湖北省襄阳市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

1 2019 年湖北省襄阳市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答 1． A．3 B． C．﹣3 D．±3 2． A．a3﹣a2＝a B．a2a3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D． 3.如图，直线 BC∥AE，CD⊥AB 于点 D，若∠BCD＝40°，则∠1 的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 4 ． A．青 B．来 C．斗 D．奋 5． A． B． C． D．2 6．（3 分）不等式组 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7． A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 8． A．必然事件发生的概率是 1 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的事件不可能发生 D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 9 ． A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． ＝ D． ＝ 10． A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC 平分 OB3 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.把答案填在答题卡的相应位置上 11. 12．定义：a*b＝ ，则方程 2*（x+3）＝1*（2x）的解为　 　． 13． 那么点（a，b）在直线 y＝2x 上的概率是　 　． 14 ． 15． 与飞行时间 t（单位：s）之间具有 的关系为 h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为　 　s． 16．（3 分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 D 在 AB 上， ∠BAC＝∠DEC＝30°， AC 与 DE 交于点 F，连接 AE，若 BD＝1， AD＝5，则 ＝　 　．4 三、解答题：本大题共 9 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。 17．（6 分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中 x＝ ﹣ 1． 18．．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整 的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题： 成绩 x（分）分组 频数 频率 60≤x＜70 15 0.30 70≤x＜80 a 0.40 80≤x＜90 10 b 90≤x≤100 5 0.10 （1）表中 a＝　 　，b＝　 　； （2）这组数据的中位数落在　 　范围内； （3）判断：这组数据的众数一定落在 70≤x＜80 范围内，这个说法　 　（填“正确” 或“错误”）； （4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在 80≤x＜90 范围内的扇形圆心角的大小为　 　； （5）若成绩不小于 80 分为优秀，则全校大约有　 　名学生获得优秀成绩． 19．16m，宽（AB）9m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另 一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 112m2，则小路的宽应为多少？ 20．进行了测量．如图所示，最外端的拉索 AB 的底端 A 到塔柱底端 C 的距离为 121m，拉索 AB 与桥面 AC 的夹角为 37°，从点 A 出发沿 AC 方向前进 23.5m，在 D 处测得塔冠顶端 E 的仰角为 45°．请你求出塔冠 BE 的高度（结果精确到 0.1m．参考数据 sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.41）．5 21．（7 分）如图，已知一次函数 y1＝kx+b 与反比例函数 y2＝ 的图象在第一、第三象限 分别交于 A（3，4），B（a，﹣2）两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C，D 两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）比较大小：AD　 　BC（填“＞”或“＜”或“＝”）； （3）直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围． 22．求证：DG 是⊙O 的切线； （2）若 DE＝6，BC＝6 ，求优弧 的长． 23．（10 分）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市 看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示： 有机蔬菜种类 进价（元/kg） 售价（元/kg） 甲 m 16 乙 n 186 （1）该超市购进甲种蔬菜 10kg 和乙种蔬菜 5kg 需要 170 元；购进甲种蔬菜 6kg 和乙种 蔬菜 10kg 需要 200 元．求 m，n 的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少 于 20kg，且不大于 70kg．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 60kg 的部 分，当天需要打 5 折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获 得的利润额 y（元）与购进甲种蔬菜的数量 x（kg）之间的函数关系式，并写出 x 的取值 范围； （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬 菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率 不低于 20%，求 a 的最大值． 24．证明推断：如图（1），在正方形 ABCD 中，点 E，Q 分别在边 BC，AB 上，DQ⊥AE 于点 O， 点 G，F 分别在边 CD，AB 上，GF⊥AE． ①求证：DQ＝AE； ②推断： 的值为　 　； （2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD 中， ＝k（k 为常数）．将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG，EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O．试探究 GF 与 AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k＝ 时，若 tan∠CGP＝ ，GF＝2 ，求 CP 的长．