数学参考答案第 1 页（共 10 页）
扬州市 2019—2020 学年度第一学期期中调研测试试题
高三 数学 参 考 答 案
一、 填空题：
1. {1,2,3,4} 2. 11
22i 3. 0 4. 2yx 5.5
6. 16 7. 65
5 8. 1 9. 3
2 10. 3
2
11. 2 12. 15 15,15 15
13. 2 2 1
2
14. 2
1,3e e
二、解答题：
15．解： (1)由 1 03
x
x
得 13A x x ………………2 分
0m 时,
由 2 40x 得 2,2 ,B ………………4 分
1,2 ,AB ………………7 分
(2)由 222 4 0x mx m 得： 22B x m x m ≤ ≤ ．………………9 分
13A x x , 1 3,RCA ． ………………11 分
∵ RB C A ∴ 23m ,或 21m ，
∴ 5m 或 3m ．
∴实数 m 的取值范围为 , 3 5, ……………14 分
16.解：
5
3cos,2,0
,5
4sin 4tan 3 ………………………………2 分
4 1tan tan 34tan( ) 744 1 tan tan 1 143
………6 分
（2） ,25
24cossin22sin …………………………………8 分
.25
7sincos2cos 22 …………………………………10 分
则sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin6 6 6
数学参考答案第 2 页（共 10 页）
24 3 7 1 7 24 3()25 2 25 2 50
…………………………………14 分
17 ． 解 ：（ 1 ） 因 为 :3l y k x与圆 C 相 切 ， 所 以圆心C 到 直 线 的 距 离
2
| 3 2 | 2
1
kd
k
， …………………………3 分
解得 0k 或 12
5k
所以斜率 k 为 0 或12
5
…………………………7 分
（2）法一：当l 的倾斜角为 45°时， :3l y x，令 0x ，得 3y ，所以 0,3B
由
22
3
24
yx
xy
，解得
17
2
37
2
x
y
舍去，或
17
2
37
2
x
y
所以 1 7 3 7,22D
…………………………10 分
则 1 7 1 73,3 , ,22AB BD
，…………………………12 分
所以 3 71
17
2
． …………………………15 分
法二：当 的倾斜角为 45°时， ，令 ，得 ，所以
过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 M，则 CM =BM＝
22
| 3 2 | 2
211
，…………………………
10 分
2 144 2MD CM ， 14 2
22BD ……………12 分
又 2 23 3 3 2AB
所以 32 71
14 2
2
…………………………15 分
数学参考答案第 3 页（共 10 页）
法三：当l 的倾斜角为 45°时， :3l y x，令 0x ，得 3y ，所以 0,3B
设 00,D x y
因为 AB BD ，点 D 在第一象限，所以 003,3 , 3xy， 0
则
0
0
3
33
x
y
，得
0
0
3
3 3
x
y
，即 33,3D
……………12 分
又点 D 在圆上，所以
22333 2 4
，解得 17 （舍去）或
71 ……………15 分
18．解：设 EF 中点为 M ，连结OM ，则 cos , 2sinOM AD
（1）当
3
时，杠铃形图案的面积 122 2 sin cos cos3 2 3 3 3 3S
2 3 2
3 2 3
…………5 分
答：当 时，杠铃形图案的面积为 2 3 2
3 2 3
平方米．…6 分
（2）杠铃形图案的面积 22 sin cos cos3S
'S 2222[1 (cos sin ) sin ]3 2 22(2sin sin )3……9 分
因为 5
4 12
，所以 2 212sin sin 2sin (sin ) 033 ，
'0S ， S 单调递增…11 分
所 以当
4
时 ， S 的 最 小 值 为 22 sin cos cos4 4 4 3 4S
22123
.
