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上海市各区2018届中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题
宝山区、嘉定区
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
已知平面直角坐标系（如图7），直线的经过点和点.
（1）求、的值；
（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；
图7
O
x
y
（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.
24.解：（1） ∵直线的经过点
∴……………………1分
∴………………………………1分
∵直线的经过点
∴……………………1分
∴…………………………………………1分
（2）由可知点的坐标为
∵抛物线经过点、
∴
∴，
∴抛物线的表达式为…………………1分
∴抛物线的顶点坐标为……………1分
∴,,
∴
∴……………………………………1分
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∴
∴ …………………………………………1分
（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴
∵,
∴△∽△
∴……………1分
∵直线与轴的交点为点
∴点的坐标为,
又，
∴，……………1分
∵
∴,
∵∥轴
∴
∴
∴ ……………………………………1分
即点的纵坐标是
又点在直线上
点的坐标为……………1分
长宁区
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）
如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、DC，求的面积；
（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
备用图
第24题图
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24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）
解：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上
∴，解得 （ 2分）
∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4） （ 2分）
（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，，
∴ ∴ （ 2分）
∴ （1分）
（3）∵，，
∴△CAD∽△AOB，∴
∵OA=OC， ∴
∴，即 （ 1分）
若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形
则也为锐角三角形，点P在第四象限
由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）
过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，
①当时,由得，
∴，解得， ∴ （2分）
②当时,由得，
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∴，解得，∴ （ 2分）
综上得或
崇明区
24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）
已知抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；
（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标．
（第24题图）
y
x
A
B
C
O
24．（本题满分12分，每小题4分）
解：（1）设所求二次函数的解析式为，………………………1分
将（,）、（，）、（,）代入，得
解得 ………2分
所以，这个二次函数的解析式为 ……………………………1分
（2）∵（,）、（，）、（,）
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∴，，
∴
∴ ………………………………………………………2分
∴ ……………………………………………2分
（3）过点P作，垂足为H
设，则
∵（,）
∴，
∵
∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：
1° 则
即 ∴ 解得 ………………………1分
∴点的坐标为 ……………………………………………………1分
2° 则
即 ∴ 解得 …………………………1分
∴点的坐标为 ……………………………………………………1分
奉贤区
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
图8
1
1
已知平面直角坐标系（如图8），抛物线与轴交于点A、B（点A在点B左侧），与轴交于点C，顶点为D，对称轴
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为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．
（1）当点C（0，3）时，
① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标；
② 求证：∠DCE=∠BCE；
（2）当CB平分∠DCO时，求的值．
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黄浦区
24．（本题满分12分）
已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴
右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相
似，求点P的坐标.
24. 解：（1）由题意得：，———————————————————（2分）
解得：，—————————————————————————（1分）
所以抛物线的表达式为. ——————————————（1分）
（2）由（1）得D（2，﹣1），———————————————————（1分）
作DT⊥y轴于点T,
则△ABD的面积=.————————（3分）
（3）令P.————————————————（1分）
由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，
所以或，————————————（2分）
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解得：或，
所以点P的坐标为（5,8），.————————————————（1分）
金山区
24．（本题满分12分，每小题4分）
平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），
与y轴相交于点C，顶点为P．
图8
（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，
求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为
直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线
上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．
24．解：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0），
∴，解得：，．……………………………（2分）
∴这条抛物线的表达式是…………………………………（1分）
顶点P的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）
（2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．…（1分）
根据题意得： ，解得：m=2，…（2分）
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∴点E的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）
（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．
作QD⊥MN，垂足为D，
则，………………………（1分）
∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，…………………（1分）
∴，∴，
解得（不合题意，舍去），．……………………………（1分）
∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）
解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，
∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，
又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，………………………………（1分）
点Q是所求的点，设点Q的坐标为，
作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，
∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴，∴，………（1分）
解得（不合题意，舍去），．……………………………………（1分）
∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）
静安区
24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）
x
B
C
第24题图
O
y
·
在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．
