四川省广元市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

1 2019 年四川省广元市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意 的． 1．（3 分）﹣8 的相反数是（　　） A．﹣ B．﹣8 C．8 D． 2．（3 分）下列运算中正确的是（　　） A．a5+a5＝a10 B．a7÷a＝a6 C．a3•a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6 3．（3 分）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1 4．（3 分）如果一组数据 6，7，x，9，5 的平均数是 2x，那么这组数据的中位数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 5．（3 分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如 图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 6．（3 分）如图，AB，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，连接 BD，BC，且 AB＝10， AC＝8，则 BD 的长为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4.8 7．（3 分）不等式组 的非负整数解的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（3 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的动点，它从点 A 出发沿 A→B→C→D 路径匀速运动2 到点 D，设△PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．（3 分）如图，在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E．使得∠CDE＝15°，连接 BE 并延 长 BE 到 F，使 CF＝CB，BF 与 CD 相交于点 H，若 AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE ＝EF；③S△DEC＝﹣；④＝2 ﹣1．则其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 10．（3 分）如图，过点 A0（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l：y＝x 于点 A1，过点 A1 作直线 l 的垂线，交 y 轴于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 A3，…，这样依次下去，得 到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为 S1，S2，S3，…，则 S100 为（　　） A．（）100 B．（3 ）100 C．3 ×4199 D．3 ×2395 二、填空题（每小颕 3 分，共 15 分）把正确答案直接填写在答题卡对应题日的横线上.3 11．（3 分）分解因式：a3﹣4a＝　 　． 12．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点 P （a+1，﹣a﹣3）在第　 　象限． 13．（3 分）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°得 到△DEC，连接 BD，则 BD2 的值是　 　． 14．（3 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且 AB 是⊙O 的直径，点 P 为⊙O 上的动点， 且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为 6，则点 P 到 AC 距离的最大值是　 　． 15．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象 限，设 M＝4a+2b+c，则 M 的取值范围是　 　． 三、解答题（共 75 分）要求写出必要的解答步骤或证明过程. 16．（6 分）计算：| ﹣2|+（π﹣2019）0﹣（﹣）﹣1+3tan30° 17．（6 分）先化简：（﹣x﹣1）• ，再从 1，2，3 中选取一个适当的数代入求 值． 18．（7 分）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，延长 BA 到点 D，使 AD＝AB，点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点．求证：DF＝BE．4 19．（8 分）如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开 销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四 种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如 下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题 （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学 每天用于饮品的人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的 5 名班委干部（其中有两位 班长记为 A，B，其余三位记为 C，D，E）中随机抽取 2 名班委干部作良好习惯监督员， 请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到 2 名班长的概率． 