答：杠铃形图案的面积的最小时为 22123
平方米．……15 分 数学参考答案第 4 页（共 10 页）
19. 解：（ 1）设椭圆的焦距为 2c
因为线段 FF12为直径的圆与椭圆交于点 3 5 4 5,55P
—
所以 2 5c
法一： 125,0 , 5,0FF ，则 1226a PF PF ， 3a
所以 22 9 5 2b a c
则椭圆的方程为
22
194
xy……………4 分
法二：又点 在椭圆上
所以
22
22
22
3 5 4 5
551
5
ab
ab
，解得
2
2
9
4
a
b
所以椭圆的方程为 ……………4 分
（2）①因为直线 y kx t与圆相切，所以
2
|| 5
1
t
k
，即 2251tk……（ⅰ）
由 22
194
y kx t
xy
，消去 y 得 2 2 29 4 18 9 36 0k x ktx t
因为直线与椭圆相切，
所以 2 2218 4 9 36 9 4 0kt t k 即 229 4 0kt （ⅱ）
联立（ⅰ）（ⅱ）得
1
2
5
2
k
t
负值舍去……………10 分
②取 BD 中点 M，连结 OM，则OM AB ，
又 AB DE ，所以 M 为 AE 中点
法一：由 1
y kx t
yxk
，解得 22,11
kt tM kk
所以 2
22
12 ,11
tkktE kk
数学参考答案第 5 页（共 10 页）
代入椭圆方程化简得 42
2
42
36 2 1
9 2 9
kk
t kk
22
42
36 1
9 2 9
k
kk
设 2 11mk
则 2
2
36
1120 42
t
m
，当 2m 时，t 取最大值 3，此时 1k ．
又 ， 3t 时， 15 240,3 , 1,2 , , , 2,1 , 3,013 13A B C D E
符合题意，故 的最大值为 3． (不检验扣 1 分) ……………16 分
法二：则OM AB ， M 为 AE 中点所以OE OA t
由
2 2 2
22
194
xyt
xy
，解得 2
2 94
5
t
x
，则
2
2 5 49
xt
又 2 9x ，所以 3t ，t 的最大值为 3，此时 1k
又 ， 时，
符合题意，故 的最大值为 3． (不检验扣 1 分) ……………16 分
20.解：（1） ()fx的定义域为 (0, ).
当 1a 时， 2 1( ) ln 2 1, ( ) 2 2.f x x x x f x xx
(1) 1.f
所以，函数 ()fx在 1x 处的切线方程为 2 ( 1)yx
即 30xy ………………2 分
（2） 2( ) ln 2 2f x x ax ax a ，
22 2 1( ) ,( 0)ax axf x xx
.
当 0a 时, 1( ) 0.fx x
()fx 是单调减函数. 符合 ………………3 分
当 0a 时, , ()fx若 是单调增函数,则
22 2 1( ) 0ax axfx x
，
即 22 2 1 0( 0)ax ax x 恒成立,这不可能;………………5 分
是单调减函数,则
22 2 1( ) 0ax axfx x
，
即 22 2 1 0( 0)ax ax x 恒成立,令 2h(x)=2 2 1ax ax,其开口方向向上,对称轴方程为
1
2x , h(0)=1 0, 故 2
min
1 1 1( ) ( ) 2 ( ) 2 1 0, 0 22 2 2h x h a a a
又 , 1,2.a Z a ………………7 分
综上，满足条件的非负整数 a 的值是0,1,2 ………………8 分
（3） ( ) ( ) 3g x f x x 数学参考答案第 6 页（共 10 页）
2( ) ln (2 1) 1g x x ax a x a
22 (2 1) 1 ( 1)(2 1)1( ) 2 2 1 =ax a x x axg x ax ax x x
①当 0a„ 时， 210ax
x
.
当 01x时， ( ) 0gx ， ()gx在 (0,1) 上为减函数；
当 1x 时， g ( ) 0x ， ()gx在 (1, ) 上为增函数.
所以当 (0, ]xb (1 )be 时， min( ) (1) 0 ( )g x g g b ，不符合题意.………10 分
②当 0a 时，
12 ( 1)( )2g ( )
a x x ax x
.
（i）当 1 12a ，即 1
2a 时，当 x 变化时， ( ),g( )g x x 的变化情况如下：
x 1(0, )2a
1
2a
1( ,1)2a
1 (1, )
()gx 0 0
()gx 极小值 极大值
若满足题意，只需满足 1( ) ( )2g g ea ，整理得 21ln 2 ( 2 ) 2 04a e e a ea .
