数学试题
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设集合 ，则满足条件 的集合 的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
3．下列函数中，在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．若奇函数 在 上是增函数，且最小值是 1，则它在 上是（ ）
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
5．已知集合 ，集合 ，则 P 与 Q 的关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．设 ， ，若 是函数 F(x)的单调递增区间，
则一定是 单调递减区间的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的图象的对称轴为直线 x＝1，则（ ）
A． B．
C． D．
8．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
{ | 2 0}A x x= − < { }1,2,3B = A B =
{ }1,2,3 { }1 { }3 ∅
{ }= 1,2M { }= 1,2,3,4M N N
( )0,2
3 2y x= − + 3y x
= 2 4 5y x x−= + 23 8 10y x x+= −
( )f x [ ]3,7 [ 7, 3]− −
1− 1−
1− 1−
{ }| 1P x y x= = + { }| 1Q y y x= −＝
P Q= P Q⊆
P Q⊇ P Q = ∅
( ) ( ) ( )F x f x f x= + − x∈R , 2
π −π −
( )F x
,02
π − ,2
π π 2
3π π, ,22
3π π
( ) 2f x x bx c= ＋ ＋
( ) ( )1( 1 2)f f f< 0 时，f(x)>1，且对任意的 x，y ，有
，f(1)＝2,且 .
（1）求 f(0)的值；
（2）求证：对任意 x ，都有 f(x)>0；
（3）解不等式 f(3 2x)>4．
∈R
−
( ), 2−∞ −
∈R
( ) ( )( ) ·f x y f x f y+ ＝ (0) 0f ≠数学试题答案
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1-5 BDDBC 6-10BBBAD 11-12BB
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案
填在题中横线上）
13． 14．2 15． 16．
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．（1）∵ ，
∴ ， ．
（2） ．
（3）∵定义 ，
∴ ， ．
18．（1）函数 在 上是增函数．
证明：任取 ，且 ，
则 ．
易知 ， ，所以 ，即 ，
所以函数 在 上是增函数．
（2）由（1）知函数 在 上是增函数，
则函数 的最大值为 ，最小值为 ．
19．因为 ，所以应分两种情况．
( ]4−∞， 1 ,22
(1, )+∞
{ }| 4A x x= > { | 6 6}B x x= − < <
{ | 4 6}A B x x= < −
{ | 6 6}U B x x x= ≥ ≤ −或
{ | , }A B x x A x B− = ∈ ∉且
( ) { | 6}UA B A B x x− = = ≥ ( ) { | 4 6}A A B x x− − = < <
( )f x [1, )+∞
1 2, [ , )1x x ∈ +∞ 1 2x x<
( ) ( ) ( )( )1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2 1 2 1
1 1 1 1
x x x xf x f x x x x x
+ + −− =+ + += +−
1 2 0x x− < 1 2( )1 1( 0)x x+ + > ( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x<
( )f x [1, )+∞
( )f x [1 ]4，
( )f x ( ) 94 5f = ( ) 31 2f =
( )U A B C⊆（1）若 ，则 A∪B＝R，因此 a 2≤ a 1，即 a≤ ．
（2）若 ，则 a 2 a 1，即 a ．
又 A∪B＝{x|x≤ a 1 或 x a 2}，
所以 ，
又 ，所以 a 2 0 或 a 1≥4，
即 或 a≤ 5，即 ．
又 a ，故此时 a 不存在．
综上，存在这样的实数 a，且 a 的取值范围是 ．
20．（1）由 f(2)＝0，得 4a 2b＝0，即 2a b＝0．①
方程 f(x)＝x，即 ax2 bx＝x，即 ax2 (b 1)x＝0 有两个相等实根，
且 a≠0，∴b 1＝0，∴b＝1，代入①得 a＝ ．
∴f(x)＝ x2 x．
（2）由（1）知 f(x)＝ (x 1)2＋ ．显然函数 f(x)在 上是减函数，
∴x＝1 时，f(x)max＝ ，x＝2 时，f(x)min＝0．
∴ 时，函数 f(x)的值域是 ．
（3）F(x)是奇函数．
证明： ，
∵F( x)＝2( x)＝ 2x＝ F(x)，∴F(x)是奇函数．
21．（1）当 x>2 时，设 f(x)＝a(x 3)2 4．
∵f(x)的图象过点 A(2，2)，∴f(2)＝a(2 3)2 4＝2，∴a＝ 2，
( )U A B =∅ + − − 3
2
−
( )U A B ≠ ∅ + > − − > 3
2
−
− − > +
( ) | 2{ }1U A B x a x a− < ≤= − +
( )U A B C⊆ + < − −
2a < − − 2a < −
> 3
2
−
3| 2a a −
≤
+ +
+ + −
− 1
2
−
1
2
− +
1
2
− − 1
2 [1 ]2，
1
2
]2[1x∈ ，
20 1
，
( ) ( ) 2 21 1( ) ( ) (2 2 2)F x f x f x x x x x x = − − = − + − − − − = ＋
− − − −
− +
− + −∴ ．
设 ，则 x>2，∴ ．
又因为 f(x)在 R 上为偶函数，∴f( x)＝f(x)，
∴ ，
即 ， ．
（2）图象如图所示．
（3）由图象观察知 f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为 和 ．单调减区间为 和 ．
22．（1）对任意 x，y ， ．
令 x＝y＝0，得 f(0)＝f(0)·f(0)，即 f(0)·[f(0) 1]＝0．
令 y＝0，得 f(x)＝f(x)·f(0)，对任意 x 成立，
所以 f(0)≠0，因此 f(0)＝1．
（2）证明：对任意 x ，有 ．
假设存在 x0 ，使 f(x0)＝0，
则对任意 x>0，有 f(x)＝f[(x x0)＋x0]＝f(x x0)·f(x0)＝0．
这与已知 x>0 时，f(x)>1 矛盾．所以，对任意 x ，均有 f(x)>0 成
立．
（3）令 x＝y＝1 有 f(1 1)＝f(1)·f(1)，
所以 f(2)＝2×2＝4．任取 x1，x2 ，且 x11，∴f(x2 x1) 1>0．
由（2）知 x1 ，f(x1)>0．所以 f(x2) f(x1)>0，即 f(x1)4，得 f(3 2x)>f(2)，即 3 2x>2．解得 x< ．
所以，不等式的解集是 ．
− − − − −
−
− − − −
∈R −
( , )−∞ +∞
− − − 1
2
1, 2
∞−
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