人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）.doc

第二十八章 锐角三角函数 一、选择题 ‎ ‎1.如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10 m，则大树的长为(　　)‎ A． 5m B． 10m C． 15m D． 20m ‎2.如图，长为6米的梯子AB靠在墙上，梯子地面上的一端B到墙面AC的距离BC为2.4米，则梯子与地面所成的锐角α的大小大致在下列哪个范围内(　　)‎ A． 0°＜α＜30°‎ B． 30°＜α＜45°‎ C． 45°＜α＜60°‎ D． 60°＜α＜90°‎ ‎3.如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为(　　)‎ A．‎ B．‎ C．‎ D． 不能确定 ‎4.已知tanα＝，则锐角α的取值范围是(　　)‎ A． 0°＜α＜30°‎ B． 30°＜α＜45°‎ C． 45°＜α＜60°‎ D． 60°＜α＜90°‎ ‎5.若规定sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，则sin 15°等于(　　)‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6.cosα表示的是(　　)‎ A． 一个角 B． 一个实数 C． 一个点 D． 一条射线 ‎7.四位学生用计算器求sin 62°20′的值正确的是(　　)‎ A． 0.8857‎ B． 0.8856‎ C． 0.8852‎ D． 0.8851‎ ‎8.对于锐角α，sinα的值不可能为(　　)‎ A．‎ B．‎ C．‎ D． 2‎ ‎9.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝，则AC等于(　　)‎ A． 18‎ B． 2‎ C．‎ D．‎ ‎10.如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°，旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高AB＝9 m，则旗杆CD的高度为(　　)‎ A． (9＋) m B． (9＋3) m C． 9m D． 12m 二、填空题 ‎ ‎11.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin ∠A＝____________.‎ ‎12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tanA＝__________.‎ ‎13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝c，则∠B＝________.‎ ‎14.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)‎ ‎15.如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若AD：CD＝4∶3，则tanB＝__________.‎ ‎16.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则∠B＝__________.‎ ‎17.如图，若点A的坐标为(1，)，则sin ∠1＝________.‎ ‎18.在△ABC中，sinB＝cos (90°－C)＝，那么△ABC是__________三角形．‎ ‎19.某校初三(一)班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，它们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为__________米．(已知≈1.732结果精确到0.1米)‎ ‎20.有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是__________海里．(结果取整数)(参考数据：≈1.73)‎ 三、解答题 ‎ ‎21.计算：(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；‎ ‎(2)tan260°－2sin 30°cos 45°.‎ ‎22.计算：cos245°＋cot230°.‎ ‎23.某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．‎ ‎24.计算：sin 45°＋cos230°＋2sin 60°.‎ ‎25.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)‎ ‎26.计算：sin 45°＋sin 60°－2tan 45°.‎ ‎27.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD＝2 m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝60°，AB ‎＝10 m，求GH的长．(参考数据：tan 37°≈0.75，≈1.732，结果精确到0.1 m)‎ ‎28.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米)．‎ 答案解析 ‎1.【答案】B ‎【解析】如图，作AD⊥CD于D点．‎ 因为∠B＝30°，∠ACD＝60°，‎ 且∠ACD＝∠B＋∠CAB，‎ ‎∴∠CAB＝30°.‎ ‎∴BC＝AC＝10 m，‎ 在Rt△ACD中，CD＝AC·cos 60°＝10×0.5＝5 m，‎ ‎∴BD＝15.‎ ‎∴在Rt△ABD中，‎ AB＝BD÷cos 30°＝15÷＝10m.‎ 故选B.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】如图所示，在直角△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝2.4，‎ ‎∴cosα＝＝＝0.4，‎ ‎∴∠α≈66.4°，‎ ‎∴60°＜α＜90°.‎ 故选D.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】如图，连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝AB＝，BC＝2.‎ ‎∵()2＋()2＝(2)2.‎ ‎∴AC2＋AB2＝BC2.‎ ‎∴△CAB是等腰直角三角形．‎ ‎∴∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠ABC的正弦值为.‎ 故选B.‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】∵tan 30°＝≈0.577，tan 45°＝1，tan 60°＝≈1.732，‎ 又∵tanα＝＝1.2，‎ ‎∴tan 45°＜tanα＜tan 60°，‎ ‎∵锐角的正切值随角度的增大而增大，‎ ‎∴45°＜α＜60°，‎ 故选C.‎ ‎5.【答案】D ‎【解析】由题意得，sin 15°＝sin (45°－30°)‎ ‎＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°‎ ‎＝××‎ ‎＝，‎ 故选D.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】由三角函数的定义可知，三角函数是线段的比值，所以三角函数是一个实数，故选B.