令 211( ) ln 2 ( 2 ) 2 ( )42F a a e e a e aa > ，
当 1
2a 时， 2
22
1 1 4 1( ) 2 ( 2) 044
aF a e e e ea a a
，
所以 ()Fa在 1( , )2 上为增函数，
所以，当 1
2a 时， 221 1 1 1 1( ) ( ) ( 2 ) 2 ( 2) 02 2 2 2 2F a F e e e e .
可见，当 1
2a 时， 1( ) ( )2g g ea 恒成立，故当 ， (1 2)b 时，函数 ()gx的
最小值为 ( ).gb ；所以 1
2a 满足题意.………………12 分
（ⅱ）当 1 12a ，即 1
2a 时，
2( 1)( ) 0xgx x
„ ，当且仅当 1x 时取等号.
所以 ()gx在 (0, ) 上为减函数.从而 ()gx在 (0, ]b 上为减函数.符合题意. ………13 分
（ⅲ）当 1 12a ，即 10 2a时，当 x 变化时， ( ), ( )g x g x 的变化情况如下表：
x (0,1) 1 1(1, )2a 1
2a 1( , )2a
()gx 0 0 数学参考答案第 7 页（共 10 页）
()gx 极小值 0 极大值
若满足题意，只需满足 ( ) (1)g e g ，且 1
2 ea （若 1
2 ea… ，不符合题意），
即 2
2
( 1)
ea e
，且 1
2a e .
又
2
22
2 1 ( 1) 2 0( 1) 2 2 ( 1)
ee
e e e e
，
2
22
2 1 ( 2) 1 0( 1) 2 2( 1)
ee
ee
2
21
( 1) 2
e ae
.
综上， 2
2
( 1)
ea e
.
所以实数 a 的取值范围是 2
2( , ).( 1)
e
e
………………16 分
21.解：(1)因为矩阵 1
03
aA
属于特征值 的一个特征向量为 1
1
，
所以 1 1 1
0 3 1 1
a
，即 1,
3,
a
所以 4,
3.
a
………………5 分
(2) 由(1)知 41
03A
，所以 2 4 1 4 1 16 7
0 3 0 3 0 9A
.………………10 分
22. 解：（1）每次取得白球的概率是 2
5
，取得红球的概率是 3
5
，
两次都取得白球的概率是 2
5
2
，两次都取得红球的概率是 3
5
2
，
故两次取得的球颜色相同的概率为： 2 3 4 9 13
5 5 25 25 25
22
.-----------------3 分
(2) X 可能的取值为 2,3,4. ------------------------------------4 分
2 2 4( 2) 5 5 25PX ，
2 3 3 2 12( 3) 5 5 5 5 25PX ，
3 3 9( 4) 5 5 25PX .------------------------------------8 分
所以 X 的分布列为：
X 2 3 4
P 4
25 12
25 9
25
所以 的数学期望 4 12 9 16( ) 2 3 425 25 25 5EX . -------------10 分 数学参考答案第 8 页（共 10 页）
23. 解：在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，取 AB 中点 O，取 A1B1 中点 O1，连 OC、OO1，则
OO1// AA1，AB⊥OC，又正三棱柱 中，AA1⊥平面 ABC，AB、OC⊂平面
ABC，所以 AA1⊥OC，AA1⊥AB，所以 OO1⊥OC，OO1⊥AB.
