2019～2020 学年第一学期期中考试
高二数学试卷
（时间：120 分钟 总分：100 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
3．第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内。
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，其中 1～10 小题为单选题，每小题只有
一个选项符合题意；11～12 为多选题，每小题有两个选项符合题意，选对一个得 3 分，两个
都选对得 5 分，选错或选错一个得 0 分。)
1．直线 的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．若圆 C 与圆 C′（x＋2）2＋（y－1）2＝1 关于原点对称，则圆 C′的方程是（ ）
A．（x＋1）2＋（y－2）2＝1 B．（x-2）2＋（y－1）2＝1
C．（x－1）2＋（y+2）2＝1 D．（x-2）2＋（y+1）2＝1
3．如图，在三棱锥 中，点 D 是棱 AC 的中点，若 ， ， ，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
4．直线 是（ ）
A．过点 的一切直线 B．过点 的一切直线
C．过点 且除 x 轴外的一切直线 D．过点 且除直线 外的一切直线
5．如果存在三个不全为 0 的实数 ， ， ，使得向量 ，则关于 ， ，
叙述正确的是（ ）
A． ， ， 两两相互垂直 B． ， ， 中只有两个向量互相垂直
C． ， ， 共面 D． ， ， 中有两个向量互相平行
6．已知点 在平面 内， 是平面 的一个法向量，则下列点 P 中，在
平面 内的是（ ）
A． B．
C． D．
2 4 3 0x y+ + =
2− 1
2
− 1
2 2
O ABC− OA a= OB b= OC c=
BD
a b c+ − 1 1
2 2a b c− +
a b c− + 1 1
2 2a b c− + −
( )( )1y k x k R= − ∈
( )1,0 ( )1,0−
( )1,0 ( )1,0 1x =
x y z 0xa yb zc+ + = a b c
a b c a b c
a b c a b c
( )2, 1,2A − α ( )3,1,2n = α
α
( )1, 1,1P − 31,3, 2P
31, 3, 2P −
31,3, 2P − − 7．若直线 与直线 平行，则 （ ）
A． B．
C． 或 2 D． 或
8．设 是椭圆 长轴的两个端点，若 上存在点 满足 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示，正方体 的棱 ， 的中点分别为 ， ，则直线
与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知椭圆的左焦点为 ，有一质点 A 从 处以速度 v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射
（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到 时，它所用的最长时间是最短
时间的 7 倍，则椭圆的离心率 e 为（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）若方程 所表示的曲线为 ，则下面四个命题中错误的是（ ）
A．若 为椭圆,则
B．若 为双曲线,则 或
C．曲线 可能是圆
D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
12 ．（多 选 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 的 方 程 为 . 若 直 线
上存在一点 ，使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的取值可以是
（ ）
A． B． C． D．
2y x= ( )2 1 0a a x y a− − + + = a =
1a = − 2a =
1a = − 1a = 2−
,A B
2 2
: 14
x yC k
+ = C P 120APB∠ = k
4(0, ] [12, )3
∪ +∞ 2(0, ] [6, )3
∪ +∞
2(0, ] [12, )3
∪ +∞ 4(0, ] [6, )3
∪ +∞
1 1 1 1ABCD A B C D− AB 1 1A D E F EF
1 1AA D D
5
5
30
6
6
6
2 5
5
1F 1F
1F
2
3
3
4
3
5
5
7
2 2
13 1
x y
t t
+ =− − C
C 1 3t< <
C 3t > 1t <
C
C y 1 2t< <
xOy C 2 2 4 0x y x+ − =
( )1y k x= + P P k
1 2 3 4第Ⅱ卷
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．在平面直角坐标系 中，双曲线 的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离
为 。
14．已知圆 与圆 相交，则实数 的取值范围为 。
15．已知双曲线： 的左、右焦点分别为 ， ，焦距为 2c，直线
与 双 曲 线 的 一 个 交 点 M 满 足 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率
