2019年全国中考数学真题分类汇编：规律探索（含答案）.docx

2019年全国中考数学真题分类汇编：规律探索 一、选择题 1. （2019年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原 点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度， 其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An， 则点A2019的坐标是（　　） A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1） 【考点】坐标、平移、规律探索 【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（ 3，1），…，2019÷4＝504…3， 所以A2019的坐标为（504×2+1，0）， 则A2019的坐标是（1009，0）． 故选：C． 2. （2019年山东省济宁市）已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒 数是 ＝﹣1，﹣1的差倒数是 ＝ ．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2 的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（　　） A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5 【考点】规律探索 【解答】解：∵a1＝﹣2， ∴a2＝ ＝ ，a3＝ ＝ ，a4＝ ＝﹣2，…… ∴这个数列以﹣2， ， 依次循环，且﹣2+ + ＝﹣ ， ∵100÷3＝33…1， ∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣ ）﹣2＝﹣ ＝﹣7.5， 故选：A．3. （2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图 片，适合填补图中空白处的是（　　） A． B． C． D． 【考点】规律探索、图形的变化规律 【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10， 符合此要求的只有 故选：D． 4. （2019年四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如2的差倒 数为 ＝﹣1，﹣1的差倒数 ＝ ，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差 倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（　　） A．5 B．﹣ C． D． 【考点】规律探索、数字的变化规律 【解答】解：∵a1＝5， a2＝ ＝ ＝﹣ ， a3＝ ＝ ＝ ， a4＝ ＝ ＝5， … ∴数列以5，﹣ ， 三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝ ， 故选：D． 5. （2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，…… 第n个单项式是（ ） A.（－1）n－1x2n－1 B.（－1）nx2n－1 C.（－1）n－1x2n＋1 D.（－1）nx2n＋1 【考点】规律探索、数字的变化规律 【解答】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用 或 ， （n为大于等于1的整数）来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为 ，故选C 6. （2019年广西贺州市）计算 + + + +…+ 的结果是（　　） A． B． C． D． 【考点】规律探索、数字的变化规律、有理数的混合运算 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ． 故选：B． 7.（2019年河南省）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4）， 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结 束时，点D的坐标为（　　） A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10） 【考点】规律探索、旋转 1)1( −− n 1)1( +− n 12 +n【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4）， ∴AB＝3+3＝6， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝6， ∴D（﹣3，10）， ∵70＝4×17+2， ∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O 顺时针旋转2次，每次旋转90°， ∴点D的坐标为（3，﹣10）． 故选：D． 8. （2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，若第n个数为 ，则n＝（　　） A．50 B．60 C．62 D．71 【考点】规律探索、数字的变化 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，可写为： ，（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ），…， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为 ， ∴第n个数为 ，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60， 故选：B． 9. （2019年内蒙古赤峰市）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作： ①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角 三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的 面积为（　　）A．22019 B． C． D． 【考点】规律探索、中点四边形 【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开， 第一次：余下面积 ， 第二次：余下面积 ， 第三次：余下面积 ， 当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为 ， 故选：C． 二、填空题 1. （2019年山东省滨州市）观察下列一组数： a1＝ ，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ，a5＝ ，…，它们是按一定规律排列的，请利 用其中规律，写出第n个数an＝ 　（用含n的式子表示） 【考点】规律探索、同底数幂的乘法 【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1， 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为 ， ∴an＝ ＝ ； 故答案为 ； 2. （2019年山东省枣庄市）观察下列各式： ＝1+ ＝1+（1﹣ ）， ＝1+ ＝1+（ ﹣ ）， ＝1+ ＝1+（ ﹣ ）， … 请利用你发现的规律，计算：+ + +…+ ， 其结果为　 　． 【考点】规律探索、二次根式的化简 【解答】解： + + +…+ ＝1+（1﹣ ）+1+（ ﹣ ）+…+1+（ ﹣ ） ＝2018+1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ＝2018 ， 故答案为：2018 ． 3.（2019年四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1 为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3 ＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019 的坐标为　 　． 