 1,b c∴ 1
1
8
3
b
c
=
=
1
1
8
3
b
c
=
= −
1
1
8
3
b
c
= −
=
1
1
8
3
b
c
= −
= −
1 1a = 1 2b = 1c x= 2 2a x= − 2 1b x= − 2 1c = −
2
2 ,0 1
1,1 | | 2
1, 2
x x
d x
x x
− ≤ <
∴ = ≤
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