为 。
16．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 为 6 米（如图所示），路面设计是双向
车道，车道总宽为 米，如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米，那么隧道设计的拱宽 至
少应是 米。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题 10 分）
（1）求与双曲线 有相同焦点，且经过点 的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆 的离心率 ，求 的值。
18．（本小题 12 分）
已知圆 与直线 相交于不同的 两点， 为坐标原
点。
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的值。
19．（本小题 12 分）
底面为菱形的直棱柱 中， 分别为棱 的中点。
（1）在图中作一个平面 ，使得 ，且平面 .（不必给出证明过程，只要求
作出 与直棱柱 的截面）。
（2）若 ，求平面 与平面 的距离 。
xOy
2
2 14
xy − = −
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F
3( )y x c= + 1 2 2 12MF F MF F∠ = ∠
h
8 7 d
2 2
116 4
x y− = ( )3 2,2
2 2( 3) ( 0)x m y m m+ + = > 3
2e = m
2 2 1C x y+ =： : 3 0l x y m− + = A B、 O
m
3AB = m
1 1 1 1ABCD A B C D− E F、 1 1 1 1A B A D、
α BD α⊂ / /AEF α
α 1 1 1 1ABCD A B C D−
0
1 2, 60AB AA BAD= = ∠ = AEF α d20．（本小题 12 分）
如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上的射影， 为 上一点，且
。
（Ⅰ）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度。
21．（本小题 12 分）
如图，在四棱锥 P–ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E
为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 。
（Ⅰ）求证：CD⊥平面 PAD；
（Ⅱ）求二面角 F–AE–P 的余弦值；
（Ⅲ）设点 G 在 PB 上，且 ．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由。
1
3
PF
PC
=
2
3
PG
PB
=22．（本小题 12 分）
已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ， ，
的面积为 1。
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 3
2
( ,0)A a (0, )B b (0,0)O
OAB∆
C
P C PA y M PB x N
| | | |AN BM⋅2019～2020 学年第一学期期中考试
BDBDC BBACD AD AB
第Ⅱ卷（非选择题，共×分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13、 14、 15、 16．32
三、解答题：本大题共 3 小题，共 30 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1） （2）
【详解】
（1）∵双曲线与双曲线 1 有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：
1，（﹣4＜λ＜16），∵双曲线过点（ ，2），∴ 1，∴λ＝4 或 λ＝﹣14．（舍）
∴所求双曲线方程为 ．
（2）椭圆方程可化为 1，
因为 m 0，所以 m ，
即 a2＝m，b2 ，c ，由 e ，得 ，解得 m
＝1，所以 m＝1．
18．（1） ；（2） .
试题解析：（1）
解：由 消去 得 ，由已知得，
得 ，得实数 的取值范围是 ；
2 5
5
e 3 1c
a
= = +
2 2
112 8
x y− = 1m =
2 2
16 4
x y− =
2 2
16 4
x y
λ λ− =− +
3 2 18 4
16 4λ λ+ =− +
2 2
112 8
x y− =
2 2
3
x y
mm
m
+ =
+
( )2
3 3
m mm
m m
+− =+ + ＞ 3
m
m +＞
3
m
m
= +
( )2 2 2
3
m ma b m
+= − = +
3
2
= 2 3
3 2
m
m
+ =+
( 2,2)− 1m = ±
2 2 1{
3 0
x y
x y m
+ =
− + =
y 2 24 2 3 1 0x mx m+ + − =
2 2(2 3 ) 16( 1) 0m m− − > 2 4 0m − < m ( 2,2)−（2）因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以
由已知得 ，解得 .
19．（1）见解析;（2）
试题解析：
（1）如图，取 的中点 ，连接 ，则平面 即为所求
平面 .
