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山西大学附中
2018～2019学年高二第二学期2月（总第一次）
模块诊断
数学（文）试题
时间：120分钟 考试范围：（必修二、选修1-1）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．双曲线的虚轴长为（ ）
A． B． C． D．
2．到两定点、的距离之差的绝对值等于的点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线
3．已知，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设是两个不同的平面，是两条不同直线，则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则 与所成的角相等
C．若，则
D．若，则
6．若命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，是双曲线的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
9．过双曲线左焦点的弦长为，则（为右焦点）的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．定义在上的函数满足：，，则不等式（其
中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．C．D．
12．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，过椭圆的右焦点作轴的垂线交直线于点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，其中为坐标原点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若函数的导函数为，且，则_______．
14．已知两条直线，则与的距离为 ．
15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是________．
16．已知有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）已知圆外有一点，过点作直线．
（1）当直线与圆相切时,求直线的方程；
（2）当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长．
18．（本小题满分12分）已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间．
19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于．
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点分别为，其短半轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点．若直线与的斜率之和为，求实数的值．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点为，且椭圆过点，直线不过点，且与椭圆交于不同的两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线与轴总围成一个等腰三角形．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式恒成立，求的值．
一． 选择题
1. A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.D 9.D 10.C
11. D 12.B
二．填空题
12. __﹣12___； 14.________； 15.__[1﹣，3]______；16.____2____.
三．简答题
17．已知圆M：x2+(y-1)2=16外有一点A(4，-2)，过点A作直线l。
(1)当直线l与圆M相切时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆M所截得的弦长。
（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
此时直线的方程为
所以直线的方程为或
（2）当直线的倾斜角为时，
直线的方程为，
即
圆心到直线的距离为.
所以直线被圆所截得的弦长
18．已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间．
【解析】试题分析：（1）求导得，故，又，
根据点斜式方程可得切线方程；（2）令，解不等式可得函数的单调递减区间。
试题解析：
（1）∵
∴，
∴，
又，
∴函数的图象在点处的切线方程为，
即。
（2）由（1）得，
令，解得或。
∴函数的单调递减区间为。
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H．
（1）证明：PC⊥平面BOH；
（2）若，求三棱锥A﹣BOH的体积．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，
∴BO⊥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
又平面PAC⊥平面ABC，
且BO⊂平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴BO⊥平面PAC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴BO⊥PC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
又OH⊥PC，BO∩OH＝O，
∴PC⊥平面BOH；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）∵△HAO与△HOC面积相等，
∴VA﹣BOH＝VB﹣HAO＝VB﹣HOC，
∵BO⊥平面PAC，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∵，∠HOC＝30°∴HC＝1，
∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
20．已知椭圆的两焦点分别为，其短半轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点．若直线与的斜率之和为，求实数的值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为：；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，消去y得，
37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，
由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，
可得﹣，
又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），
且直线HM与HN的斜率存在，
∴t≠±1，
又，，
∴kHM+kHN＝
＝
＝4﹣＝1，
解得t＝3，
故t的值为3．
21．已知椭圆C的焦点为（，0），（，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：y＝x+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．
【分析】（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程；
（2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立．
【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，
由椭圆的定义可得＝，
∴，b2＝a2﹣15＝5，
因此，椭圆C的标准方程为；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程，消去y并化简得5x2+8mx+4m2﹣20＝0，
由韦达定理可得，，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A、B，所以，△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝16（25﹣m2）＞0，解得﹣5＜m＜5，
所以，直线MA、MB的斜率都存在且不为零，
设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，
则＝
＝＝
＝，
故原命题成立．
22．已知函数，a≠0．
（1）当a＝1时，求：①函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；②函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若不等式恒成立，求a的值．
【分析】（1）①a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，可得f′（1）＝1，又f（1）＝0．利用点斜式即可得出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．
②令f′（x）＝＝0，解得x＝e．通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值．
（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．g′（x）＝1﹣＝．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）①a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，∴f′（1）＝1，又f（1）＝0．
∴函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．
②令f′（x）＝＝0，解得x＝e．
x
（0，e）
e
（e，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），可得极大值为f（e）＝，为极小值．
（2）由题意可得：x＞0，由不等式恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0恒成立．
令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．
g′（x）＝1﹣＝．
①若a＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
②若0＜a＜1，则函数g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（a，1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
③若a＝1，则函数g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0时，g（x）≥0恒成立．
③若1＜a，则函数g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函数g（x）单调递减，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
综上可得：a＝1．
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