20．（8 分）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种 水果的进价每千克少 4 元，且用 800 元购进甲种水果的数量与用 1000 元购进乙种水果的 数量相同． （1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？ （2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共 200 千克，其中甲种 水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元，购回后，水果商决 定甲种水果的销售价定为每千克 20 元，乙种水果的销售价定为每千克 25 元，则水果商 应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？ 21．（8 分）如图，某海监船以 60 海里/时的速度从 A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只5 在 A 的西北方向的 C 处，海监船航行 1.5 小时到达 B 处时接到报警，需巡査此可疑船只， 此时可疑船只仍在 B 的北偏西 30°方向的 C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向 逃离，海监船立刻加速以 90 海里/时的速度追击，在 D 处海监船追到可疑船只，D 在 B 的 北偏西 60°方同．（以下结果保留根号） （1）求 B，C 两处之问的距离； （2）求海监船追到可疑船只所用的时间． 22．（10 分）如图，在平闻直角坐标系中，直线 AB 与 y 轴交于点 B（0，7），与反比例函数 y ＝在第二象限内的图象相交于点 A（﹣1，a）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）将直线 AB 向下平移 9 个单位后与反比例函数的图象交于点 C 和点 E，与 y 轴交于点 D，求△ACD 的面积； （3）设直线 CD 的解析式为 y＝mx+n，根据图象直接写出不等式 mx+n≤的解集． 23．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 是 BA 延长线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PC， 切点是 C，过点 C 作弦 CD⊥AB 于 E，连接 CO，CB． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝10，tanB＝，求 PA 的长； （3）试探究线段 AB，OE，OP 之间的数量关系，并说明理由．6 24．（12 分）如图，直线 y＝﹣x+4 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，过 A，B 两点的抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 BC，若点 E 是线段 AC 上的一个动点（不与 A，C 重合），过点 E 作 EF∥BC，交 AB 于点 F，当△BEF 的面积是时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的结论下，将△BEF 绕点 F 旋转 180°得△B′E′F，试判断点 E′是否在抛 物线上，并说明理由．7 2019 年四川省广元市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意 的． 1．【解答】解：﹣8 的相反数是 8， 故选：C． 2．【解答】解：A．a5+a5＝2a5，故选项 A 不合题意； B．a7÷a＝a6，故选项 B 符合题意； C．a3•a2＝a5，故选项 C 不合题意； D．（﹣a3）2＝a6，故选项 D 不合题意． 故选：B． 3．【解答】解：根据题意得x﹣1≥0， 解得 x≥1． 故选：D． 4．【解答】解：∵一组数据 6，7，x，9，5 的平均数是 2x， ∴6+7+x+9+5＝2x×5， 解得：x＝3， 则从大到小排列为：3，5，6，7，9， 故这组数据的中位数为：6． 故选：B． 5．【解答】解：该几何体的俯视图是： ． 故选：A． 6．【解答】解：∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝ ＝ ＝3， ∵OD⊥AC，8 ∴CD＝AD＝AC＝4， 在 Rt△CBD 中，BD＝ ＝2 ． 故选：C． 7．【解答】解： ， 解①得：x＞﹣2， 解②得 x≤3， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤3． 故非负整数解为 0，1，2，3 共 4 个 故选：B． 8．【解答】解：分三种情况： ①当 P 在 AB 边上时，如图 1， 设菱形的高为 h， y＝AP•h， ∵AP 随 x 的增大而增大，h 不变， ∴y 随 x 的增大而增大， 故选项 C 和 D 不正确； ②当 P 在边 BC 上时，如图 2， y＝AD•h， AD 和 h 都不变， ∴在这个过程中，y 不变， 故选项 B 不正确； ③当 P 在边 CD 上时，如图 3， y＝PD•h， ∵PD 随 x 的增大而减小，h 不变， ∴y 随 x 的增大而减小， ∵P 点从点 A 出发沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D， ∴P 在三条线段上运动的时间相同， 故选项 A 正确；9 故选：A． 