（1） 求这条抛物线的表达式；
（2） 求四边形ABCM的面积；
（3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，
且AD//BC，求点D的坐标．
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24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
解：（1）由题意得：抛物线对称轴，即． …………（1分）
点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴， …………（1分）
将C（9，-3）代入，得…………………………（1分）
∴抛物线的表达式： …………………………（1分）
（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）
又∵MA=MC，即
∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3） …………………（2分）
y
∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形，,
AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3
∴ …………（2分）
x
O
(3) 将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入 可得
M
A
C
B
，解得
由题意得，∵AD//BC, ∴ ，…（1分）
又∵AD过（0,0），DC=AB=8，
设D(x,-3x) , …………………………（1分）
解得(不合题意，舍去)， …………………………（1分）
∴∴点D的坐标．……………………（1分）
闵行区
24．（本题满分12分，其中每小题各4分）
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A
B
O
C
x
y
（第24题图）
D
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于
点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求证：∠DAB=∠ACB；
（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为
底的等腰三角形，求Q点的坐标．
24．解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，
得，解得．……………………………………（2分）
∴抛物线的解析式是：．……………………………（1分）
∴顶点坐标D（－1，4）．……………………………………………（1分）
（2）令，则，，，∴A（－3，0）
∴，∴∠CAO=∠OCA．…………………………………（1分）
在中，．………………………………（1分）
∵，，，
∴，；
∴，是直角三角形且，
∴，
又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB．…………………（1分）
∴，
即．……………………………………………………（1分）
（3）令，且满足，,0)，，4）
∵是以AD为底的等腰三角形，
∴，即，
化简得：．………………………………………………（1分）
由，……………………………………………………（1分）
解得，．
∴点Q的坐标是，．…（2分）
普陀区
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24．（本题满分12分）
如图10，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．
（1）求和的值；
（2）点是轴上一点，且以点、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上．如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由．
图10
x
y
1
1
O
24．解：
（1） 由直线经过点，可得. （1分）
由抛物线的对称轴是直线，可得. （1分）
（2） ∵直线与轴、轴分别相交于点、，
∴点的坐标是，点的坐标是. （2分）
∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是. （1分）
∵点是轴上一点，∴设点的坐标是.
∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，，
∴△BCG与△相似有两种可能情况： （1分）
①如果，那么，解得，∴点的坐标是. （1分）
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②如果，那么，解得，∴点的坐标是. （1分）
综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．
（3）点的坐标是或. （2分+2分）
青浦区
24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）
已知：如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点
A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；
（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．
备用图
图8
．
24．解：（1）∵顶点C在直线上，∴，∴． （1分）
将A（3，0）代入，得， （1分）
解得，． （1分）
∴抛物线的解析式为． （1分）
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．
∵=，∴C（2，）． （1分）
∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，
∴． （1分）
∵抛物线与y轴交于点B，∴B（0，），
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∴． （1分）
∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，
∴． （1分）
（3）联结CE.
∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点，
即 .
（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，
设点，在中，，
即 ，解得 ，∴点 （1分）
同理，得点 （1分）
（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点
、，可得 ，得点、 （2分）
综上所述：满足条件的点有，，），．
松江区
24．（本题满分12分，每小题各4分）
如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；
（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
(第24题图)
y
P
O
x
C
B
A
24．（本题满分12分，每小题各4分）
(第24题图)
y
P
O
x
C
B
A
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，）
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∴ …………………………………2分
解得： …………………………………1分
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；…………………………1分
（2）∵点P 的横坐标为m，
∴P 的纵坐标为：m2-2m……………………………1分
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N
∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1
由得………………………1分
∴ BM=m-2…………………………………………………1分
∵ 点C的坐标为（1，），
∴ BC= m-2+1=m-1………………………………………1分
（3）令P(t，t2-2t) ………………………………………………1分
△ABP的面积等于△ABC的面积
∴AC=AP
过点P作PQ⊥BC交BC于点Q
∴CM=MQ=1
∴t2-2t=1 …………………………………………………1分
∴（舍去）………………………………1分
∴ P的坐标为（）……………………………………1分
徐汇区
24. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线
过点、，且与轴交于另一个点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是线段上一点，过点作直线∥轴
交该抛物线于点，当四边形是平行四边形时，
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求它的面积；
（3）联结，设点是该抛物线上的一点，且满足
，求点的坐标.
杨浦区
24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图8，在平面直角坐标系中，抛物线
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于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线 经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。
（1） 求抛物线的表达式
（2） 如图（1），当CP//AO时，求∠PAC的正切值。
（3） 当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标。
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