【考点】解直角三角形、规律探索 【解答】解：由题意得， A1的坐标为（1，0）， A2的坐标为（1， ）， A3的坐标为（﹣2，2 ）， A4的坐标为（﹣8，0）， A5的坐标为（﹣8，﹣8 ）， A6的坐标为（16，﹣16 ）， A7的坐标为（64，0）， … 由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2 ， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2 ， 与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2 ， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2 ， ∵2019÷6＝336…3， ∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵 坐标为22017 ， 故答案为：（﹣22017，22017 ）． 4.（2019年江苏省扬州市）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB 与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC 的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则 4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）= ． 【考点】相似三角形，比例性质、规律探索 【解答】∵D1E1∥AB D1F1∥AC ∴ ∵AB=5 AC=4 ∴ ∴ ∴4D1E+5D1F=20 有2019组，即2019×20=40380 5. （2019年浙江省衢州市）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。 CB CD AB ED 111 = BC BD AC FD 11 = CB CDED 111 5 = BC BDFD 11 4 = 145 11111 ==+=+ BC BC BC BD CB CDFDED （1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中 顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 的值为________ . （2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 ， 摆放第三个“7”字图形 得顶点F2 ， 依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 ， …，则顶点F2019的坐标 为________ . 【考点】探索图形规律、相似三角形 【解答】（1）依题可得，CD=1，CB=2， ∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°， ∴∠BDC=∠OBA， 又∵∠DCB=∠BOA=90°， ∴△DCB∽△BOA， ∴ ； （ 2 ）根据题意标好字母，如图， 依题可得： CD=1,CB=2，BA=1， ∴BD= ，由（1）知 ， ∴OB= ，OA= ， 易得： △OAB∽△GFA∽△HCB， ∴BH= ，CH= ，AG= ，FG= ， ∴OH= + = ，OG= + = ， ∴C（ ， ），F（ ， ）， ∴由点C到点F横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ， …… ∴Fn的坐标为：（ + n， + n）， ∴F2019的坐标为：（ + ×2019， + ×2019）=（ ，405 ）， 故答案为：1 2，（ ，405 ）. 6. （2019年甘肃省天水市）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的， 依照此规律，第2019个图形中共有　 　个〇． 【考点】规律探索、图形的变化 【解答】解：由图可得， 第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4， 第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7， 第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13， …… ∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇， 故答案为：6058．7. （2019年甘肃省）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形， 第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n ＝　　． 【考点】规律探索、图形的变化 【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2×2﹣1＝3个． 第3幅图中有2×3﹣1＝5个． 第4幅图中有2×4﹣1＝7个． …． 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n幅图中共有（2n﹣1）个． 当图中有2019个菱形时， 2n﹣1＝2019， n＝1010， 故答案为：1010． 8. （2019年甘肃省武威市）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照 这个规律写下去，第9个数是　 　． 【考点】规律探索、数字的变化规律 【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b， 故答案为：13a+21b． 9. （2019年黑龙江省伊春市）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1 为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三 个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形， 连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3 ，如此下去，则S2019＝　 　．【考点】规律探索、正方形的性质、勾股定理 【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形， ∴OA＝AA1＝A1B1＝1， ∴S1＝ ＝ ， ∵∠OAA1＝90°， ∴AO12＝ 12 + 12＝ ， ∴OA2＝A2A3＝2， ∴S2＝ ＝1， 同理可求：S3＝ ＝2，S4＝4…， ∴Sn＝2n﹣2， ∴S2019＝22017， 故答案为：22017． 10. （2019年辽宁省本溪市）如图，点B1在直线l：y＝ x上，点B1的横坐标为2，过B1作 B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点 A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向 右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横 坐标为　 　（结果用含正整数n的代数式表示）【考点】规律探索、相似三角形的性质 【解答】解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x 轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4…… ∵点B1在直线l：y＝ x上，点B1的横坐标为2， ∴点B1的纵坐标为1， 即：OD＝2，B1D＝1， 图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2， ∴点C1的横坐标为：2+ +（ ）0， 点C2的横坐标为：2+ +（ ）0+（ ）0× +（ ）1＝ +（ ）0× +（ ）1 点C3的横坐标为：2+ +（ ）0+（ ）0× +（ ）1+（ ）1× +（ ）2＝ + （ ）0× +（ ）1× ++（ ）2 点C4的横坐标为：＝ +（ ）0× +（ ）1× +（ ）2× +（ ）3 …… 点∁n的横坐标为：＝ +（ ）0× +（ ）1× +（ ）2× +（ ）3× +（ ）4× ……+（ ）n﹣1 ＝ + [（ ）0+（ ）1×+（ ）2+（ ）3+（ ）4……]+（ ）n﹣1 ＝故答案为： 三、解答题 1. （2019年安徽省）观察以下等式: 第1个等式: ， 第2个等式: ， 第3个等式: ， 第4个等式: ， 第5个等式: ， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 【考点】规律探索、分式的加减法 【解答】（1） （2） 证明：∵右边 左边. ∴等式成立 2 1 1=1 1 1 + 3 1 1=2 2 6 + 2 1 1=5 3 15 + 2 1 1=7 4 28 + 2 1 1=9 5 45 + 2 1 1=11 6 66 + 2 1 1=2n-1 n n 2n-1 + （ ） 1 1 2n-1+1 2= = = =n n 2n-1 n 2n-1 2n-1 + （ ） （ ）