9．【解答】证明：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°． 在△ABE 和△ADE 中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE，故①正确； ②在 EF 上取一点 G，使 EG＝EC，连结 CG， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． ∴∠CBE＝∠CDE， ∵BC＝CF， ∴∠CBE＝∠F， ∴∠CBE＝∠CDE＝∠F． ∵∠CDE＝15°， ∴∠CBE＝15°，10 ∴∠CEG＝60°． ∵CE＝GE， ∴△CEG 是等边三角形． ∴∠CGE＝60°，CE＝GC， ∴∠GCF＝45°， ∴∠ECD＝GCF． 在△DEC 和△FGC 中， ， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE＝GF． ∵EF＝EG+GF， ∴EF＝CE+ED，故②正确； ③过 D 作 DM⊥AC 交于 M， 根据勾股定理求出 AC＝ ， 由面积公式得：AD×DC＝AC×DM， ∴DM＝， ∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°， ∴CM＝，EM＝， ∴CE＝CM﹣EM＝﹣ ∴S△DEC＝CE×DM＝﹣，故③正确； ④在 Rt△DEM 中，DE＝2ME＝， ∵△ECG 是等边三角形， ∴CG＝CE＝﹣， ∵∠DEF＝∠EGC＝60°， ∴DE∥CG， ∴△DEH∽△CGH， ∴＝＝ ＝ +1，故④错误；11 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 10．【解答】解：∵点A0 的坐标是（0，1）， ∴OA0＝1， ∵点 A1 在直线 y＝x 上， ∴OA1＝2，A0A1＝ ， ∴OA2＝4， ∴OA3＝8， ∴OA4＝16， 得出 OAn＝2n， ∴AnAn+1＝2n• ， ∴OA198＝2198，A198A199＝2198• ， ∵S1＝（4﹣1）• ＝ ， ∵A2A1∥A200A199， ∴△A0A1A2∽△A198A199A200， ∴ ＝（ ）2， ∴S＝2396•＝3 ×2395 故选：D． 二、填空题（每小颕 3 分，共 15 分）把正确答案直接填写在答题卡对应题日的横线上. 11．【解答】解：原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（a﹣2） 12．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程 ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，12 ∴ ， 解得：a＞﹣1 且 a≠0． ∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0， ∴点 P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限． 故答案为：四． 13．【解答】解：如图，连接AD，设 AC 与 BD 交于点 O， 解：如图，连接 AM， 由题意得：CA＝CD，∠ACD＝60° ∴△ACD 为等边三角形， ∴AD＝CD，∠DAC＝∠DCA＝∠ADC＝60°； ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝CD＝2 ， ∵AB＝BC，CD＝AD， ∴BD 垂直平分 AC， ∴BO＝AC＝ ，OD＝CD•sin60°＝ ， ∴BD＝ + ∴BD2＝（ + ）2＝8+4 ， 故答案为 8+4 14．【解答】解：过O 作 OM⊥AC 于 M，延长 MO 交⊙O 于 P， 则此时，点 P 到 AC 距离的最大，且点 P 到 AC 距离的最大值＝PM， ∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O 的半径为 6， ∴OP＝OA＝6， ∴OM＝OA＝×6＝3 ， ∴PM＝OP+OM＝6+3 ，13 ∴则点 P 到 AC 距离的最大值是 6+3 ， 故答案为：6+3 ． 15．【解答】解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c， ∴0＝a﹣b+c，2＝c， ∴b＝a+2， ∵＞0，a＜0， ∴b＞0， ∴a＞﹣2， ∴﹣2＜a＜0， ∴M＝4a+2（a+2）+2 ＝6a+6 ＝6（a+1） ∴﹣6＜M＜6， 故答案为：﹣6＜M＜6； 三、解答题（共 75 分）要求写出必要的解答步骤或证明过程. 16．【解答】解：原式＝2﹣ +1﹣（﹣3）+3×＝2﹣ +1+3+ ＝6． 17．【解答】解：原式＝[﹣﹣]• ＝• ＝， 当 x＝1，2 时分式无意义， 将 x＝3，代入原式得： 则原式＝＝﹣5． 18．【解答】证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝90°，14 ∵点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点， ∴AF＝FC，BE＝EC，FE 是△ABC 的中位线， ∴FE＝AB，FE∥AB， ∴∠EFC＝∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝∠EFC， ∵AD＝AB， ∴AD＝FE， 在△ADF 和△FEC 中， ， ∴△ADF≌△FEC（SAS）， ∴DF＝EC， ∴DF＝BE． 