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】本题要求熟练应用计算器，根据计算器给出的结果进行判断．‎ sin 62°20′≈0.8857，‎ 故选A.‎ ‎8.【答案】D ‎【解析】∵α是锐角，‎ ‎∴sinα的取值范围是sinα＜1，‎ ‎∴sinα的值不可能为2.‎ 故选D.‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，‎ ‎∴cosA＝，‎ ‎∵cosA＝，AB＝6，‎ ‎∴AC＝AB＝2，‎ 故选B.‎ ‎10.【答案】B ‎【解析】如图，过点A作AE⊥CD于点E，‎ ‎∵AE∥BD，‎ ‎∴∠ADB＝∠EAD＝45°，‎ ‎∴AB＝BD＝9 m.‎ ‎∵AB⊥BD，ED⊥BD，AE⊥CD，AB＝BD，‎ ‎∴四边形ABDE是正方形，‎ ‎∴AE＝BD＝AB＝DE＝9 m.‎ 在Rt△ACE中，‎ ‎∵∠CAE＝30°，‎ ‎∴CE＝AE·tan 30°＝9×＝3，‎ ‎∴CD＝CE＋DE＝(3＋9) m.‎ 故选B.‎ ‎11.【答案】‎ ‎【解析】∵∠C＝90°，‎ ‎∴AC2＋BC2＝AB2，‎ ‎∵AC＝1，BC＝2，‎ ‎∴AB＝；‎ ‎∴sin ∠A＝＝＝.‎ ‎12.【答案】‎ ‎【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，‎ ‎∴tanA＝，‎ ‎∵2b＝3a，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴tanA＝＝.‎ ‎13.【答案】30°‎ ‎【解析】在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠C＝90°，2a＝c，‎ ‎∴b＝＝，‎ 则sin ∠B＝＝，‎ ‎∴∠B＝30°.‎ ‎14.【答案】208‎ ‎【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，‎ 解得：BD＝30，‎ tan 60°＝＝＝，‎ 解得DC＝90，‎ 故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，‎ ‎∴∠B＝∠CAD，‎ ‎∵AD：CD＝4：3，‎ ‎∴tanB＝tan ∠CAD＝＝.‎ ‎16.【答案】60°‎ ‎【解析】∵∠C＝90°，3a＝b，‎ ‎∴＝，‎ 即tanB＝，‎ ‎∴∠B＝60°.‎ ‎17.【答案】‎ ‎【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于点B，‎ ‎∵点A的坐标为(1，) ，‎ ‎∴OB＝1，AB＝，‎ 由勾股定理，得OA＝＝2.‎ sin ∠1＝＝.‎ ‎18.【答案】等腰 ‎【解析】∵sinB＝cos (90°－C)＝，‎ 即sinB＝，‎ ‎∴∠B＝30°；‎ cos (90°－C)＝，‎ ‎∴90°－∠C＝60°，‎ ‎∴∠C＝30°，‎ ‎∴∠C＝∠B.‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ ‎19.【答案】11.9‎ ‎【解析】在Rt△ABC中，BC＝AC×tan ∠BAC＝6×≈10.4米，‎ ‎10．4＋1.5＝11.9米．‎ ‎20.【答案】7‎ ‎【解析】由题意得：∠CAP＝30°，∠CBP＝45°，BC＝10海里，‎ 在Rt△APC中，∵∠CAP＝30°，‎ ‎∴AC＝＝＝10≈17.3海里，‎ ‎∴AB＝AC－BC≈17.3－10≈7海里．‎ ‎21.【答案】解　 (1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°‎ ‎＝×＋1×‎ ‎＝＋‎ ‎＝.‎ ‎(2)原式＝()2－2××‎ ‎＝3－1－1‎ ‎＝1.‎ ‎【解析】将特殊角的三角函数值代入求解．‎ ‎22.【答案】解　原式＝2＋()2‎ ‎＝＋3‎ ‎＝.‎ ‎【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．‎ ‎23.【答案】解 作AD⊥BC于D，‎ ‎∵∠EAB＝30°，AE∥BF，‎ ‎∴∠FBA＝30°，又∠FBC＝75°，‎ ‎∴∠ABD＝45°，又AB＝60，‎ ‎∴AD＝BD＝30，‎ ‎∵∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝75°，∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠C＝60°，‎ 在Rt△ACD中，∠C＝60°，AD＝30，‎ 则tanC＝，‎ ‎∴CD＝＝10，‎ ‎∴BC＝30＋10.‎ 故该船与B港口之间的距离CB的长为30＋10海里．‎ ‎【解析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD＝45°，得到AD＝BD＝30，求出∠C＝60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．‎ ‎24.【答案】解　原式＝×＋2＋2×‎ ‎＝＋＋‎ ‎＝1＋.‎ ‎【解析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．‎ ‎25.【答案】解　∵在Rt△CBE中，sin 60°＝，‎ ‎∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，‎ ‎∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.‎ 答：风筝离地面的高度是19.1 m.‎ ‎【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．‎ ‎26.【答案】解　原式＝×＋2×－2×1‎ ‎＝＋3－2‎ ‎＝.‎ ‎【解析】根据特殊角的三角函数值进行计算．‎ ‎30°、45°、60°角的各种三角函数值．‎ sin 30°＝； cos 30°＝；tan 30°＝；‎ sin 45°＝；cos 45°＝；tan 45°＝1；‎ sin 60°＝；cos 60°＝； tan 60°＝.‎ ‎27.【答案】解　延长CD交AH于点E，如图所示：根据题意得CE⊥AH，‎ 设DE＝xm，则CE＝(x＋2)m，‎ 在Rt△AEC和Rt△BED中，tan 37°＝，tan 60°＝，‎ ‎∴AE＝，BE＝，‎ ‎∵AE－BE＝AB，‎ ‎∴＝10，‎ 即－＝10，‎ 解得x≈5.8，‎ ‎∴DE＝5.8 m，‎ ‎∴GH＝CE＝CD＋DE＝2 m＋5.8 m＝7.8 m.‎ 答：GH的长为7.8 m.‎ ‎【解析】首先构造直角三角形，设DE＝xm，则CE＝(x＋2)m，由三角函数得出AE和BE，由AE＝BE＝AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长．‎ ‎28.【答案】解　由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，‎ ‎∴∠CDA＝∠EBA＝90°，‎ ‎∵∠E＝30°，‎ ‎∴AB＝AE＝8米，‎ ‎∵BC＝1.2米，‎ ‎∴AC＝AB－BC＝6.8米，‎ ‎∵∠DCA＝90°－∠A＝30°，‎ ‎∴CD＝AC×cos ∠DCA＝6.8×≈5.9米．‎ 答：该校地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．‎ ‎【解析】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长．‎