（2）如图，连接 交 于 ，∵在直棱柱 中，底面为菱形，
∴ ，∴分别以 为 轴， 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
又∵所有棱长为 2， ，∴
， ， ， ∴
，∴ ， ，设
是平面 的一个法向量，则 ，即 ，令
(0,0)C : 3 0l x y m− + =
23 1
m md = =
+
2
2 2 2=2 2 1 44
mAB r d m− = − = −
24 = 3m− 1m = ±
4 57
19d =
1 1 1 1,B C D C ,M N , ,BM MN ND BMND
α
,AC AC BD O 1 1 1 1ABCD A B C D−
AC BD⊥ ,DB AC ,x y O
060BAD∠ = ( ) ( ) ( )0, 3,0 , 1,0,0 , 0, 3,0A B C−
( ) ( ) ( )1 11,0,0 , 0, 3,2 , 1,0,2D A B− − ( )1 1,0,2D −
1 3 1 3, ,2 , , ,22 2 2 2E F
− − −
1 3 1 3, ,2 , , ,22 2 2 2AE AF
= = −
( )1, 3,0AB = ( ), ,n x y z=
AEF · 0{
· 0
n AE
n AF
=
=
1 3 2 02 2{
1 3 2 02 2
x y z
x y z
+ + =
− + + =
4 3y =得 ， ，∴点 到平面 的距离
，∴平面 与平面 的距离
20．（1） ； （Ⅱ） .
解：（1）设 的坐标为 ， 的坐标为 ，
由已知得 ，因为 在圆上， 所以 ，即 的方程为 ；
（Ⅱ）过点 且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与 的交点为 ， ，将直线方程 代入 的方程，得：
，整理得 ，所以 ， ，
所以 .
21．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)见解析.
【详解】
(Ⅰ)由于 PA⊥平面 ABCD，CD 平面 ABCD，则 PA⊥CD，由题意可知 AD⊥CD，且
PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 PAD.
(Ⅱ)以点 A 为坐标原点，平面 ABCD 内与 AD 垂直的直线为 x 轴，AD,AP 方向为 y 轴，z 轴建
立如图所示的空间直角坐标系 ，
( )0,4 3, 3n = − 57n = B AEF · 12 4 57
1957
AB nh n
= = =
AEF α 4 57
19d =
3
3
⊂
A xyz−易知： ，由 可得点 F 的坐标为
，由 可得 ，设平面 AEF 的法向量为： ，则
，
据此可得平面 AEF 的一个法向量为： ，
很明显平面 AEP 的一个法向量为 ，
，二面角 F-AE-P 的平面角为锐角，故二面角 F-AE-P 的
余弦值为 .
(Ⅲ)易知 ，由 可得 ，
则 ，注意到平面 AEF 的一个法向量为： ，
其 且点 A 在平面 AEF 内，故直线 AG 在平面 AEF 内.
22．（1） ；（2）证明见解析.
【详解】
（Ⅰ）由题意得 解得 .所以椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设 ，则 .
当 时，直线 的方程为 .
( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,0,2 , 2,2,0 , 0,2,0A P C D 1
3PF PC=
2 2 4, ,3 3 3F
1
2PE PD= ( )0,1,1E ( ), ,m x y z=
( )
( ) ( )
2 2 4 2 2 4, , , , 03 3 3 3 3 3
, , 0,1,1 0
m AF x y z x y z
m AE x y z y z
⋅ = ⋅ = + + =
⋅ = ⋅ = + =
( )1,1, 1m = −
( )1,0,0n =
1 3cos , 33 1
m nm n
m n
⋅< >= = =
××
3
3
( ) ( )0,0,2 , 2, 1,0P B − 2
3PG PB= 4 2 2, ,3 3 3G −
4 2 2, ,3 3 3AG = −
( )1,1, 1m = −
0m AG⋅ =
2
2 14
x y+ =令 ，得 ，从而 .
直线 的方程为 .
令 ，得 ，从而 .
所以
.
当 时， ，
所以 .
综上， 为定值.
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