19．【解答】解：（1）这个班级的学生人数为 15÷30%＝50（人）， 选择 C 饮品的人数为 50﹣（10+15+5）＝20（人）， 补全图形如下： （2）＝2.2（元）， 答：该班同学每天用于饮品的人均花费是 2.2 元； （3）画树状图如下： 由树状图知共有 20 种等可能结果，其中恰好抽到 2 名班长的有 2 种结果， 所以恰好抽到 2 名班长的概率为＝．15 20．【解答】解：（1）设甲种水果的单价是x 元，则乙种水果的单价是（x+4）元， ， 解得，x＝16， 经检验，x＝16 是原分式方程的解， ∴x+4＝20， 答：甲、乙两种水果的单价分别是 16 元、20 元； （2）设购进甲种水果 a 千克，则购进乙种水果（200﹣a）千克，利润为 w 元， w＝（20﹣16）a+（25﹣20）（200﹣a）＝﹣a+1000， ∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的 3 倍，且购买资金不超过 3420 元， ∴， 解得，145≤a≤150， ∴当 a＝145 时，w 取得最大值，此时 w＝855，200﹣a＝55， 答：水果商进货甲种水果 145 千克，乙种水果 55 千克，才能获得最大利润，最大利润是 855 元． 21．【解答】解：（1）作CE⊥AB 于 E，如图 1 所示： 则∠CEA＝90°， 由题意得：AB＝60×1.5＝90（海里），∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°， ∴△ACE 是等腰直角三角形，∠CBE＝60°， ∴CE＝AE，∠BCE＝30°， ∴CE＝ BE，BC＝2BE， 设 BE＝x，则 CE＝ x，AE＝BE+AB＝x+90， ∴ x＝x+90， 解得：x＝45 +45， ∴BC＝2x＝90 +90； 答：B，C 两处之问的距离为（90 +90）海里； （2）作 DF⊥AB 于 F，如图 2 所示： 则 DF＝CE＝ x＝135+45 ，∠DBF＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2DF＝270+90 ， ∴海监船追到可疑船只所用的时间为＝3+ （小时）； 答：海监船追到可疑船只所用的时间为（3+ ）小时．16 22．【解答】解：（1））∵点A（﹣1，a）在反比例函数 y＝的图象上， ∴a＝＝8， ∴A（﹣1，8）， ∵点 B（0，7）， ∴设直线 AB 的解析式为 y＝kx+7， ∵直线 AB 过点 A（﹣1，8）， ∴8＝﹣k+7，解得 k＝﹣1， ∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+7； （2）∵将直线 AB 向下平移 9 个单位后得到直线 CD 的解析式为 y＝﹣x﹣2， ∴D（0，﹣2）， ∴BD＝7+2＝9， 联立 ，解得 或 ， ∴C（﹣4，2），E（2，﹣4）， 连接 AC，则△CBD 的面积＝×9×4＝18， 由平行线间的距离处处相等可得△ACD 与△CDB 面积相等， ∴△ACD 的面积为 18． （3）∵C（﹣4，2），E（2，﹣4）， ∴不等式 mx+n≤的解集是：﹣4＜x＜0 或 x＞2．17 23．【解答】解：（1）证明：连接OD， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°， ∵OA⊥CD ∴CE＝DE ∴PC＝PD ∴∠PDC＝∠PCD ∵OC＝OD ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线． （2）如图 2，连接 AC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴tanB＝＝ 设 AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝ ， AC＝2 ，BC＝4 ， ∵CE×AB＝AC×BC，即 10CE＝2 ×4 ， ∴CE＝4，BE＝8，AE＝2 在 Rt△OCE 中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5， ∴CE＝ ＝ ＝4， ∵18 ∴OP×OE＝OC×OC，即 3OP＝5×5， ∴OP＝，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝． （3）AB2＝4OE•OP 如图 2，∵PC 切⊙O 于 C， ∴∠OCP＝∠OEC＝90°， ∴△OCE∽△OPC ∴，即 OC2＝OE•OP ∵OC＝AB ∴ 即 AB2＝4OE•OP． 24．【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①， 令 x＝0，y＝4，令 y＝0，则 x＝4， 故点 A、B 的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②； （2）设点 E（m，0）， 直线 BC 表达式中的 k 值为 4，EF∥BC， 则直线 EF 的表达式为：y＝4x+n，19 将点 E 坐标代入上式并解得： 直线 EF 的表达式为：y＝4x﹣4m…③， 联立①③并解得：x＝（m+1）， 则点 F（，）， S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝， 解得：m＝， 故点 E（，0）、点 E（2，2）； （3）△BEF 绕点 F 旋转 180°得△B′E′F，则点 E′（，4）， 当 x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4， 故点 E′不在抛物线上．