以 O 为坐标原点，OA、OO1、OC 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系
O xyz ，
则 O 0,0,0 ， A 1,0,0 ， C 0,0, 3 ，
C 0,2, 31 ， E 1,2λ,0 ， F 1,2 2λ,0 ，
1,2 , 3CE ， 1 1, 2 , 3CF ，
（1）若 1λ= 2
， 1,1, 3CE ， 1 1, 1, 3CF ，
1
1
1
1 1 3 1cos , 555
CE C FCE C F
CE C F
，故异面直
线 CE 与 1CF所成角的余弦值为 1
5 . ………………5 分
（2）由（1）可得 1,2 2 , 3CF ，
设平面 CEF 的一个法向量 ,,n x y z ，则
2 3 0
2 2 3 0
n CE x y z
n CF x y z
，取 1z 得：
3 2 3 , 3,1n ，
取平面 AEF 的一个法向量 OC 0,0, 3 ，
由 二 面 角 A EF C 的 大 小 为 θ ，且 25
5sin ，得
222
35cos , 53 3 2 3 3 1
OC nOC n
OC n
，
化简得 2 1(2 1) 3 ，所以 3
6 3 . ………………10 分
24. 解：(1) 21
11( 1) 1 1SC ，
2
1 2 1 3 2
2 2 2 2
1
1 1 1 3( 1) ( 1) ( 1) 22 2 2
kk
k
S C C Ck
，
3
1 2 1 3 2 4 3
3 3 3 3 3
1
1 1 1 3 1 3 1 11( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 32 3 2 3 2 3 6
kk
k
S C C C Ck
， 数学参考答案第 9 页（共 10 页）
所以 21
1
2SS， 32
1
3SS.………………4 分
(2) 猜想：
1
1 0
n
n
k
S k
，即 1 1 11 23nS n .………………5 分
证法一：
下面用数学归纳法证明.
1°当 1n 时，由(1)知， 1 1S ，成立；
2°假设当 nm 时， 1
1
1 1 1 1( 1) 1 23
m
kk
mm
k
SCkm
.
则当 1nm时，
1
1 1 2
111
11
1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 1
mm
k k k k m
mmm
kk
S C Ck k m
1 1 2
1
11( 1) [ ] ( 1) 1
m
k k k m
mm
k
CCkm
…………6 分
1 1 1 2
11
1 1 1( 1) + ( 1) ( 1) 1
mm
k k k k m
mm
kk
CCk k m
1 1 2
1
11+ ( 1) ( 1) 1
m
k k m
mm
k
SCkm
.
又因为 1
1
( 1)! !( 1) ( 1) 0!( 1 )! ( 1)!( 1)!
kk
mm
mmkC m C k mk m k k m k
，
则 1
1 ( 1)kk
mmkC m C
，所以 1
1
11
1
kk
mmCCkm
，
所以 1mS 12
1
1
11+ ( 1) ( 1)11
m
k k m
mm
k
SCmm
…………8 分
12
1
1
11+ ( 1) ( 1)11
m
k k m
mm
k
SCmm
12
1
1
1+ ( 1) ( 1)1
m
k k m
mm
k
SCm
1
1
1
1 ( 1) ( 1)1
m
k k m
mm
k
SCm
1 2 3 1 1
1 1 1 1 1 1
1 [ ( 1) ( 1) ( 1) ]1
r r m m m m
m m m m m m mS C C C C C Cm
11 [(1 1) 1]1
m
mS m
1 1 1 1 1+11 2 3 1mS m m m
，
综上 1°2°， ，故 . …………10 分
证明二：因为 1
1
( 1)! !( 1) ( 1) 0!( 1 )! ( 1)!( 1)!
kk
nn
nnkC n C k nk n k k n k
，
则 1
1 ( 1)kk
nnkC n C
，所以 1
+1
11
1
kk
nnCCkn
， 数学参考答案第 10 页（共 10 页）
所以
1
1 1 2
111
11
1 1 1( 1) ( 1) ( 1) 1
nn
k k k k n
nnn
kk
S C Ck k n
（同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分）
1+ 1nS n
， …………9 分
所以 1
1
1nnSSn
，则 ， 1
1
nnSS n， ， 21
1
2SS，
以上 n 个式子相加得 11
1 1 1
12nSSnn
，
又由(1)知 1 =1S ，所以 1
1 1 1 11 2 3 1nS nn
，
当 2n 时， 1 1 11 23nS n ，当 1n 时，符合上式.
故 1 1 11 23nS n ，即
1
1 0
n
n
k
S k
. ………………10 分
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