7 25．（13 分）如图，在直角坐标系中，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴，y 轴分别交于点 B，点 C， 对称轴为 x＝1 的抛物线过 B，C 两点，且交 x 轴于另一点 A，连接 AC． （1）直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标和抛物线的解析式； （2）已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时，求点 P 的 坐标； （3）抛物线上是否存在一点 Q（点 C 除外），使以点 Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC 相 似？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8 2019 年湖北省襄阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答 1．【解答】解：|﹣3|＝3． 故选：A． 2．【解答】解：A、a3﹣a2，无法计算，故此选项错误； B、a2a3＝a5，故此选项错误； C、a6÷a2＝a4，故此选项错误； D、（a2）﹣3＝a﹣6，正确． 故选：D． 3．【解答】解：∵CD⊥AB 于点 D，∠BCD＝40°， ∴∠CDB＝90°． ∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+40°＝90°． ∴∠DBC＝50°． ∵直线 BC∥AE， ∴∠1＝∠DBC＝50°． 故选：B． 4．【解答】解：由：“Z”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋； 故选：D． 5．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B． 6．【解答】解：不等式组整理得： ， ∴不等式组的解集为 x≤﹣3，9 故选：C． 7．【解答】解：由作图可知：AC＝AD＝BC＝BD， ∴四边形 ACBD 是菱形， 故选：D． 8．【解答】解：A、必然事件发生的概率是 1，正确； B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C、概率很小的事件也有可能发生，故错误； D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选：C． 9．【解答】解：设合伙人数为x 人， 依题意，得：5x+45＝7x+3． 故选：B． 10．【解答】解：∵AD 为直径， ∴∠ACD＝90°， ∵四边形 OBCD 为平行四边形， ∴CD∥OB，CD＝OB， 在 Rt△ACD 中，sinA＝ ＝ ， ∴∠A＝30°， 在 Rt△AOP 中，AP＝ OP，所以 A 选项的结论错误； ∵OP∥CD，CD⊥AC， ∴OP⊥AC，所以 C 选项的结论正确； ∴AP＝CP， ∴OP 为△ACD 的中位线， ∴CD＝2OP，所以 B 选项的结论正确； ∴OB＝2OP， ∴AC 平分 OB，所以 D 选项的结论正确． 故选：A． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.把答案填在答题卡的相应位置上10 11．【解答】解：1.2 亿＝1.2×108． 故答案为：1.2×108． 12．【解答】解：2*（x+3）＝1*（2x）， ＝ ， 4x＝x+3， x＝1， 经检验：x＝1 是原方程的解， 故答案为：x＝1． 13．【解答】解：画树状图如图所示， 一共有 6 种情况，b＝2a 的有（2，4）和（3，6）两种， 所以点（a，b）在直线 y＝2x 上的概率是 ＝ ， 故答案为： ． 14．【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且 BC＝CB ∴若添加①∠A＝∠D，则可由 AAS 判定△ABC≌△DCB； 若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB； 若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB． 故答案为：②． 15．【解答】解： 依题意，令 h＝0 得 0＝20t﹣5t2 得 t（20﹣5t）＝0 解得 t＝0（舍去）或 t＝4 即小球从飞出到落地所用的时间为 4s 故答案为 4． 16．【解答】解：如图，过点C 作 CM⊥DE 于点 M，过点 E 作 EN⊥AC 于点 N，11 ∵BD＝1，AD＝5， ∴AB＝BD+AD＝6， ∵在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°， ∴BC＝ AB＝3，AC＝ BC＝3 ， 在 Rt△BCA 与 Rt△DCE 中， ∵BAC＝∠DEC＝30°， ∴tan∠BAC＝tan∠DEC， ∴ ， ∵BCA＝∠DCE＝90°， ∴∵BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD∽△ACE， ∴∠CAE＝∠B＝60°，∴ ， ∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°， ， ∴AE＝ ， 在 Rt△ADE 中， DE＝ ＝ ＝2 ， 在 Rt△DCE 中，∠DEC＝30°， ∴∠EDC＝60°，DC＝ DE＝ ， 在 Rt△DCM 中， MC＝ DC＝ ， 在 Rt△AEN 中， NE＝ AE＝ ， ∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90， ∴△MFC∽△NFE，12 ∴ ＝ ＝ ， 故答案为： ． 三、解答题：本大题共 9 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。 17．【解答】解：（ ﹣1）÷ ＝（ ﹣ ）÷ ＝ × ＝ ， 当 x＝ ﹣1 时，原式＝ ＝ ． 18．【解答】解：（1）调查学生总数：15÷0.3＝50（名）， 70≤x＜80 的频数：50﹣15﹣10﹣5＝20，即 a＝20 80≤x＜90 的频率：1﹣0.3﹣0.4﹣0.1＝0.2，即 b＝0.2， 故答案为 20，0.2； （2）共 50 名学生，中位数落在“70≤x＜80”范围内； （3）“70≤x＜80”范围内，频数最大，因此这组数据的众数落在 70≤x＜80 范围内， 故答案为正确；13 （4）成绩在 80≤x＜90 范围内的扇形圆心角： ＝72°， 故答案为 72°； （5）获得优秀成绩的学生数： ＝900（名）， 故答案为 900． 19．【解答】解：设小路的宽应为xm， 根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112， 解得：x1＝1，x2＝16． ∵16＞9， ∴x＝16 不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：小路的宽应为 1m． 20．【解答】解：在 Rt△ABC 中，tanA＝ ， 则 BC＝ACtanA≈121×0.75＝90.75， 由题意得，CD＝AC﹣AD＝97.5， 在 Rt△ECD 中，∠EDC＝45°， ∴EC＝CD＝97.5， ∴BE＝EC﹣BC＝6.75≈6.8（m）， 答：塔冠 BE 的高度约为 6.8m． 21．【解答】解：（1）把A（3，4）代入反比例函数 y2＝ 得， 4＝ ，解得 m＝12， ∴反比例函数的解析式为 y2＝ ； ∵B（a，﹣2）点在反比例函数 y2＝ 的图象上， ∴﹣2a＝12，解得 a＝﹣6， ∴B（﹣6，﹣2）， ∵一次函数 y1＝kx+b 的图象经过 A（3，4），B（﹣6，﹣2）两点， ∴ ，解得 ，14 ∴一次函数的解析式为 y1＝ x+2； （2）由一次函数的解析式为 y1＝ x+2 可知 C（0，2），D（﹣3，0）， ∴AD＝ ＝2 ，BC＝ ＝2 ， ∴AD＝BC， 故答案为＝； （3）由图象可知：y1＜y2 时 x 的取值范围是 x＜﹣6 或 0＜x＜3． 22．【解答】（1）证明：连接OD 交 BC 于 H，如图， ∵点 E 是△ABC 的内心， ∴AD 平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD， ∴ ＝ ， ∴OD⊥BC，BH＝CH， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， ∴DG 是⊙O 的切线； （2）解：连接 BD、OB，如图， ∵点 E 是△ABC 的内心， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DBC＝∠BAD， ∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE， ∴DB＝DE＝6， ∵BH＝ BC＝3 ， 在 Rt△BDH 中，sin∠BDH＝ ＝ ＝ ， ∴∠BDH＝60°， 而 OB＝OD， ∴△OBD 为等边三角形，15 ∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6， ∴∠BOC＝120°， ∴优弧 的长＝ ＝8π． 23．【解答】解：（1）由题意可得， ，解得， ， 答：m 的值是 10，n 的值是 14； （2）当 20≤x≤60 时， y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400， 当 60＜x≤70 时， y＝（16﹣10）×60+（16﹣10）×0.5×（x﹣60）+（18﹣14）（100﹣x）＝﹣x+580， 由上可得，y＝ ； （3）当 20≤x≤60 时，y＝2x+400，则当 x＝60 时，y 取得最大值，此时 y＝520， 当 60＜x≤70 时，y＝﹣x+580，则 y＜﹣60+580＝520， 由上可得，当 x＝60 时，y 取得最大值，此时 y＝520， ∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额 y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜 每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不 低于 20%， ∴ ， 解得，a≤1.8， 即 a 的最大值是 1.8． 24．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．16 ∴∠QAO+∠OAD＝90°． ∵AE⊥DH， ∴∠ADO+∠OAD＝90°． ∴∠QAO＝∠ADO． ∴△ABE≌△DAQ（ASA）， ∴AE＝DQ． ②解：结论： ＝1． 理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE， ∴DQ∥FG， ∵FQ∥DG， ∴四边形 DQFG 是平行四边形， ∴FG＝DQ， ∵AE＝DQ， ∴FG＝AE， ∴ ＝1． 故答案为 1． （2）解：结论： ＝k． 理由：如图 2 中，作 GM⊥AB 于 M． ∵AE⊥GF， ∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，17 ∴∠BAE＝∠FGM， ∴△ABE∽△GMF， ∴ ＝ ， ∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°， ∴四边形 AMGD 是矩形， ∴GM＝AD， ∴ ＝ ＝ ＝k． （3）解：如图 2﹣1 中，作 PM⊥BC 交 BC 的延长线于 M． ∵FB∥GC，FE∥GP， ∴∠CGP＝∠BFE， ∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝ ＝ ， ∴可以假设 BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k， ∵ ＝ ，FG＝2 ， ∴AE＝3 ， ∴（3k）2+（9k）2＝（3 ）2， ∴K＝1 或﹣1（舍弃）， ∴BE＝3，AB＝9， ∵BC：AB＝2：3， ∴BC＝6， ∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，18 ∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°， ∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°， ∴∠FEB＝∠EPM， ∴△FBE∽△EMP， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴EM＝ ，PM＝ ， ∴CM＝EM＝EC＝ ﹣3＝ ， ∴PC＝ ＝ ． 25．【解答】解：（1）y＝﹣ x+3，令 x＝0，则 y＝3，令 y＝0，则 x＝6， 故点 B、C 的坐标分别为（6，0）、（0，3）， 抛物线的对称轴为 x＝1，则点 A（﹣4，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24）， 即﹣24a＝3，解得：a＝﹣ ， 故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+3…①； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G，作 PH⊥BC 于点 H， 将点 B、C 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：y＝﹣ x+3， 则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝ ＝ ＝tanα，则 cosα＝ ， 设点 P（x，﹣ x2+ x+3），则点 G（x，﹣ x+3）， 则 PH＝PGcosα＝ （﹣ x2+ x+3+ x﹣3）＝﹣ x2+ x，19 ∵ ＜0，故 PH 有最小值，此时 x＝3， 则点 P（3， ）； （3）①当点 Q 在 x 轴上方时， 则点 Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC 全等，此时点 Q 与点 C 关于函数对称轴对称， 则点 Q（2，3）； ②当点 Q 在 x 轴下方时， Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC 相似，则∠ACB＝∠Q′AB， 当∠ABC＝∠ABQ′时， 直线 BC 表达式的 k 值为﹣ ，则直线 BQ′表达式的 k 值为 ， 设直线 BQ′表达式为：y＝ x+b，将点 B 的坐标代入上式并解得： 直线 BQ′的表达式为：y＝ x﹣3…②， 联立①②并解得：x＝6 或﹣8（舍去 6）， 故点 Q（Q′）坐标为（﹣8，﹣7）（舍去）； 当∠ABC＝∠ABQ′时